一種跳躍式再入魯棒軌跡規(guī)劃方法

韓銘麟，胡 軍

北京控制工程研究所, 北京 100094

0 引 言

探月飛船等小升力體飛行器再入返回地球時，飛行工況復(fù)雜，任務(wù)安全需求高、技術(shù)指標(biāo)高，一般采用跳躍式再入制導(dǎo)方式返回.跳躍式再入制導(dǎo)需要以標(biāo)稱返回軌跡為基準(zhǔn)軌跡進行設(shè)計.標(biāo)稱返回軌跡的求解本質(zhì)上是解一個最優(yōu)控制問題.標(biāo)稱返回軌跡[1]設(shè)計中不僅要考慮強非線性的動力學(xué)約束，還要考慮復(fù)雜的過程約束，且很難用解析的方法獲得最優(yōu)解.目前標(biāo)稱軌跡規(guī)劃方法主要分為兩類：間接法和直接法[2].間接法利用變分法求解最優(yōu)控制問題的一階必要條件來獲得飛行器的最優(yōu)軌跡，其缺點是很難有效地處理不等式約束[3].直接法通過將控制或狀態(tài)和控制變量離散化把最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為一個非線性規(guī)劃問題，然后采用非線性規(guī)劃方法求解此問題得到離散的最優(yōu)軌跡點.常用的直接法包括打靶法、配點法和高斯偽譜法(全局配點法)，其中高斯偽譜法具有更高的求解精度和更快的收斂速度[4].

高斯偽譜法[5]是一種全局軌跡規(guī)劃方法，利用勒讓德多項式逼近研究問題的軌跡，該方法能有效估計協(xié)態(tài)變量，且易于檢驗解的最優(yōu)性.它的配點方式(中間稀疏，兩側(cè)密集)避免了龍格現(xiàn)象[6]的產(chǎn)生，具備用更少的配點獲得更高求解精度的優(yōu)勢和以多項式時間收斂的特點.基于上述優(yōu)點，高斯偽譜法在軌跡規(guī)劃[7-9]設(shè)計中具有潛在的應(yīng)用價值，引起了廣大學(xué)者的研究興趣.FAHROO在可重復(fù)使用運載火箭軌跡生成[10]研究中采用高斯偽譜法，該方法無需使用簡化運動方程進行求解，在獲得最優(yōu)解的情況下還能保證求解精度.此后，F(xiàn)AHROO還研究了在突發(fā)控制故障和損壞情況下運載火箭的可重復(fù)回收問題[11]，研究結(jié)果表明高斯偽譜法能有效地處理各種動力學(xué)模型、邊界條件和過程約束以及表格數(shù)據(jù).BOLLINO在上述研究基礎(chǔ)上解決了可重復(fù)使用運載火箭再入6自由度彈道優(yōu)化問題[12]，而此前6自由度問題的求解一直被認(rèn)為是非常困難的.上述基于偽譜法的飛行器軌跡規(guī)劃研究均在給定初值情況下計算最優(yōu)軌跡.然而對于載人登月飛船這類高速再入返回軌跡規(guī)劃問題，再入初始點與標(biāo)稱設(shè)計可能存在很大差別，氣動參數(shù)存在很大的不確定性.劉旭在載人探月飛船跳躍式再入軌跡設(shè)計中[13]，利用狀態(tài)初值單項拉偏仿真驗證提出算法對參數(shù)變化的魯棒性.PEI在在線再入軌跡設(shè)計中考慮了氣動參數(shù)小范圍不確定性對再入過程的影響[14].上述工作從不同方面研究再入軌跡規(guī)劃方法的抗擾動能力，但仍然很難滿足實際再入過程對參數(shù)變化具有魯棒性的設(shè)計需求.

針對上述問題，提出一種基于分段高斯偽譜法的魯棒軌跡規(guī)劃方法.依據(jù)跳躍式再入的特點，推導(dǎo)了過載的微分方程，將過載約束轉(zhuǎn)化為等式約束及狀態(tài)量范圍約束，得到新的增廣再入模型，將原問題轉(zhuǎn)化為新模型下的定點著陸問題進行求解.然后，在該模型的基礎(chǔ)上，將動壓約束和熱流密度約束同樣轉(zhuǎn)化為等式約束及相應(yīng)的狀態(tài)量范圍約束，建立擴展增廣再入模型，并對新模型下的軌跡規(guī)劃問題進行研究.最后，在初始狀態(tài)偏差中考慮縱程偏差和橫程偏差，驗證在存在狀態(tài)偏差及氣動參數(shù)不確定性時提出方法的魯棒性.仿真結(jié)果表明：提出的方法在上述條件下具備強魯棒性，軌跡的動壓、過載和熱流密度約束滿足設(shè)計需求，且精確規(guī)劃到期望落點.

1 問題描述與定義

1.1 再入運動模型

3自由度再入運動[15]如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中，r為飛船到地心距離，θ為經(jīng)度，φ為緯度，ν為速度，γ為航跡傾角，ψ為航跡方位角，σ為傾側(cè)角，ω為地球自轉(zhuǎn)角速度，L為升力加速度，D為阻力加速度

(7)

式中，Sref為參考面積，CL為升力系數(shù)，CD為阻力系數(shù)，m為飛船質(zhì)量.大氣密度用ρ=ρ0e-h/hr表示，其中ρ0表示標(biāo)準(zhǔn)海平面大氣密度，hr為基準(zhǔn)高度.

飛行器再入過程中通常需要考慮如下動壓、過載和駐點熱流約束.

(8)

(9)

(10)

式中：Rn為駐點曲率半徑；Vc為第一宇宙速度；C為經(jīng)驗系數(shù)[16]，一般取1.1×105.

1.2 狀態(tài)擴張

由于陀螺測量角速度的限制，將傾側(cè)角速率作為擴張狀態(tài)引入再入運動模型

(11)

x=[r,θ,φ,v,γ,ψ,σ]

狀態(tài)向量的初值約束和終值約束如下：

x(t0)=x0,x(tf)=xf

(12)

式中，x(t0)為再入點初值約束，x(tf)為落點終值約束.

1.3 最小落點偏差問題

考慮如下最小落點偏差優(yōu)化指標(biāo)：

J=rfarccos(cos(θend-θf)cos(φend)cos(φf)+
sin(φend)sin(φf))

(13)

式中，θf、φf分別為期望落點的經(jīng)度和緯度，θend、φend分別為規(guī)劃落點的經(jīng)度和緯度，rf為落點地心距.該指標(biāo)的物理含義是落點地心距下期望落點位置與規(guī)劃落點位置的球面距離.

1.4 經(jīng)典跳躍式再入模型問題描述

綜上所述，給出經(jīng)典跳躍式再入模型下的軌跡規(guī)劃問題P0如下:

P0: min(13)
s.t. (1)-(12)

利用高斯偽譜法對問題P0進行求解，便可獲得相應(yīng)的跳躍式再入軌跡.

2 增廣與擴展增廣再入模型

2.1 經(jīng)典再入跳躍式模型的缺陷

針對經(jīng)典跳躍式再入模型下的軌跡規(guī)劃問題P0，利用高斯偽譜法求解的再入軌跡對初始狀態(tài)及氣動參數(shù)變化敏感(即在特定參數(shù)下能得到滿足動力學(xué)及過程約束的最優(yōu)軌跡，微小的航跡傾角擾動會引起過載違反過載邊界的情況發(fā)生，詳細(xì)仿真實驗及結(jié)果見5.1小節(jié)).

經(jīng)過大量仿真研究經(jīng)驗的積累，發(fā)現(xiàn)將過載作為增廣狀態(tài)量引入到經(jīng)典跳躍式再入模型，能有效地避免上述問題發(fā)生.

2.2 增廣再入模型的建立

將式(7)代入式(9)，得到過載的具體表達(dá)

(14)

式(14)兩側(cè)分別對時間求導(dǎo)，得

(15)

此時再入點的初始過載如下：

(16)

式中，h0為初始再入高度，v0為初始再入速度.由式(15)、(16)結(jié)合式(17)的過載邊界約束重新定義了過載約束的形式.

0

(17)

式(15)與跳躍式再入模型(1)～(6)構(gòu)成增廣再入模型.式(15)的引入并不會改變再入問題的動力學(xué)特性，且替換了原有的過程約束.

同樣將傾側(cè)角速率作為控制量引入到增廣再入模型，相應(yīng)的擴張狀態(tài)向量如下所示：

狀態(tài)向量的初值約束和終值約束如下：

(18)

增廣再入模型下的軌跡規(guī)劃問題P1如下所示:

P1: min(13)
s.t.(1)-(6),(8),(10),(11),(15),(17),(18)

2.3 擴展增廣再入模型的建立

對動壓和熱流密度約束也做相同的處理，將它們轉(zhuǎn)化為等式約束以及相應(yīng)的狀態(tài)量范圍約束

(19)

(20)

(21)

0

(22)

此時相應(yīng)的擴張狀態(tài)向量如下：

狀態(tài)向量的初值約束和終值約束如下：

(23)

P2: min(13)
s.t.(1)-(6),(11),(15),(17),(19)-(23)

2.4 經(jīng)典跳躍式再入模型問題描述

跳躍式再入軌跡如圖1所示.軌跡中的3個過載分界點分別用n1、n2、n3表示，稱分界點的過載值為過載閾值.采用文獻(xiàn)[17]中的定義方式，將過載分界點前后4個階段分別定義為初次再入段、跳躍階段、開普勒階段和最終再入段.文獻(xiàn)[18]指出Apollo和CEV的制導(dǎo)律設(shè)計中，都將n1=n2=n3=0.2g0作為過載分界點，在過載小于0.2g0的區(qū)域(初次再入段和開普勒階段)，大氣稀薄、氣動控制失效、傾側(cè)角的升力控制作用對軌跡影響較小.

圖1 跳躍式再入軌跡Fig.1 Skip reentry trajectory

3 再入軌跡分段描述

經(jīng)典跳躍式再入問題描述P0，增廣再入模型下的軌跡規(guī)劃問題P1和擴展增廣再入模型下的軌跡規(guī)劃問題P2是一個簡化的再入軌跡規(guī)劃描述，下面以問題P1為例按照圖1所示跳躍式軌跡分段情況，給出各個階段的具體描述.

3.1 初次再入段

初次再入段描述如下：

(24)

式中，r0、θ0、φ0、v0、γ0、ψ0、σ0、n0表示再入點擴張狀態(tài)量初值.初次再入段采取0°常值傾側(cè)角控制.文獻(xiàn)[18]指出在氣動控制失效階段，動壓、過載和熱流較小，滿足約束條件，不需要考慮過程約束.

3.2 跳躍階段

跳躍階段描述如下：

(25)

3.3 開普勒階段

開普勒階段描述如下：

(26)

這一階段氣動控制失效，不考慮過程約束.此時一般采取常值控制策略，即u=0.

3.4 最終再入段

最終再入段描述如下：

(27)

利用分段高斯偽譜法對上述跳躍式再入過程(24)～(27)進行規(guī)劃，便獲得了相應(yīng)的增廣再入模型軌跡規(guī)劃結(jié)果.

4 初始偏差計算

在再入制導(dǎo)算法的設(shè)計中，一般考慮存在再入點狀態(tài)偏差和氣動參數(shù)不確定性時制導(dǎo)算法的魯棒性.文獻(xiàn)[19]中的狀態(tài)初值偏差，包括高度、經(jīng)度、緯度、速度，航跡傾角和航跡方位角.實際再入制導(dǎo)運動過程可分解為縱向運動和橫向運動，在兩個運動平面內(nèi)走過的航程分別為縱程和橫程，形成的偏差即為縱程偏差和橫程偏差.本研究將縱程偏差和橫程偏差作為兩種狀態(tài)初始偏差.下面給出兩種偏差轉(zhuǎn)換為對應(yīng)經(jīng)緯度的計算方法.

4.1 縱向運動和橫向運動

定義再入點的地心矢和期望落點的地心矢組成的平面為標(biāo)準(zhǔn)再入縱平面.飛船再入時在此平面內(nèi)運動為縱向運動，偏離此平面的運動為橫向運動.

4.2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

地心地固系下位置坐標(biāo)到高度經(jīng)緯度的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

(28)

以縱程偏差計算為例，依據(jù)給定的縱程偏差，得到縱向偏轉(zhuǎn)角δR.由式(28)可計算出再入點與落點在地心地固系的方向向量a和b，進一步得到縱平面法向量vR

vR=a×b

同樣得到縱平面內(nèi)與再入點地心矢垂直的方向向量c

c=vR×a

再利用三維空間圓的參數(shù)方程解出偏差點的地心地固系坐標(biāo)(xbias，ybias，zbias)，利用式(28)可反解出經(jīng)緯度坐標(biāo)(θbias，φbias).其中三維空間圓的參數(shù)方程如下：

式中，下標(biāo)x、y、z分別為向量的對應(yīng)坐標(biāo)分量.具體求解過程可參考文獻(xiàn)[1].

5 仿真研究

5.1 參數(shù)敏感性

前面小節(jié)給出經(jīng)典跳躍式再入模型下的軌跡規(guī)劃問題P0和增廣再入模型下的軌跡規(guī)劃問題P1，以過載約束為例對這兩種問題描述下軌跡規(guī)劃結(jié)果進行比較分析.結(jié)果如圖2所示.

圖2 問題P0和P1下過載情況比較Fig.2 Comparison of the load factor between problem P0 and problem P1

其中黑色實線為問題P0下，航跡傾角取-6.1°時的過載結(jié)果；紅色實線為問題P1下，航跡傾角取-6.1°時的過載規(guī)劃結(jié)果；紅色虛線為問題P1下，航跡傾角取-6.1°時過載的計算結(jié)果，該結(jié)果是將狀態(tài)量值代入式(9)計算得到，該曲線用于驗證過載規(guī)劃結(jié)果的準(zhǔn)確性.余下曲線為航跡傾角取-6.2°時的仿真結(jié)果，該對照實驗用于研究微小的航跡傾角變化對不同問題過載的影響.實驗結(jié)果表明，問題P0的軌跡規(guī)劃結(jié)果對參數(shù)的變化比較敏感，航跡傾側(cè)角的微小變化導(dǎo)致兩次過載結(jié)果的劇烈差異，由上側(cè)局部放大圖可知，航跡傾角取-6.1°時，出現(xiàn)違反過載邊界的情況，該現(xiàn)象的產(chǎn)生可能是求解器對可行域較小的非線性不等式約束處理效果較差導(dǎo)致的.問題P1的兩次軌跡規(guī)劃結(jié)果差異不大，軌跡僅在過載峰值處稍微不同，對參數(shù)變化具備較強魯棒性.總體上看，問題P1的兩次過載峰值均低于問題P0的過載峰值，較好地滿足了過載約束需求.增廣再入模型的建立，將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束及狀態(tài)量的范圍約束，避免了過載違反過載邊界的情況發(fā)生.由下側(cè)局部放大圖可知問題P1的過載規(guī)劃結(jié)果總是略微小于過載的計算結(jié)果，該偏差的產(chǎn)生可能是求解計算式(15)時積分誤差的累積導(dǎo)致的，通過引入小的參數(shù)修正可減小該誤差的影響.綜上所述，增廣再入模型的軌跡規(guī)劃結(jié)果相較于經(jīng)典跳躍式再入模型的規(guī)劃結(jié)果，具備更好的實際應(yīng)用價值.

5.2 增廣模型魯棒性仿真研究

再入點狀態(tài)誤差分布如表1所示.取偏差邊界隨機組合，得到64個初始狀態(tài)點.同時對大氣密度和升力系數(shù)進行拉偏處理，驗證所設(shè)計的規(guī)劃方法對參數(shù)不確定的魯棒性，表2給出參數(shù)偏差條件.仿真結(jié)果如圖3～5所示.

表1 初始狀態(tài)誤差范圍Tab.1 Initial states and dispersion ranges

表2 參數(shù)偏差Tab.2 Parameter dispersion

圖3為存在狀態(tài)誤差和參數(shù)偏差時的再入軌跡，256種參數(shù)組合下優(yōu)化指標(biāo)J=0，精確規(guī)劃到期望落點.此時，3個過程約束結(jié)果如圖4所示.全部熱流小于2 MW/m2，全部動壓小于20 kPa，全部過載小于6.44g0，很好地滿足了設(shè)計需求，且留有較大余量.

圖3 跳躍式再入軌跡Fig.3 The skip reentry trajectory

圖4 過程約束結(jié)果Fig.4 The results of the path constraints

問題P1規(guī)劃得到的傾側(cè)角指令剖面如圖5所示，不同參數(shù)組合給出不同的傾側(cè)角指令，不受初始軌跡的影響.綜上所述，提出的方法充分利用了返回器的控制能力，所有情況下軌跡均精確規(guī)劃到期望落點，且在模型存在再入點狀態(tài)偏差及氣動參數(shù)不確定性時具備強魯棒性.

圖5 傾側(cè)角指令剖面Fig.5 The command profile of the bank angle

5.3 擴展增廣再入模型研究

增廣動力學(xué)模型的建立用于解決圖2所示過載約束違反過載邊界的問題，因此僅重新定義了過載約束.而擴展增廣再入模型下的軌跡規(guī)劃問題P2，對其余兩個過程約束也做相同的處理，將它們轉(zhuǎn)化為等式約束及狀態(tài)量的范圍約束，問題P2的仿真結(jié)果如圖6～7所示.

圖6 軌跡規(guī)劃結(jié)果Fig.6 The results of the trajectory planning

圖6所示為單次軌跡規(guī)劃結(jié)果，圖7為對應(yīng)的過程約束結(jié)果.其中圖6(a)、6(b)、6(c)、6(d)和6(e)分別為時間-高度、經(jīng)度-緯度、時間-速度、時間-航跡傾角和時間-航跡方位角曲線，圖6(f)為傾側(cè)角剖面曲線.其中藍(lán)色實線為問題P1的規(guī)劃結(jié)果，紅色虛線為問題P2的規(guī)劃結(jié)果.由圖可知，問題P2的再入軌跡在跳躍階段飛行時間更短，該階段過載水平整體較低，開普勒階段高度峰值較低，相應(yīng)的總體飛行時間更短，最終再入段飛行過載峰值相應(yīng)變大，滿足實際飛行規(guī)律.

圖7 過程約束結(jié)果Fig.7 The results of the path constraints

擴展增廣再入模型的建立同樣會導(dǎo)致過程約束規(guī)劃結(jié)果略微小于過程約束計算結(jié)果的情況發(fā)生，且P2中過載、動壓的偏差大小往往會大于熱流的偏差大小，是過載、動壓存在耦合導(dǎo)致的.圖8給出問題P2在存在再入點狀態(tài)偏差和參數(shù)不確定性時的過程約束結(jié)果.全部熱流小于2 MW/m2，全部動壓小于20 kPa，此時全部過載小于6.33g0，3個過程約束很好地滿足了設(shè)計需求，且留有較大余量.因此，擴展增廣再入模型下的軌跡規(guī)劃問題P2在存在再入點狀態(tài)偏差及參數(shù)不確定性情況下同樣具備強魯棒性.

圖8 過程約束結(jié)果Fig.8 The results of the path constraints

6 結(jié) 論

針對實際再入過程對再入點狀態(tài)偏差和參數(shù)不確定性具有魯棒性需求和過載閾值前后傾側(cè)角分段控制需求，提出一種基于分段偽譜法的魯棒軌跡規(guī)劃方法.該方法重新定義了過載約束、動壓約束和熱流約束，將它們轉(zhuǎn)化為等式約束及狀態(tài)量范圍約束，建立了增廣再入模型及擴展增廣再入模型.

在增廣再入模型與經(jīng)典再入模型的比較研究中，本文提供的軌跡規(guī)劃建模方法在存在再入點狀態(tài)偏差和參數(shù)不確定性時具備強魯棒性，精確規(guī)劃到期望落點，且能有效地解決過載約束違反過載邊界的問題.此外，擴展增廣再入模型下的軌跡規(guī)劃結(jié)果同樣具備對初始再入偏差和對參數(shù)不確定的魯棒性.結(jié)果表明提出的過程約束轉(zhuǎn)化方法很好地解決了約束違反問題，且該轉(zhuǎn)化方法不受約束類型限制，具有較強的推廣性，對軌跡規(guī)劃問題的求解及實際應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)意義.