用于磁屏蔽室屏蔽疊層優(yōu)化的CSA-NSGAII 算法

楊松楠，張曉暉*，劉媛媛，張金生，席曉莉

（1. 西安理工大學(xué) 自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710048；2. 西安高新技術(shù)研究所，陜西 西安 710000）

1 引言

近年來(lái)，弱磁環(huán)境在航空航天、光學(xué)研究、生物研究和通信等方面的應(yīng)用愈加廣泛［1］。作為一種能夠減弱外部干擾磁場(chǎng)，營(yíng)造弱磁環(huán)境封閉空間的裝置，磁屏蔽室（Magnetic Shielded Room，MSR）得到廣泛研究。在磁屏蔽室中，受磁場(chǎng)影響較大的精密設(shè)備，譬如基于磁流體（Magnetic Fluid，MF）的光學(xué)傳感器［2］或超導(dǎo)量子干涉儀（Supperconducting Quantum Interference Device，SQUID）［3］等的測(cè)量精度將會(huì)得到極大提升。高效的磁屏蔽室設(shè)計(jì)策略通常是使用多個(gè)封閉的金屬層實(shí)現(xiàn)減弱屏蔽室目標(biāo)區(qū)域中的磁場(chǎng)。然而，屏蔽室在建造時(shí)層疊材料厚度、絕緣層厚度以及不同材料特性的組合都會(huì)影響屏蔽室的屏蔽性能［4］。

對(duì)屏蔽室結(jié)構(gòu)的優(yōu)化是一個(gè)典型的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題有著深入的研究，目前常用的多目標(biāo)優(yōu)化算法有NSGAII［5］、SPEA2［6］和MOEA/D［7］等算法。Canova等人［8］提出使用矢量免疫系統(tǒng)（Vetor Immune System，VIS）算法［9］來(lái)優(yōu)化屏蔽室金屬層疊結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)屏蔽性能，通過(guò)分析屏蔽材料在瑞利（Rayleigh）區(qū)域工作時(shí)的磁特性來(lái)評(píng)估圓柱體和球體屏蔽室的屏蔽性能，其優(yōu)化方法是通過(guò)尋找每個(gè)單層材料的最優(yōu)解來(lái)提升整個(gè)疊層性能。Li 等 人［10］提 出 使 用NSGAII 算 法 來(lái) 優(yōu) 化 四 層 屏蔽疊層，其使用Matlab 工具箱來(lái)求取算法的多目標(biāo)函數(shù)最小值。該方法能夠優(yōu)化屏蔽疊層，但NSGAII 算法仍然存在收斂速度慢，種群分布不均，全局搜索能力差的問(wèn)題，因此使用該方法對(duì)屏蔽疊層進(jìn)行優(yōu)化的方法仍然存在改進(jìn)的空間。由Canova 與Li 等人的研究可以看出：在滿(mǎn)足屏蔽性能要求的前提下，如何尋找最優(yōu)的屏蔽室金屬疊層厚度以及空氣層厚度，并同時(shí)節(jié)省屏蔽室的整體造價(jià)可以被看作是一個(gè)低維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，能夠使用多目標(biāo)優(yōu)化算法來(lái)求解。文獻(xiàn)［11］說(shuō)明VIS 算法用于求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)具有一定的優(yōu)勢(shì)，而針對(duì)低維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題則存在收斂速度慢，容易陷入局部最優(yōu)解等問(wèn)題，因而解決屏蔽室疊層優(yōu)化問(wèn)題更適合使用NSGAII 及其改進(jìn)算法。因此，本文將在Canova與Li 等人的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究，以尋找更好的疊層優(yōu)化方法。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文利用基因分段交叉策略并使用自適應(yīng)變異算子對(duì)NSGAII 算法進(jìn)行改進(jìn)，提 出 CSA-NSGAII （NSGAII Segmental Crossover Strategy with Adaptive Variation Operator）算法。該算法能夠在迭代初期更均勻地搜索解空間，并隨著進(jìn)化的深入提升局部搜索解的能力，從而獲得更高的收斂性與更均勻的種群分布。本文通過(guò)使用標(biāo)準(zhǔn)的ZDT 測(cè)試函數(shù)對(duì)CSA-NSGAII 與NSGAII［5］、MOEA/D［7］、NSGAII-SDR［12］和g-NSGAII［13］算 法 的 性 能 進(jìn) 行 了對(duì)比，結(jié)果顯示本文方法在收斂性與解的均勻性上均有較大提升。最后，本文以多層屏蔽室的建設(shè)成本與建造質(zhì)量作為待優(yōu)化問(wèn)題，以不同屏蔽層的厚度作為優(yōu)化目標(biāo)，使其在滿(mǎn)足屏蔽性能的約束下達(dá)到最優(yōu)，從而構(gòu)成多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。該問(wèn)題應(yīng)用本文提出的CSA-NSGAII 算法求取帕累托最優(yōu)解能夠更好地平衡建設(shè)成本與建造質(zhì)量，預(yù)測(cè)出不同頻率下每種材料的最佳使用厚度，為磁屏蔽室的實(shí)際建造提供最優(yōu)的理論設(shè)計(jì)。

2 研究問(wèn)題與優(yōu)化模型

2.1 金屬薄板的屏蔽特性

對(duì)于磁屏蔽室性能的主要評(píng)價(jià)指標(biāo)是屏蔽性能（Shield Effectiveness，SE），該指標(biāo)采用屏蔽室建設(shè)前后的磁場(chǎng)強(qiáng)度或磁感應(yīng)強(qiáng)度的比值來(lái)計(jì)算［14］。如圖1 所示，為多層磁屏蔽室，將該室置于磁場(chǎng)中，可以將外部磁場(chǎng)反射或吸收，在裝置內(nèi)部形成一個(gè)弱磁環(huán)境。

圖1 多層磁屏蔽室示意圖Fig.1 Schematic diagram of multilayer magnetic shielding room

磁屏蔽主要利用金屬板對(duì)電磁波的吸收和反射損耗，吸收損耗是指電磁波通過(guò)屏蔽室時(shí)產(chǎn)生渦流發(fā)熱而使其能量得以消耗，反射損耗是指電磁波射入到不同介質(zhì)的分界面時(shí)，發(fā)生反射使穿過(guò)界面的能量減弱來(lái)降低屏蔽室內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度［15］。影響屏蔽性能的因素主要有材料磁導(dǎo)率、材料電導(dǎo)率、材料層厚度與空氣層厚度。電磁波穿過(guò)厚度為t的屏蔽室時(shí)吸收損耗可表示為［16］：

其中：A為吸收損耗，單位為dB；t為材料板厚度，單位為m；f為被抑制的電磁波頻率，單位為Hz；μr為屏蔽材料的相對(duì)磁導(dǎo)率；σr為屏蔽材料的相對(duì)電阻率。

根據(jù)磁力波的阻抗將反射損耗分為低、中、高三部分，分別對(duì)應(yīng)磁場(chǎng)、平面波和電場(chǎng)的損耗。對(duì)于磁屏蔽室，主要計(jì)算低阻抗場(chǎng)所引起的反射損耗，其計(jì)算公式為［16］：

其中：R為反射損耗，單位為dB；r表示源到屏蔽層的距離，單位為m；f為被抑制的電磁波頻率，單位為Hz；μr為屏蔽材料的相對(duì)磁導(dǎo)率；σr為屏蔽材料的相對(duì)電阻率。

如圖2 與圖3 所示分別為厚度t=1 mm 的單層金屬板吸收損耗、反射損耗隨頻率的變化曲線(xiàn)。圖中，硅鋼的相對(duì)磁導(dǎo)率μr=1 000，相對(duì)電阻率σr=0.17；鋁的相對(duì)磁導(dǎo)率μr=1，相對(duì)電阻率σr=0.61；1J85 坡莫合金的相對(duì)磁導(dǎo)率μr=80 000，相對(duì)電阻率為σr=0.03。由圖2 可以看出，坡莫合金與硅鋼的吸收損耗會(huì)隨著干擾頻率的增加而增加，而鋁的吸收損耗微乎其微。由圖3 可以看出，鋁的反射損耗隨著頻率的增加而增加，而坡莫合金與硅鋼的反射損耗則隨著頻率的增加而減少。通過(guò)分析可得，坡莫合金對(duì)于中低頻磁場(chǎng)屏蔽的效果最好，但價(jià)格昂貴；硅鋼對(duì)于中低頻磁場(chǎng)具有一定的屏蔽效果，且價(jià)格便宜；鋁對(duì)于較高頻率磁場(chǎng)屏蔽效果較好，但對(duì)低頻磁場(chǎng)效果較差。坡莫合金的單價(jià)約為硅鋼的10 倍，鋁的6 倍。因此，可以使用多種材料組合來(lái)提升屏蔽性能，同時(shí)降低建造成本。本文使用CSANSGAII 算法，對(duì)由三種不同特性的金屬材料建成的多層磁屏蔽室疊層結(jié)構(gòu)這一多目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化，以尋求最優(yōu)的結(jié)構(gòu)，在滿(mǎn)足屏蔽性能的同時(shí)有效降低造價(jià)。

圖2 吸收損耗曲線(xiàn)Fig.2 Absorption loss curve

圖3 反射損耗曲線(xiàn)Fig.3 Reflection loss curve

2.2 多層屏蔽室屏蔽性能估算方法

對(duì)于多層屏蔽室的屏蔽性能（PSE），可由吸收損耗（A）、反射損耗（R）以及多次反射修正項(xiàng)（B）三者進(jìn)行計(jì)算。單層金屬板結(jié)構(gòu)屏蔽室的吸收損耗與反射損耗可由公式（1）與公式（2）得出。相比于單層金屬板結(jié)構(gòu)的屏蔽室，多層屏蔽室的金屬層之間是絕緣的，低吸收損耗的薄壁屏蔽層會(huì)出現(xiàn)多次反射，需要額外計(jì)算多次反射修正項(xiàng)（R），而反射修正項(xiàng)與空氣層的厚度直接相關(guān)，因此，空氣層厚度也是影響屏蔽性能的重要因素［17］。對(duì)于三層金屬疊層結(jié)構(gòu)，屏蔽性能可通過(guò)以下公式估算［16］：

其 中：Ai表 示 第i層吸收損耗，Ri表 示 第i層反射損耗，B12表示第一層與第二層的修正項(xiàng)，B23表示第二層與第三層的修正項(xiàng)。B12的計(jì)算公式為［16］：

其中：Zm表示金屬板的特性阻抗，單位為Ω；Zw表示空氣層波阻抗，單位為Ω；tair_12表示第一層與第二層金屬層之間的空氣層厚度，單位為m；λ0表示被抑制頻率的波長(zhǎng)，單位為m。同理可以計(jì)算出B23，即第二層與第三層的修正項(xiàng)。因此，由公式（4）可以得出，當(dāng)選定材料后，影響三層屏蔽室性能的決策變量有五個(gè)：三層金屬的厚度t1，t2，t3及兩層空氣層厚度tair_12和tair_23。

2.3 多層磁屏蔽疊層結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化模型

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其 中 ，Ω∈Rn表 示 決 策 空 間 ，且x=(x1，x2，…，xn)T表示決策向量，Rm表示m維目標(biāo)空間。

多層磁屏蔽疊層結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題可以描述為：n層厚度為t的相同材質(zhì)或不同材質(zhì)的磁屏蔽材料組成一個(gè)滿(mǎn)足屏蔽性能的屏蔽體所需每種材料的最佳厚度以及整體最低造價(jià)。因此，本文以建造成本、建造質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)，以屏蔽性能與建造尺寸為約束條件，以材料厚度與空氣層厚度為決策變量，為使用硅鋼、鋁和坡莫合金三種材料的多層磁屏蔽結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。另外，由于空氣層并不會(huì)增加額外的建造成本，但會(huì)對(duì)屏蔽性能產(chǎn)生重大影響，因此模型還設(shè)置了一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，用于獲得最優(yōu)的空氣層厚度。由公式（6）可以看出，多層磁屏蔽疊層優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為非線(xiàn)性模型，同時(shí)，約束為非線(xiàn)性約束。在滿(mǎn)足屏蔽性能的約束下，屏蔽室的建造總成本與總體質(zhì)量將成為兩個(gè)沖突的目標(biāo)，需要對(duì)這兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行折衷考慮才能找到最優(yōu)解，這滿(mǎn)足多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的基本形式。本文所使用的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

其中：ti為第i層材料的厚度，單位為m；Si為第i層材料所使用的面積，單位為m2，其中第一層材料面積為S1=((2×t1+d)3-d3)/t1，第二層材料 面 積 為S2=((2×t1+2×tair_12+2×t2+d)3-(2×t1+2×tair_12+d)3)/t2，以 此 類(lèi) 推 可以求得公式中S3，Sair_12，Sair_23的大??；d為屏蔽室內(nèi)徑；ρi為第i層材料的密度，單位為kg/m；Pi為第i層所使用的材料的單價(jià)，單位為CNY/kg；tair_i為第i層空氣層厚度，單位為m；ρa(bǔ)ir為空氣密度，單位為kg/m3；PSETarget為屏蔽室性能設(shè)計(jì)要求最小值，常數(shù)，單位為dB；結(jié)合公式（3），約束PSE可由如下公式進(jìn)行計(jì)算：

3 用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化的CSA-NSGAII算法

根據(jù)第2.3 節(jié)所述，層疊結(jié)構(gòu)優(yōu)化是一種有約束的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，多個(gè)目標(biāo)在約束區(qū)域應(yīng)盡可能同時(shí)最佳。多目標(biāo)優(yōu)化的解通常是一組均衡解，即帕累托（Pareto）最優(yōu)解［18］。帕累托解的等級(jí)定義為：尋找當(dāng)前解集中的帕累托最優(yōu)解，標(biāo)記為等級(jí)1 并從解集中刪除，然后在剩余解集中繼續(xù)尋找帕累托解，標(biāo)記為等級(jí)2，并從解集中刪除，以此類(lèi)推，循環(huán)求解，并分別標(biāo)記為等級(jí)3，4，…，并最終確定所有帕累托最優(yōu)解的等級(jí)，此過(guò)程稱(chēng)為帕累托排序或非支配排序。NSGAII算法是在第一代遺傳算法的基礎(chǔ)上引入非支配排序與聚集距離的概念，在進(jìn)行多次排序后，將帕累托解的解集集中在一個(gè)前沿面上，稱(chēng)為帕累托前沿，帕累托前沿上的解為最優(yōu)解集［19］。由于NSGAII 算法在解決復(fù)雜的非線(xiàn)性問(wèn)題時(shí)常常會(huì)在獲得全局最優(yōu)解前陷入某個(gè)局部極值而發(fā)生未成熟的收斂。因此，為了避免算法在早期陷入局部極值，本文提出CSA-NSGAII 算法，通過(guò)利用分段交叉策略，并將柯西隨機(jī)分布引入變異算子來(lái)提高種群的多樣性，使種群保持持續(xù)進(jìn)化的能力，以此提高算法的全局搜索能力、增強(qiáng)收斂性能、更能逼近帕累托最優(yōu)解。CSA-NSGAII 算法的流程圖如圖4 所示，算法首先生成初始種群，利用適應(yīng)度函數(shù)對(duì)種群進(jìn)行分級(jí)；然后選取兩組父代，隨機(jī)大小對(duì)父代基因進(jìn)行分段，并抽取分段后的基因進(jìn)行交叉操作。對(duì)完成交叉后的子代根據(jù)迭代過(guò)程自適應(yīng)變異，以保證在初期算法能夠搜索整個(gè)解平面，并隨著迭代過(guò)程的深入逐步縮小最優(yōu)解的搜索范圍；最后將變異完成的子代與父代作為初始種群再次進(jìn)行上述流程，直至迭代次數(shù)滿(mǎn)足要求。

圖4 CSA-NSGAII 算法流程圖Fig.4 Flow chart of CSA-NSGAII algorithm

3.1 針對(duì)交叉的改進(jìn)

具體改進(jìn)是將NSGAII 算法中二進(jìn)制交叉算子替換為實(shí)數(shù)編碼的交叉算子并進(jìn)行分段，在兩個(gè)父代構(gòu)成的空間內(nèi)生成多個(gè)子集，隨機(jī)選擇一對(duì)子集進(jìn)行交叉，該方法可以提高種群的多樣性，以防止陷入局部最優(yōu)。改進(jìn)的具體方法為：

（1）對(duì)于一個(gè)初始種群P，隨機(jī)選取兩個(gè)父代個(gè)體P1與P2，n表示變量個(gè)數(shù)：

（2）求取兩個(gè)父代個(gè)體P1與P2中各基因位上的最大值與最小值：

（3）將第n個(gè)基因位上的數(shù)離散為j個(gè)：

則離散后得到的新的j個(gè)父代個(gè)體可表示為：

（4）利用分段策略將所有基因進(jìn)行劃分，在1到n之間隨機(jī)生成k-1 個(gè)不同的正整數(shù)(S1，S2，…，Sk-1)，然后將父代的n個(gè)基因隨機(jī)分為k段，

（5）隨機(jī)生成一個(gè)正整數(shù)v∈[1，k]，對(duì)E1v段與E2v段的基因進(jìn)行互換。

3.2 針對(duì)變異的改進(jìn)

在遺傳算法迭代過(guò)程中，種群能夠不斷地進(jìn)化依賴(lài)于種群的多樣性，豐富的種群個(gè)體是保持種群進(jìn)化的動(dòng)力，種群的多樣性將提高算法的收斂速度。個(gè)體本質(zhì)上是由不同的基因構(gòu)成的，種群中個(gè)體之間的差異本質(zhì)上是各個(gè)片段上的基因差異，通過(guò)對(duì)變異的改進(jìn)，可以提升種群基因的變異強(qiáng)度，使個(gè)體結(jié)構(gòu)的差異增大。本文所提出的CSA-NSGAII 算法對(duì)基因變異的強(qiáng)度進(jìn)行了改進(jìn)，將柯西隨機(jī)分布引入變異算子，增大隨機(jī)變異的強(qiáng)度，變異程度隨變異過(guò)程自適應(yīng)變異。改進(jìn)后的變異操作，在初始迭代時(shí)可以避免陷入局部最優(yōu)，隨著迭代過(guò)程的深入，可以使算法在局部搜索精確解。本文針對(duì)變異的改進(jìn)是通過(guò)隨機(jī)選取一個(gè)父代個(gè)體P1，對(duì)其中的一個(gè)元素m進(jìn)行變異，m為1 到n之間的一個(gè)隨機(jī)正整數(shù)。P′1=(x11，x12，…，x′1m，…，x1n)為變異結(jié)果，對(duì)于x′1m的變異操作為：

（1）隨機(jī)變異步長(zhǎng)μ=rand[0，1]；

（2）變異因子：

其 中 ，σ1=(x1m-x1mmin)/(x1mmax-x1mmin)，σ2=(x1mmax-x1m)/(x1mmax-x1mmin)，x1mmax為Pmax中 的 第m個(gè) 元 素，x1mmin為Pmin中 的 第m個(gè)元素，C(0，1)表示以0 為中心，尺度參數(shù)為1的柯西隨機(jī)分布，相較于正態(tài)分布，柯西分布能夠使算法具有較好的全局搜索與局部搜索能力。

（3）變異的x′1m從以下策略中隨機(jī)選擇：

其中：T為最大迭代次數(shù)，t為當(dāng)前迭代次數(shù)。算法在迭代開(kāi)始時(shí)t較小，可以產(chǎn)生較強(qiáng)的變異效果，使算法能夠均勻的搜索解空間。隨著迭代過(guò)程的深入，t不斷增大，變異效果減弱，基因中的x1mmax占據(jù)主導(dǎo)地位，可將優(yōu)勢(shì)基因保留下來(lái)，并使算法在一個(gè)局部區(qū)域中進(jìn)行搜索。

提出的CSA-NSGAII 算法的具體步驟如下：

（1）初始化算法參數(shù)，譬如種群規(guī)模、迭代次數(shù)、交叉與變異概率等；

（2）初始化一個(gè)種群，計(jì)算每個(gè)種群的適應(yīng)度，并進(jìn)行非支配排序，根據(jù)排序結(jié)果進(jìn)行分級(jí)；

（3）使用錦標(biāo)賽選擇方法根據(jù)適應(yīng)度進(jìn)行選擇，產(chǎn)生一組父代種群；

（4）在父代種群中進(jìn)行隨機(jī)配對(duì)，兩兩一組進(jìn)行交叉與變異操作，對(duì)每個(gè)子代個(gè)體進(jìn)行擁擠度計(jì)算，提高種群的多樣性，選取最優(yōu)個(gè)體到子代種群中；

（5）將父代與子代種群合并，再次進(jìn)行非支配排序，根據(jù)擁擠度選取最優(yōu)種群；

（6）將上述過(guò)程所產(chǎn)生的種群作為下一次循環(huán)中的父代種群再次進(jìn)行交叉、變異、排序操作，直至滿(mǎn)足循環(huán)的終止條件。

CSA-NSGAII 算法能夠彌補(bǔ)NSGAII 算法種群多樣性保持策略中的不足，針對(duì)交叉與變異的部分進(jìn)行改進(jìn)，使算法具有更好的全局和局部搜索能力，能夠更好地提高算法的收斂精度、保持種群的多樣性并能夠有效防止算法陷入局部最優(yōu)。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

4.1 CSA-NSGAII 性能測(cè)試

為驗(yàn)證CSA-NSGAII 算法的收斂性能與解的分布情況，本文選取經(jīng)典的ZDT 系列函數(shù)作為測(cè)試函數(shù)，將本文算法與NSGAII 算法、NSGAII-SDR 算 法、g-NSGAII 算 法 與MOEA/D 算法進(jìn)行了比較。選取ZDT 系列函數(shù)原因是其與本文提出優(yōu)化問(wèn)題的形式相近，都屬于兩個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，從而能夠分析在相同的評(píng)價(jià)下CSA-NSGAII 算法的有效性。其中，ZDT1 函數(shù)為：

對(duì)于ZDT1 問(wèn)題，可以用于測(cè)試算法處理帕累托前沿分布均勻、最優(yōu)解集為凸解集、且沒(méi)有局部極值時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的性能。算法測(cè)試時(shí)使用同樣的參數(shù)：種群規(guī)模為100，迭代次數(shù)為10 000，交叉變異概率為0.9，對(duì)于g-NSGAII點(diǎn)數(shù)設(shè)置為100。四種對(duì)比算法在ZDT1 上的測(cè)試結(jié)果如圖5 所示，可以較為明顯地看出，在完成整個(gè)迭代過(guò)程后，本文CSA-NSGAII 算法所求出的解分布更均勻且更貼近帕累托最優(yōu)解。

圖5 ZDT1 測(cè)試曲線(xiàn)Fig.5 ZDT1 test curve

ZDT2 函數(shù)可以用于測(cè)試前沿分布均勻，最優(yōu)解集為凹解集，且沒(méi)有局部極值時(shí)算法的性能。其中，ZDT2 函數(shù)為：

對(duì)于ZDT2 問(wèn)題，參數(shù)為種群規(guī)模為100，迭代次數(shù)為10 000，交叉變異概率為0.9。測(cè)試結(jié)果如圖6 所示。可以看出，NSGAII、CSA-NSGAII 算法與g-NSGAII 算法都能夠收斂，但CSA-NSGAII 算法所求的解分布更加均勻；CSA-NSGAII 算 法 比NSGAII-SDR 和g-NSGAII 算法有更好的收斂效果。

圖6 ZDT2 測(cè)試曲線(xiàn)Fig.6 ZDT2 test curve

ZDT3 函數(shù)用于測(cè)試具有多個(gè)凸解集，且解集不連續(xù)時(shí)算法的性能。其中，ZDT3 函數(shù)為：

對(duì)于ZDT3 問(wèn)題，設(shè)置參數(shù)：種群規(guī)模為 100，迭代次數(shù)為10 000，交叉變異概率為0.9。測(cè)試結(jié)果如圖7 所示?？梢钥闯?，NSGAII、CSA-NSGAII 算 法 與g-NSGAII 算 法 都能夠收斂到理論值，NSGAII-SDR 算法需要更多迭代次數(shù)才能完成收斂。這說(shuō)明CSA-NSGAII 算法能夠在ZDT3 問(wèn)題上收斂，解集分布均勻。

圖7 ZDT3 測(cè)試曲線(xiàn)Fig.7 ZDT3 test curve

為了進(jìn)一步定量分析改進(jìn)算法的性能，本文采用世代距離（GD）測(cè)度、反世代（IGD）測(cè)度、均勻性（Spacing）與運(yùn)行時(shí)間（Runtime）這四個(gè)指標(biāo)對(duì)算法的性能進(jìn)行評(píng)判，其中：

GD 用于評(píng)價(jià)算法的收斂程度，其計(jì)算公式為：

其中：n表示變量個(gè)數(shù)，p=2，di表示算法每一個(gè)解距真實(shí)解的歐幾里得距離。IGD值越小，表明算法的收斂性越好。

IGD 用于評(píng)價(jià)算法的綜合性能，其計(jì)算公式為：

其中：jˉ表示到最終解集P中個(gè)體iˉ的最小歐幾里得距離。IIGD值越小，表明算法得到的近似解集越接近真實(shí)解集，算法的收斂性與均勻性越好。

Spacing 用于評(píng)價(jià)算法解集中的個(gè)體在目標(biāo)空間的分布情況，其計(jì)算公式為：

其中：PF表示已知的帕累托最優(yōu)面，di是指解集中非支配邊界上兩個(gè)連續(xù)向量的歐幾里得距離，dˉ表示這些距離的平均值。這種方法適用于在ZDT 測(cè)試函數(shù)上評(píng)價(jià)算法解的均勻性，Spacing的值越小表明解集越均勻。

將本文提出的CSA-NSGAII 算法與NSGAII 算 法、NSGAII-SDR 算 法、g-NSGAII 算 法和MOEA/D 算法進(jìn)行了比較，結(jié)果如表1 所示，其中黑色加粗?jǐn)?shù)據(jù)為對(duì)比中獲得的最優(yōu)結(jié)果，表中結(jié)果為運(yùn)行30 次測(cè)試的平均值。由表1 可以看出：

表1 性能測(cè)試結(jié)果Tab.1 Performance test results

（1）在GD 評(píng)價(jià)中，本文所提出的CSA-NSGAII 算法在ZDT1 上表現(xiàn)最好，相比第二名g-NSGAII 算 法GD 降 低 了17%；CSA-NSGAII 算法在ZDT2 上略遜于NSGAII 算法，為第二名；在ZDT3 上表現(xiàn)最好，相比第二名g-NSGAII 算法GD 降低了51%。

（2）在IGD 評(píng)價(jià)中，本文所提出的CSA-NSGAII 算 法 在ZDT1 上 略 遜 于g-NSGAII 算 法，為第二名；在ZDT2 上表現(xiàn)最好，相比第二名NSGAII-SDR 算 法IGD 降 低 了43%；在ZDT3 上 表現(xiàn)最好，相比第二名的g-NSGAII 算法IGD 降低了37%。

（3）在Spacing 評(píng)價(jià)中，本文所提出的CSANSGAII 算法在ZDT1 上表現(xiàn)最好，相比第二名NSGAII-SDR 算 法Spacing 降 低 了29%；在ZDT2 上表現(xiàn)略遜于MOEA/D 算法，但比NSGAII 方法更好；在ZDT3 上表現(xiàn)最好，相比第二名的g-NSGAII 算法Spacing 降低了5%。

（4）在Runtime 評(píng)價(jià)中，由于本文增加了分段交叉與自適應(yīng)變異，因此增加了部分計(jì)算量，使得計(jì)算速度并不占優(yōu)。在ZDT1 上測(cè)試，相比于第一名g-NSGAII 算法，CSA-NSGAII 算法計(jì)算時(shí)間增加了15%；在ZDT2 上測(cè)試，相比于第一名MOEA/D 算 法，CSA-NSGAII 算 法 計(jì) 算 時(shí) 間增加了5%，但為NSGAII 算法中最快；在ZDT3上測(cè)試，相比NSGAII 算法計(jì)算時(shí)間增加了48%，消耗了更多的時(shí)間。

對(duì)性能測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析，CSA-NSGAII 算法在ZDT1、ZDT2 與ZDT3 測(cè)試中的收斂性評(píng)價(jià)與均勻的分布性評(píng)價(jià)具有較好的表現(xiàn)，相較于NSGAII、NSGAII-SDR、g-NSGAII 與MOEA/D算法在部分評(píng)價(jià)中具有一定的優(yōu)勢(shì)。改進(jìn)后的方法雖然消耗了更多的計(jì)算時(shí)間，但獲得的收斂性與均勻性的提升是非常可觀(guān)的。本文將使用CSA-NSGAII 算法求解2.3 節(jié)中所提出的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，以驗(yàn)證本文方法的實(shí)用性。

4.2 使用CSA-NSGA 對(duì)屏蔽室疊層的優(yōu)化

應(yīng)用CSA-NSGAII 算法對(duì)本文提出的多目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)，所使用的材料參數(shù)如表2 所示。試件由內(nèi)至外材料分別為中冶恒泰1J85 坡莫合金，寶鋼B50A250 無(wú)取向硅鋼以及中鋁1060 鋁板，不同的金屬層疊順序會(huì)對(duì)屏蔽結(jié)果產(chǎn)生影響，但已有文獻(xiàn)說(shuō)明該順序用于磁場(chǎng)屏蔽時(shí)性能最佳［16，20］。如使用其他材料，僅需對(duì)模型中參數(shù)進(jìn)行修改即可完成優(yōu)化。其中，相對(duì)磁導(dǎo)率是特殊介質(zhì)的磁導(dǎo)率與真空磁導(dǎo)率的比值，相對(duì)電阻率是指規(guī)定體積的退火銅電阻率與同單位的試樣材料的電阻率之比。

表2 屏蔽材料相關(guān)參數(shù)Tab.2 Relevant parameters of shielding materials

將2.3 節(jié)中的優(yōu)化問(wèn)題帶入改進(jìn)方法中，所得出的帕累托解如圖8 所示。設(shè)定優(yōu)化目標(biāo)為：屏蔽室的屏蔽性能在1 Hz 頻率變化磁場(chǎng)中能夠滿(mǎn)足大于70 dB 的效能，屏蔽效能的計(jì)算公式為PSE=20log(H0/H)，其中，H0為屏蔽室建設(shè)前的磁場(chǎng)，H為屏蔽室建設(shè)后的剩余磁場(chǎng)。

圖8 頻率為1 Hz 時(shí)的多目標(biāo)最優(yōu)解Fig.8 Multi-objective optimal solution at frequency of 1 Hz

由4.1 節(jié)可知，使用本文提出的CSA-NSGAII 算法相比NSGAII 算法能夠獲得更小的建造成本與更低的總質(zhì)量，由圖8 可以看出，使用CSA-NSGAII 用于預(yù)測(cè)本文的問(wèn)題在整個(gè)空間中獲得的解都優(yōu)于NSGAII 所求得的解，且解的分布性更好。在同樣的約束條件下，CSA-NSGAII 算法能夠更加逼近帕累托解，且解更加具有多樣性，這與4.1 節(jié)在ZDT 函數(shù)上的測(cè)試結(jié)果相吻合，說(shuō)明相較于NSGAII 算法，本文提出的CSA-NSGAII 算法更適合尋找屏蔽室的最優(yōu)疊層結(jié)構(gòu)。使用本文提出的CSA-NSGAII 算法與NSGAII 算法對(duì)屏蔽室最低造價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，不同頻率下每種材料的厚度以及最終造價(jià)如表3 所示。為了屏蔽低頻磁場(chǎng)需要更多的反射損耗，屏蔽疊層需要較多的高磁導(dǎo)率材料（坡莫合金），預(yù)測(cè)結(jié)果與理論模型吻合。硅鋼可以在一定程度上替代坡莫合金，并且價(jià)格相對(duì)便宜。優(yōu)化模型提高了疊層中硅鋼的厚度從而減少了建造成本，隨著頻率的上升，所需的高導(dǎo)磁率材料逐漸減少，并且可以通過(guò)增大空氣層厚度來(lái)大幅節(jié)約建造成本。通過(guò)對(duì)比兩種方法所求出的最優(yōu)解，可以明顯地看出：相比NSGAII 算法，本文算法在所測(cè)試的所有頻率都能獲得更優(yōu)的層疊結(jié)構(gòu)。由于屏蔽不同頻率所使用的材料厚度不同，本文使用以下的方法來(lái)評(píng)價(jià)CSA-NSGAII 算法與NSGAII 算法用于求取最優(yōu)層疊結(jié)構(gòu)時(shí)能夠節(jié)約的成本：

其中：ZNSGAII(i)表示屏蔽頻率為i時(shí)NSGAII 算法計(jì)算屏蔽室的造價(jià)，ZCSA-NSGAII(i)表示屏蔽頻率為i時(shí)CSA-NSGAII 算法計(jì)算屏蔽室的造價(jià)。用該公式計(jì)算表3 中的數(shù)據(jù)可知，本文提出的CSA-NSGAII 算法相比NSGAII 算法可以平均節(jié)省約14%的建造成本。

表3 原始方法與改進(jìn)方法求得的優(yōu)化結(jié)構(gòu)及最低成本Tab.3 Optimal laminated structure and the lowest cost obtained by the original NSGAII and the CSA-NSGAII

本文驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的平臺(tái)如圖9 所示。其中，圖9（a）為已建成磁屏蔽室，該屏蔽室能夠屏蔽外部干擾磁場(chǎng)，在屏蔽室中提供一個(gè)近零磁環(huán)境，可使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確。圖9（b）為三軸亥姆霍茲線(xiàn)圈，亥姆霍茲線(xiàn)圈是一種制造小范圍區(qū)域均勻磁場(chǎng)的器件，使用該裝置可以產(chǎn)生nT 級(jí)至T 級(jí)磁場(chǎng)，另外磁場(chǎng)與線(xiàn)圈電流有很好的線(xiàn)性關(guān)系，因此可以產(chǎn)生與電流變化頻率相同的變化磁場(chǎng)。本文將測(cè)試件放置于該實(shí)驗(yàn)裝置中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，由于該實(shí)驗(yàn)僅與磁場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)，因此本文實(shí)驗(yàn)時(shí)為方便測(cè)試，僅使用水平方向線(xiàn)圈產(chǎn)生磁場(chǎng)。

圖9 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.9 Experimental platform

實(shí)驗(yàn)試件使用中冶恒泰1J85 坡莫合金，寶鋼B50A250 無(wú)取向硅鋼以及中鋁1060 鋁板制成。試件材料厚度參考表3 中的最優(yōu)厚度，根據(jù)實(shí)際能夠購(gòu)買(mǎi)到的材料，實(shí)驗(yàn)試件坡莫合金層由0.5 mm 與0.1 mm 厚的薄片疊加組成；硅鋼層由0.5 mm 厚的薄片疊加組成；鋁層由2 mm，1 mm 與0.5 mm 厚的鋁板疊加組成；金屬層厚度向上取整，層與層之間由木板填充形成空氣層，試件由內(nèi)至外每層材料實(shí)際厚度如表4所示。

本文使用亥姆霍茲線(xiàn)圈產(chǎn)生了變化頻率為1 Hz、強(qiáng)度為32 000 nT 的磁場(chǎng)與變化頻率為50 Hz、強(qiáng)度為32 000 nT 的磁場(chǎng)對(duì)兩個(gè)試件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，測(cè)試中使用MS-03AR 型三軸磁傳感器對(duì)試件的屏蔽效果進(jìn)行了測(cè)量，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表4 所示。由表4 可以看出雖然測(cè)試時(shí)外部磁場(chǎng)強(qiáng)度會(huì)有少量偏差，但經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)兩種試件均能實(shí)現(xiàn)約70 dB 的屏蔽效果，說(shuō)明由本文改進(jìn)后的NSGAII 算法能夠?qū)ζ帘委B層進(jìn)行優(yōu)化，且優(yōu)化結(jié)果具有一定的實(shí)際使用價(jià)值。

表4 試件參數(shù)及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.4 Specimen parameters and experimental data

5 結(jié)論

本文提出將CSA-NSGAII 算法用于優(yōu)化多層屏蔽室的疊層結(jié)構(gòu)，預(yù)測(cè)屏蔽室的質(zhì)量與造價(jià)。本文首先提出使用分段交叉策略與自適應(yīng)變異算子的CSA-NSGAII 算法。然后，使用CSA-NSGAII 算法對(duì)屏蔽結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

（1）經(jīng)ZDT 測(cè)試函數(shù)驗(yàn)證，CSA-NSGAII 算法 與NSGAII 算 法、NSGAII-SDR 和g-NSGAII相比在GD、IGD 等指標(biāo)上都具有顯著提升，證明改進(jìn)算法在收斂性能與種群分布均勻性上改進(jìn)的有效性。

（2）應(yīng)用CSA-NSGAII 算法對(duì)磁屏蔽結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求解，比NSGAII 方法優(yōu)化結(jié)構(gòu)節(jié)省14%的建設(shè)成本，且優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在實(shí)際的平臺(tái)中進(jìn)行測(cè)試，能夠滿(mǎn)足設(shè)計(jì)性能。說(shuō)明本文提出算法的實(shí)用性。

（3）CSA-NSGAII 的實(shí)用性范圍廣，不僅可以用于磁屏蔽室的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，同時(shí)可以進(jìn)一步推廣到更多的應(yīng)用場(chǎng)景，譬如電磁屏蔽室的結(jié)構(gòu)優(yōu)化等應(yīng)用。