基于最小方差Delta的滬銅期貨期權(quán)對沖效果回測

浦江燕，王藝天，周子凱

（1.上海立信會計金融學(xué)院金融學(xué)院，上海201209；2.上海財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，上海201901；3.中國人民銀行尋甸縣支行國庫會計發(fā)行部，云南昆明 655200）

一、引言

1973年4月26日，芝加哥期權(quán)交易所（Chicago Board Options Exchange，CBOE）正式成立。在此之前，期權(quán)在美國只是少數(shù)交易商之間的場外買賣。CBOE 建立了期權(quán)交易市場，推出標(biāo)準(zhǔn)化合約，標(biāo)志著期權(quán)交易進(jìn)入了標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化的全新發(fā)展階段，使期權(quán)交易產(chǎn)生革命性的變化。2015年2月9日，我國第一個股票期權(quán)產(chǎn)品——上證50ETF 期權(quán)在上海證券交易所上市。七年來，我國期權(quán)的品種日漸增多，市場規(guī)模逐步擴(kuò)大，為我國投資者提供了許多可用于投資、對沖的金融工具。

銅是一種重要的工業(yè)用金屬，中國經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展也和銅金屬緊密相連。2018年9月21日，中國第一個工業(yè)品期權(quán)——滬銅期貨期權(quán)在上海期貨交易所上市。目前，滬銅期貨已具一定程度的規(guī)模，滬銅期貨的價格已經(jīng)成為國內(nèi)金屬銅的權(quán)威報價，甚至在國際上也有了一定的影響力，滬銅期貨以及以其為標(biāo)的的滬銅期貨期權(quán)日益受到企業(yè)和投資者的重視。

期權(quán)雖然給投資者提供了更多的投資選擇，但由于其杠桿性也會帶來更大的風(fēng)險，所以期權(quán)的風(fēng)險管理十分重要。期權(quán)希臘字母是期權(quán)風(fēng)險管理中的重要指標(biāo)，指的是期權(quán)價格關(guān)于其各個影響因素的偏導(dǎo)。標(biāo)的資產(chǎn)的價格是期權(quán)價格的風(fēng)險源之一，Delta 指的是期權(quán)價格關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價格的一階偏導(dǎo)，也是希臘字母中最為重要的一個，在期權(quán)風(fēng)險管理中，往往會將組合的Delta 對沖至0，即稱為Delta 中性策略。

標(biāo)準(zhǔn)化的期權(quán)產(chǎn)品面世以后，如何為其合理定價成為人們關(guān)注的問題。Black 和Scholes（1973）、Merton（1973）分別提出了無分紅歐式期權(quán)的定價，為期權(quán)定價的研究打下了堅實的基礎(chǔ)，在其研究成果基礎(chǔ)上形成了Black-Scholes-Merton 期權(quán)定價模型（簡稱BSM 模型）。BSM 模型的提出解決了困擾人們已久的期權(quán)定價問題，市場的需要性使得這一模型很快得到大眾的接受，迅速廣泛地使用起來。

關(guān)于BSM 模型下的經(jīng)典Delta 中性策略，不少學(xué)者進(jìn)行了實證研究。鄭浩（2003）比較了中國股指期權(quán)Delta 動態(tài)對沖和Delta-Gamma 套期保值的效果。魏潔（2011）構(gòu)造了滬深300 股指期貨和期權(quán)的組合，用指數(shù)期貨實現(xiàn)Delta 動態(tài)對沖，保持期權(quán)的風(fēng)險在可控范圍之內(nèi)。浦江燕等（2017）以上證50ETF 作為標(biāo)的進(jìn)行研究，提出當(dāng)其價格超過一定幅度，再進(jìn)行Delta 對沖的方法。熊熊和劉勇（2017）考慮固定時點的Delta 中性對沖策略、Delta 區(qū)間對沖策略以及固定歷史波動率變化區(qū)間Delta 對沖策略,比較上證50ETF 期權(quán)及其標(biāo)的資產(chǎn)上證50ETF 基金套期保值的效果。郭江嬌（2020）通過構(gòu)建基于 Delta 中性和結(jié)構(gòu)化復(fù)制期權(quán)理論的套保策略，并利用模擬價格路徑和真實交易數(shù)據(jù)進(jìn)行套期保值操作，證明了該策略在我國銅商品市場的適用性。胡姜等（2021）通過二叉樹模型和蒙特卡羅模型分別對我國豆粕期貨看跌期權(quán)和看漲期權(quán)進(jìn)行實證分析，得到對于看跌期權(quán)，都是較小的可容忍區(qū)間的對沖后的 Delta 均值和方差最小。對于看漲期權(quán)，都是較大的可容忍區(qū)間的對沖后的 Delta 均值最小。以上學(xué)者考慮的都是基于經(jīng)典的BSM 模型（假定波動率是常數(shù)）下的Delta 中性套期保值策略及其改進(jìn)。

BSM 模型在廣泛使用的同時，缺陷也日益顯現(xiàn)。其中最為顯著的便是BSM 模型中的分布假設(shè)——假設(shè)股票價格服從幾何布朗運動。這個假設(shè)也意味著，市場中標(biāo)的資產(chǎn)價格的對數(shù)收益率的波動率是常數(shù)，但是這個假設(shè)與現(xiàn)實情況顯然具有較大差異。

由于BSM 模型條件的限制，期權(quán)定價相關(guān)的理論如期權(quán)希臘字母對沖策略也存在缺陷。因此，學(xué)者們對希臘字母對沖Delta 調(diào)整進(jìn)行了改進(jìn)，主要包括如下兩個方面：（1）對BSM 模型的改進(jìn)，主要有隨機(jī)波動率模型和局部波動率模型；（2）對原有模型求出來的希臘字母加以調(diào)整，最為典型的是Hull 和White（2017）在局部波動率模型的啟發(fā)下，提出了依據(jù)過去市場數(shù)據(jù)構(gòu)建二次模型，將常規(guī)Delta 調(diào)整為最小方差Delta（MV Delta）的改善方法。針對Delta 調(diào)整方法的改進(jìn)，王清水（2019）對臺指期權(quán)作了實證研究，比較了不同改進(jìn)策略套期保值的效果。劉寶杰（2020）使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型探尋標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化與資產(chǎn)的波動率變化之間的關(guān)系，并使用上證50ETF 期權(quán)的日度交易數(shù)據(jù)進(jìn)行了最小方差Delta 的實證研究。

本文選用上海期貨交易所滬銅期貨期權(quán)作為研究對象，研究不同Delta 策略套期保值的效果，分別使用（1）每日調(diào)整頭寸的BSM Delta 對沖；（2）每日調(diào)整頭寸的最小方差Delta 對沖；（3）當(dāng)滬銅期貨價格波動超過0.4%時，再進(jìn)行期貨頭寸調(diào)整的對沖；（4）當(dāng)最小方差Delta 波動超過15%時，再進(jìn)行期貨頭寸調(diào)整的對沖。本文對四種策略進(jìn)行對沖回測，分別計算這四種方法的成本，分析其差別，選取了相對較優(yōu)的對沖方法，并且給予合理的解釋。

本文的貢獻(xiàn)主要在以下兩個方面：

第一，有關(guān)期權(quán)對沖的現(xiàn)有文獻(xiàn)主要集中于對成熟市場的研究，研究的對象主要是上證50ETF 等較為成熟的期權(quán)。本文嘗試選擇較為新興的品種——滬銅期貨期權(quán)作為本次研究的對象。此舉既豐富了我國商品期貨期權(quán)領(lǐng)域的研究廣度，也在一定程度上為新興的商品期貨期權(quán)市場的投資策略提供了參考意見，有助于提高銅產(chǎn)業(yè)鏈相關(guān)企業(yè)和金融機(jī)構(gòu)中我國滬銅期貨市場中的參與度。

第二，本文在研究、對比常規(guī)Delta 和最小方差Delta 動態(tài)對沖之后，創(chuàng)新性地提出在標(biāo)的資產(chǎn)價格變化超出一定幅度以及當(dāng)最小方差Delta 變動超過一定幅度之后再進(jìn)行對沖這兩種方法，從而可以有效減少對沖過度，降低購買期貨的成本和手續(xù)費，從而減少套期保值的成本，使得最終對沖的盈利效果得到進(jìn)一步的提升。

二、理論模型

（一）BSM 模型

BSM 模型有如下五個假設(shè)：（1）利率已知并且不隨時間變化，為常數(shù)；（2）股票價格在連續(xù)時間內(nèi)服從幾何布朗運動，即其對數(shù)收益率的波動率為常數(shù)；（3）期權(quán)是歐式期權(quán)，只能到期行權(quán)；（4）買賣股票和期權(quán)時沒有交易成本；（5）允許任意賣空。

在上述假設(shè)成立的前提下，BSM 模型歐式看漲期權(quán)定價的公式模型如下所示：

其中，C代表歐式看漲期權(quán)價格，St為基礎(chǔ)資產(chǎn)（在本文中指銅）在t時刻的價格，N（*）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，X代表期權(quán)的行權(quán)價格，r代表無風(fēng)險利率，T是期權(quán)到期的剩余期限。d1、d2計算方法如下：

其中，σ代表股票對數(shù)收益率的波動率，其余變量含義與式（1）相同。

在已知歐式看漲期權(quán)價格（C）情況下，對應(yīng)的歐式看跌期權(quán)價格（P）也可以由看漲看跌期權(quán)平價公式（Put-Call Parity）來求出，具體公式如下：

當(dāng)期權(quán)標(biāo)的是期貨時，歐式看漲期權(quán)價格（C）可以由如下公式得到：

其中，F(xiàn)t表示t時刻的期貨價格?？吹跈?quán)價格（P）由平價公式可得

式（1）～（6）中的五個參數(shù)St、X、r、T和σ中，只有波動率σ無法從市場數(shù)據(jù)中直接獲得，其余均可觀測得到。因此，在已知期權(quán)價格的前提下，可以使用BSM 模型的定價公式倒推出波動率σ，即期權(quán)的隱含波動率。

（二）局部波動率模型

在BSM 模型中，波動率σ被假定為常數(shù)，而事實數(shù)據(jù)表明，BSM 模型倒推出期權(quán)隱含的波動率并不總是常數(shù)，存在波動率偏斜、波動率微笑等情況。為了解決這一問題，需要對原先的BSM 模型進(jìn)行一定程度的拓展，主要分為以下兩類：（1）隨機(jī)波動率模型，即假定波動率服從一個隨機(jī)游走過程；（2）局部波動率模型。如果隨機(jī)項σ是標(biāo)的資產(chǎn)價格和時間的確定性函數(shù)，那么這就是局部波動率模型。局部波動率模型是隨機(jī)波動率模型的一種特殊情況，可以用如下微分方程表示：

其中，r表示無風(fēng)險利率，d表示股票的分紅率，Wt是一個維納過程。

（三）最小方差Delta

如果使用局部波動率模型計算期權(quán)價格，那么期權(quán)價格既依賴標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價格St，也依賴波動率σ。記δMV為局部波動率模型下的最小方差Delta，根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則：

由公式（8）可以看出，在局部波動率模型下的Delta 主要由兩部分組成，一部分是BSM 模型下的Delta，另外一部分則是由BSM 模型下的vega 乘以作為調(diào)整項，但難以估計。

Hull 和White（2017）研究發(fā)現(xiàn)，δMV-δBSM，也即公式（8）中的Delta 調(diào)整項，可以使用δBSM的二次函數(shù)來進(jìn)行較為準(zhǔn)確的擬合，由此得出如下公式：

其中，G（*）表示對應(yīng)變量的二次函數(shù)。

在此基礎(chǔ)上，公式（8）可改寫為：

其中，a、b、c為常數(shù)。

三、對沖實證檢驗

本文分析了2021年1月4日，不同剩余到期期限的期權(quán)交易量（見圖1和圖2），發(fā)現(xiàn)無論對于看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，剩余期限越長，銅期貨期權(quán)的交易量越少。剩余期限為三個月（包含三個月）以上的期權(quán)的交易量都不到100手?？梢娛袌鰧︺~期貨期權(quán)的交易主要集中在短期限的期權(quán)上。

圖1 不同期限的看跌期權(quán)交易量

圖2 不同期限的看漲期權(quán)交易量

因此，本次對滬銅期貨期權(quán)的對沖研究中，本文選擇了剩余期限不足2 個月的3月到期合約。節(jié)日前后，交易數(shù)據(jù)可能會有特殊性，所以，本文避開節(jié)日前后（2021年1月1日是元旦，2月12日是春節(jié)），選擇2021年1月11日至2021年2月4日的數(shù)據(jù)進(jìn)行實證驗證。

（一）動態(tài)Delta 對沖

1.每日調(diào)整對沖頭寸

假設(shè)2021年1月11日某交易商在場內(nèi)市場做空了100 手標(biāo)的為滬銅期貨合約的期權(quán)合約，代碼為CU2103C61000（該代碼含義為期權(quán)買方可以在期權(quán)到期日以61000 元的行權(quán)價格購買滬銅期貨）?！渡虾Ｆ谪浗灰姿帢O銅期貨期權(quán)合約》規(guī)定合約標(biāo)的物為陰極銅期貨合約（5 噸），報價單位是元（人民幣）/噸，《上海期貨交易所陰極銅期貨合約》規(guī)定交易單位為5 噸/手，報價單位為元（人民幣）/噸。為了凸顯套期保值成本的本質(zhì)，本文在實證中的計算均假設(shè)期權(quán)的標(biāo)的物為陰極銅期貨合約（1 噸），所以在實際操作中，期權(quán)的盈利和期貨套期保值的成本都是本文所得數(shù)據(jù)的5 倍。

在2021年1月11日當(dāng)天，該份期權(quán)合約的標(biāo)的資產(chǎn)，銅期貨合約的市場價格為58670 元/噸，該期權(quán)的Delta 為0.23，在對沖起始日，為了對沖100 手滬銅期權(quán)空頭，需要做多100×Delta=23 手滬銅期貨合約。本文假設(shè)期貨交易費用為買入期貨成本的0.15‰，所以開倉手續(xù)費為23×58670×0.15‰=202.41 元。同時，期權(quán)賣方可以收入權(quán)利金826×100=82600 元。接下去本文考慮2021年1月11日至2021年2月4日每日調(diào)整的經(jīng)典BSM 模型下Delta 動態(tài)對沖策略，結(jié)果如表1所示。

表1 每日調(diào)整的常規(guī)Delta 動態(tài)對沖策略結(jié)果

由表1可以看出，到1月12日收盤時，Delta 值上升至0.26，為了保持Delta 中性，需要做多2.52 手滬銅期貨合約。以此類推，為了保持對沖組合的Delta 中性，需要每天進(jìn)行倉位的調(diào)整。若Delta 值變大，則做多滬銅期貨，若Delta 值變小，則需要平倉部分期貨。到2月4日，將所持滬銅期貨頭寸全部平倉，則利用滬銅期貨對滬銅期貨期權(quán)進(jìn)行Delta 動態(tài)對沖的累積成本為27617.86 元，即期貨市場虧損27617.86 元。其中，所付出的手續(xù)費共344.36 元，未平倉量0 手。

2.最小方差Delta 對沖

由于期權(quán)價格和標(biāo)的資產(chǎn)的價格變動為如下所示：

結(jié)合公式（10）、公式（11），可以推導(dǎo)出如下公式：

根據(jù)公式（12），本文選取2020年12月3日至12月31日一個月的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，估計出a、b、c的值，并且根據(jù)a、b、c的值來調(diào)整BSM 模型測算出1月份的最小方差Delta，使用最小方差Delta 進(jìn)行對沖。

回歸出的方程如下所示：

由此可見，公式（12）中的a為10416.71，b為-73459.11，c為122976.9，在此基礎(chǔ)上，用公式（10）對BSM 模型求出的δBSM進(jìn)行調(diào)整，得到δMV也即最小方差Delta，表格2 列出對沖過程，具體邏輯同方法一BSM 模型下Delta 對沖。

從表2可以看出，使用調(diào)整后的最小方差Delta 進(jìn)行對沖，對沖的累計成本為23914.69 元，即期貨市場虧損23914.69 元，其中，手續(xù)費782.08 元，未平倉量0 手。

表2 每日調(diào)整的最小方差Delta 動態(tài)對沖策略結(jié)果

3.期貨價格變動超出設(shè)定范圍的Delta 對沖

此外，本文在最小方差Delta 的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動不超過一定范圍時，風(fēng)險可控，所以不進(jìn)行期貨頭寸調(diào)整，這樣來減少Delta 過度對沖。本文將調(diào)整的范圍定為0.4%，即當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動超過上一次調(diào)整日價格的0.4%時，再進(jìn)行期貨頭寸的調(diào)整。對沖過程如表3所示。

由表3可以看出，2021年1月11日對沖開始時，最小方差Delta 為0.23，因此買入23 手期貨建倉，花費成本為1349410.00 元，手續(xù)費為202.41 元。2021年1月18日，期貨收盤價為59280 元，相較于2021年1月11日時價格變動超過0.4%，因此進(jìn)行對沖的頭寸調(diào)整，此時最小方差Delta 為0.17，所以賣出6.45 手期貨。之后以此類推，當(dāng)期貨價格變動相較于上一次調(diào)整日的價格超過0.4%時進(jìn)行對沖頭寸的調(diào)整，于是分別在1月18日，1月19日，1月21日，1月22日，1月25～28日，2月2日，2月3日進(jìn)行對沖。 此方法相比于對沖策略2 減少了對沖頻率，最終花費的手續(xù)費為731.25 元，購買期貨成本為22189.80 元，最終累計成本為22921.05 元，即期貨市場虧損22921.05 元，未平倉量0 手。

表3 超出設(shè)定范圍調(diào)整的最小方差Delta 對沖效果

4.最小方差Delta 變動超出設(shè)定范圍的Delta 對沖

除了根據(jù)期貨價格變動幅度進(jìn)行期貨頭寸的調(diào)整外，本文提出一種新的對沖方式。本文認(rèn)為，最小方差Delta 的變動幅度不超過一定范圍時，期權(quán)風(fēng)險可控，此時可以不進(jìn)行期貨頭寸調(diào)整。本次實證中將該調(diào)整的范圍定為15%，即當(dāng)最小方差Delta 值的變動幅度超過上一次調(diào)整日最小方差Delta 的15%時，再進(jìn)行期貨頭寸的調(diào)整，下面通過表4對對沖過程予以體現(xiàn)。

由表4可以看出，2021年1月11日，根據(jù)最小方差Delta 進(jìn)行建倉，購買了23 手期貨，成本為1349410.00 元，花費手續(xù)費202.41 元。2021年1月12日，由于最小方差Delta 變動為0.19，相較于2021年1月11日最小方差Delta 的0.23，減少了17.39%，超過了設(shè)定的范圍15%，因此進(jìn)行期貨頭寸的調(diào)整，賣出4.40 手期貨，隨后的日子最小方差Delta 的變動并未超過15%，所以一直不進(jìn)行期貨頭寸的調(diào)整，直到1月26日，最小方差Delta 為0.42，相較于上一次進(jìn)行頭寸調(diào)整日2021年1月12日的最小方差Delta 0.19，變動幅度較大，為121.05%，因此買入了22.97 手期貨，花費成本為1342799.11 元，所需的手續(xù)費為201.42 元。采用這種對沖方法，僅在開始和結(jié)束對沖的當(dāng)天，以及1月12日、1月26日、1月27日、1月28日進(jìn)行了期貨頭寸的調(diào)整，進(jìn)一步減少了對沖頻率，最終花費的手續(xù)費為682.27 元，購買期貨的成本總計為20779.79 元，兩者加總得到最終的累計成本為21462.06 元，也即期貨市場虧損21462.06 元，未平倉量0 手。

表4 最小方差Delta 波動超出范圍進(jìn)行頭寸調(diào)整對沖效果

與此同時，在期貨市場上無論用哪一種套期保值策略進(jìn)行Delta 對沖期權(quán)風(fēng)險，期權(quán)市場的盈虧計算如下：2021年1月11日做空100 手CU2103C61000 期權(quán)，直到2021年2月4日平倉。期權(quán)市場盈利(826－120)×100=70600 元。

（二）實證結(jié)論

上述四種動態(tài)Delta 對沖策略效果如表5所示。

表5 四種Delta 對沖效果比較

由表5可以看出，期貨是為期權(quán)套期保值，對沖風(fēng)險，所以當(dāng)期權(quán)盈利時，期貨是虧損的。另外可以看到，每日調(diào)整的最小方差Delta 對沖最后的總收益高于每日調(diào)整的常規(guī)的BSM 動態(tài)Delta 對沖，而期貨價格超出一定范圍后再進(jìn)行期貨頭寸調(diào)整的最小方差Delta 對沖收益高于之前兩種對沖方式，而當(dāng)最小方差Delta 超出一定范圍后再進(jìn)行期貨頭寸調(diào)整的對沖方式的收益最高，在此次實證中是最優(yōu)的套期保值策略。本文分析原因如下：在本次實證中，方法（2）相對于方法（1），減少了過度對沖，在第（3）、第（4）種對沖方法中，由于對對沖的執(zhí)行設(shè)置了門檻，既將期權(quán)風(fēng)險控制在一定范圍內(nèi)，又相較于每日調(diào)整的最小方差Delta 對沖，降低了購買期貨的成本和手續(xù)費，從而減少了期貨套期保值的成本。本次實證中，相較于根據(jù)期貨價格波動幅度來進(jìn)行期貨頭寸調(diào)整的方法，根據(jù)最小方差Delta 波動幅度來進(jìn)行期貨頭寸調(diào)整，進(jìn)一步減少了對沖的頻率，減少了對沖的成本，從而成為了四種動態(tài)Delta 對沖中的最優(yōu)策略。同時，本次實證表明，進(jìn)行風(fēng)險管理過后與裸露的期權(quán)頭寸具有較大的盈利差別，作為投資者，在市場上進(jìn)行投資的同時，需要時刻注意風(fēng)險敞口的管理。

四、未來展望

在前述研究基礎(chǔ)上，本文對于未來有關(guān)期權(quán)對沖相關(guān)的研究方向提出了以下幾點展望：

（一）拓寬研究范圍

本文有關(guān)最小方差Delta 的調(diào)整僅僅局限于Hull 和White（2017）二次模型方法，此外還有著名的SABR 模型等，將來有關(guān)最小方差Delta 的調(diào)整可以涉及更多相關(guān)的理論模型，調(diào)整方法更為全面，進(jìn)一步提高調(diào)整精度。

（二）開發(fā)交易策略

本文有關(guān)最小方差Delta 的研究可以開闊期權(quán)交易員們對于期權(quán)交易策略的思路，采用更加精確的模型修正自己的交易策略，當(dāng)常規(guī)對沖方式遭遇瓶頸之時，可采用最小方差 Delta 進(jìn)行對沖，可能取得意想不到的效果。

另外，隨著科技發(fā)展，人工智能投資顧問、大數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測使用范圍越來越廣泛，后續(xù)可以考慮將最小方差Delta 對沖策略、人工智能投資顧問與大數(shù)據(jù)相結(jié)合，加以推廣運用。