基于最優(yōu)預(yù)見控制的貨運(yùn)列車速度跟蹤控制研究*

李 旺， 金鑫淼， 姜 鵬， 易靈芝

(1.中車株洲電力機(jī)車有限公司，湖南 株洲 412001；2.大功率交流傳動(dòng)電力機(jī)車系統(tǒng)集成國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 株洲 412001；3.湘潭大學(xué) 自動(dòng)化與電子信息學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

0 引 言

貨運(yùn)列車的特點(diǎn)是裝載質(zhì)量大、編組多，結(jié)合智能化發(fā)展需求，其關(guān)鍵控制技術(shù)為大功率控制、無線重聯(lián)、自動(dòng)化三個(gè)方面[1]。這也使貨運(yùn)列車速度跟蹤系統(tǒng)大時(shí)滯問題更加突出，并對跟蹤精度和穩(wěn)定性提出了更高要求。文獻(xiàn)[2-4]報(bào)道國內(nèi)對貨運(yùn)列車操控的研究主要集中在平穩(wěn)操控和空氣制動(dòng)應(yīng)用方面。

目前地鐵系統(tǒng)的自動(dòng)駕駛技術(shù)應(yīng)用比較成熟，而貨運(yùn)列車自動(dòng)駕駛將在未來有廣泛的應(yīng)用[5]。隨著客運(yùn)列車運(yùn)行自動(dòng)化水平提高，PID控制、模糊控制、預(yù)測控制已廣泛應(yīng)用于城軌列車和高速鐵路自動(dòng)運(yùn)行中[6-10]。賀廣宇[11]將列車牽引系統(tǒng)和制動(dòng)系統(tǒng)歸結(jié)為動(dòng)力伺服系統(tǒng)，運(yùn)用線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)控制實(shí)現(xiàn)列車平直道路精確停車，但線路條件復(fù)雜時(shí)誤差過大。預(yù)測控制可實(shí)現(xiàn)根據(jù)當(dāng)前控制量提前預(yù)測控車效果以及線路條件，提高了系統(tǒng)精度，但實(shí)時(shí)性差[12-13]?；？刂瓶商岣呦到y(tǒng)響應(yīng)速度，較好適應(yīng)列車模型參數(shù)時(shí)變，但抗干擾能力不足，線路復(fù)雜情況下誤差增大且非線性切換控制增多[14-15]。模糊控制響應(yīng)延時(shí)大、參數(shù)整定依賴于經(jīng)驗(yàn)，實(shí)施周期和難度大[16]。張彥棟等[17]將在城軌列車自動(dòng)駕駛系統(tǒng)(ATO)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中引入預(yù)見控制，提高了控制系統(tǒng)跟蹤精度。此外，利用既定的先驗(yàn)知識設(shè)定控制規(guī)則，智能控制則可用于對列車速度控制[18-19]。

本文針對貨運(yùn)列車大時(shí)滯問題，引入差分算子對系統(tǒng)的輸入時(shí)滯項(xiàng)和跟蹤目標(biāo)進(jìn)行差分處理，構(gòu)造包含跟蹤目標(biāo)但不含時(shí)滯的擴(kuò)大誤差系統(tǒng)。用矩陣分解法將Riccati方程降階得到原時(shí)滯系統(tǒng)的預(yù)見控制器。分析列車運(yùn)行工況，將列車動(dòng)力學(xué)模型與預(yù)見控制相結(jié)合，建立貨運(yùn)列車速度在線跟蹤控制系統(tǒng)，以離線優(yōu)化的速度曲線為目標(biāo)，阻力產(chǎn)生的加速度作為擾動(dòng)，提出最優(yōu)預(yù)見跟蹤控制方法。將該方法與模糊PID(FPID)控制和滑?？刂七M(jìn)行仿真對比，驗(yàn)證了該方案的優(yōu)越性。

1 貨運(yùn)列車數(shù)學(xué)模型

1.1 多質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型

貨運(yùn)列車因編組長、裝載質(zhì)量大，單質(zhì)點(diǎn)模型不能模擬實(shí)際運(yùn)行中的縱向作用力。多質(zhì)點(diǎn)模型將每節(jié)車廂看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，列車受力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系如圖1所示，其中v為列車運(yùn)行速度，F(xiàn)t為機(jī)車牽引力，貨車車廂無此作用力，ffj和fbj分別為第j節(jié)車廂受到的前車和后車作用力，F(xiàn)rj為阻力，F(xiàn)bj為制動(dòng)力。根據(jù)受力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系可得列車運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(1)

圖1 貨運(yùn)列車車廂受力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系

列車運(yùn)行阻力包括基本阻力和附加阻力?；咀枇Πǜ鞣N機(jī)械阻力和空氣阻力，由于構(gòu)成非常復(fù)雜，采用經(jīng)驗(yàn)公式表示為

Frb=(r1+r2·v+r3·v2)Mg·10-3

(2)

式中:r1、r2、r3為阻力系數(shù);M為貨運(yùn)列車總質(zhì)量；g為重力常數(shù)。

機(jī)車車廂的基本阻力為

(3)

貨車車廂的基本阻力為

(4)

附加阻力包括坡道附加阻力和曲線附加阻力，均質(zhì)棒模型的附加阻力作用表示為

(5)

式中:n為車廂總數(shù);wj為附加阻力;lj為車廂長度;n1為車廂占坡道數(shù);ig為坡道坡度;lg為坡道長度;n2為車廂占彎道數(shù);lc為彎道長度;Rc為彎道半徑;mj為車廂質(zhì)量。

列車運(yùn)行中阻力合力為

Fr=Fra+Frb=

(r1+r2·v+r3·v2)Mg10-3

(6)

列車包含阻力的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(7)

式中:a為列車加速度;γ為列車回轉(zhuǎn)系數(shù);Fb為列車制動(dòng)力。

1.2 列車牽引制動(dòng)系統(tǒng)模型

圖2為列車運(yùn)行控制系統(tǒng)圖，ATO通過調(diào)整手柄級位向列車牽引和制動(dòng)系統(tǒng)發(fā)出控制指令，牽引系統(tǒng)和制動(dòng)系統(tǒng)模型描述了控制指令和列車狀態(tài)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。

圖2 列車運(yùn)行控制系統(tǒng)

貨運(yùn)列車的牽引/電制動(dòng)系統(tǒng)具有滯后特性，為消除滯后特性對速度跟蹤的影響，針對牽引/電制動(dòng)系統(tǒng)建立滯后模型[20]。

根據(jù)控制領(lǐng)域的電機(jī)研究理論，將滯后特性近似線性化處理，并認(rèn)為系統(tǒng)加載和切除的滯后特性參數(shù)近似相同，可得列車牽引/制動(dòng)系統(tǒng)的滯后模型為

(8)

式中:Ft/b為牽引/制動(dòng)力;FM為最大牽引/制動(dòng)力;t1、t2、t3、t4分別為作用力達(dá)到0、10%、90%、100%的時(shí)間。

因計(jì)算量小、計(jì)算速度快，這里用單參數(shù)計(jì)算法表示空氣制動(dòng)特性，其計(jì)算方程為

(9)

式中：td為延時(shí)時(shí)間；tmax升壓時(shí)間；λ為特性參數(shù)；u為單位階躍函數(shù)；pmax為最大缸壓。

基于制動(dòng)缸壓特性建立貨運(yùn)列車空氣制動(dòng)滯后模型，其加載過程滯后模型為

(10)

tsdi=f2(i,r)

(11)

緩解過程滯后模型為

(12)

tjdi=f4(i,r)

(13)

式中：tsdi和tjdi為第i缸壓加載和緩解延時(shí)；tmax為升壓和降壓時(shí)間；r為制動(dòng)減壓量;pi為第i輛車缸壓；f1和f3為升壓和降階特性；f2和f4為延時(shí)函數(shù)。

根據(jù)上述研究，建立貨運(yùn)列車時(shí)滯控制模型的狀態(tài)空間方程如下：

(14)

式中：f(x,v)、g(u,v)為狀態(tài)滯后特性和輸入滯后特性；a和aT為對應(yīng)的控制輸入；u為控制器輸入；d為列車所受擾動(dòng)。

采用一階線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可以近似表達(dá)此動(dòng)力伺服系統(tǒng)。由牽引指令和制動(dòng)指令產(chǎn)生的牽引加速度和制動(dòng)加速度方程如下：

(15)

式中：ut/b(t-τ)為牽引制動(dòng)控制輸入。

聯(lián)立受力與運(yùn)動(dòng)分析可得：

at/b=F/(1+γ)M

(16)

同樣，列車擾動(dòng)加速度為

ar=-Fr/(1+γ)M

(17)

綜上可得列車牽引/制動(dòng)工況系統(tǒng)模型：

(18)

2 最優(yōu)預(yù)見速度跟蹤控制器設(shè)計(jì)

預(yù)見控制數(shù)值仿真示意如圖3所示，預(yù)見控制系統(tǒng)可提前施加控制輸入，減小系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間帶來的控制延時(shí)，減小控制輸入的突變。

圖3 預(yù)見控制示意圖

2.1 針對狀態(tài)時(shí)滯的擴(kuò)大誤差系統(tǒng)

對于狀態(tài)時(shí)滯的離散系統(tǒng)：

(19)

式中：x(k)(m×1)為狀態(tài)變量;y(k)(n×1)為輸出變量;u(k)(p×1)為輸入變量;d(k)(q×1)為干擾;T表示系統(tǒng)狀態(tài)在狀態(tài)通道中的時(shí)滯;A、AT、B、C、E為相應(yīng)維度的實(shí)數(shù)矩陣。

當(dāng)系統(tǒng)能觀能控，且n≤p，給定目標(biāo)值為R(k)(n×1)，定義誤差信號：

e(k)=R(k)-y(k)

(20)

對系統(tǒng)做如下假設(shè)：目標(biāo)R(k)有TM步可預(yù)見，TM步以后的值為零。

控制器目標(biāo)為

(21)

取差分算子為

Δx(k)=x(k+1)-x(k)

(22)

差分算子具有如下性質(zhì)：

Δ[G(k)V(k)]=G(k)ΔV(k)+ΔG(k)V(k-1)

(23)

式中:G(k)和V(k)為時(shí)變矩陣。

對x(k+1)和e(k+1)取差分可得：

Δx(k+1)=A(k)Δx(k)+ΔA(k)x(k-1)+

AT(k)Δx(k-T)+ΔAT(k)x(k-T-1)+

B(k)Δu(k)+ΔB(k)u(k-1)

(24)

Δe(k+1)=ΔR(k+1)-C(k+1)A(k)Δx(k)-

C(k+1)ΔA(k)x(k-1)-

C(k+1)AT(k)Δx(k-d)-

C(k+1)ΔAT(k)x(k-d-1)-

C(k+1)B(k)Δu(k)-

C(k+1)ΔB(k)u(k-1)-

ΔC(k+1)x(k)

(25)

(26)

由假設(shè)可得包含未來信息的擴(kuò)大誤差系統(tǒng)：

(27)

XF(k+1)=AF(k)XF(k)+BF(k)Δu(k)

(28)

其在形式上沒有時(shí)滯和多采樣率特征。

2.2 最優(yōu)預(yù)見速度跟蹤控制器

列車速度控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

(29)

將差分算子作用到x(k+1)和e(k)上得到：

Δx(k+1)=AΔx(k)+BΔu(k)+Ed(k)

(30)

e(k+1)=e(k)+Δr(k)-CΔx(k)

(31)

聯(lián)合導(dǎo)出誤差系統(tǒng)為

x0(k+1)=Φx0(k)+GuΔu(k)+

GRΔR(k+1)+GdΔd(k)

(32)

最優(yōu)預(yù)見跟蹤控制的輸入為

(33)

(34)

ξ=Φ+GuF0

(35)

P是Riccati方程的正定解：

P=Q+ΦTPΦ-ΦTPG[H+GTPG]-1GTPΦ

(36)

式中：Q和H為控制器輸入權(quán)重，Q為半正定矩陣，H為正定矩陣。

控制輸入的第一項(xiàng)表示最優(yōu)伺服系統(tǒng)，最優(yōu)預(yù)見伺服系統(tǒng)增加了第二項(xiàng)表示的目標(biāo)前饋補(bǔ)償項(xiàng)和第三項(xiàng)表示的干擾前饋補(bǔ)償項(xiàng)，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 最優(yōu)預(yù)見控制系統(tǒng)框圖

最優(yōu)預(yù)見控制器的設(shè)計(jì)問題是系統(tǒng)在約束條件下最優(yōu)解求解問題，求出控制器輸入，使性能指標(biāo)為最小值。性能指標(biāo)為

J=J1+J2=

(37)

式中:Q和H為系統(tǒng)狀態(tài)量和控制量權(quán)重。

3 貨運(yùn)列車速度跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 速度跟蹤系統(tǒng)

為驗(yàn)證控制器的有效性，在相同環(huán)境相同參數(shù)下進(jìn)行仿真試驗(yàn)。基于預(yù)見控制器的貨運(yùn)列車速度跟蹤模型如圖5所示，預(yù)設(shè)數(shù)據(jù)包括列車運(yùn)行期望速度、運(yùn)行工況、線路和列車參數(shù)等，力學(xué)模型包括列車牽引與制動(dòng)系統(tǒng)、阻力模型和列車動(dòng)力模型。

圖5 貨運(yùn)列車預(yù)見速度跟蹤控制器

包含時(shí)滯的列車模型分為牽引滯后和制動(dòng)滯后兩部分。根據(jù)列車動(dòng)力和傳輸延時(shí)利用滯后特性計(jì)算出帶有滯后特性的列車動(dòng)力。然后經(jīng)過狀態(tài)轉(zhuǎn)換得到加速度信息。

3.2 參數(shù)設(shè)置

以HXD1型貨運(yùn)電力機(jī)車為對象進(jìn)行仿真，仿真線路總長為20 km，設(shè)定運(yùn)行時(shí)間為22.8 min，仿真計(jì)算步長為0.01 s,貨車車廂選擇C80型貨運(yùn)車廂，具體參數(shù)和編組信息如表1所示。

表1 貨運(yùn)列車參數(shù)及編組數(shù)據(jù)

貨運(yùn)列車線路空間圖形化如圖6所示。上方折線表示線路的限速，梯形表示貨運(yùn)列車運(yùn)行線路中的彎道，彎道半徑和轉(zhuǎn)彎的大小成反比，故取半徑的倒數(shù)為縱坐標(biāo)。圓頭線段表示貨運(yùn)列車運(yùn)行線路中的隧道。下方實(shí)線表示運(yùn)行線路中的海拔。

圖6 貨運(yùn)列車線路空間圖形化

4 試驗(yàn)與結(jié)果分析

貨運(yùn)列車速度跟蹤控制多目標(biāo)優(yōu)化的列車運(yùn)行速度曲線如圖7所示。實(shí)線為線路限速，虛線為優(yōu)化列車運(yùn)行速度。

圖7 目標(biāo)曲線及線路信息

貨運(yùn)列車速度跟蹤曲線如圖8所示，最優(yōu)預(yù)見控制器保證了速度曲線的精確追蹤，速度跟蹤誤差明顯小于對比試驗(yàn)?；？刂破黜憫?yīng)速度較快，速度跟蹤誤差較小，但速度波動(dòng)頻繁無法滿足列車平穩(wěn)運(yùn)行的要求。FPID控制器速度跟蹤曲線在速度變化緩慢情況下能保持較小的跟蹤誤差，但響應(yīng)速度慢，在速度變化快時(shí)跟蹤誤差變大，無法滿足列車速度精確跟蹤的需求。

圖8 貨運(yùn)列車速度跟蹤曲線

貨運(yùn)列車最優(yōu)預(yù)見控制器速度跟蹤誤差及控制輸入如圖9所示，列車運(yùn)行速度曲線整體較為平穩(wěn)，跟蹤誤差小。在列車起動(dòng)時(shí)和工況切換點(diǎn)有明顯的速度跟蹤誤差，其最大跟蹤誤差為±0.2 km/h。牽引工況下，控制輸入約為0.4～0.5 km/s2，勻速運(yùn)行時(shí)，控制輸入幾乎為0，制動(dòng)工況下，控制輸入約為-0.5～0.6 m/s2。平穩(wěn)內(nèi)的加速度變化可以有效減小車鉤受力，增加列車運(yùn)行安全性，也能減少系統(tǒng)消耗多余能耗進(jìn)行列車運(yùn)行狀態(tài)調(diào)整，降低系統(tǒng)能耗。

圖9 貨運(yùn)列車最優(yōu)預(yù)見控制速度跟蹤誤差及輸入

圖10 貨運(yùn)列車滑?？刂扑俣雀櫿`差及輸入

貨運(yùn)列車滑模控制器速度跟蹤誤差及控制輸入如圖10所示，最大跟蹤誤差約為±0.25 km/h，但在列車各個(gè)工況均有周期性的誤差。控制器輸入約為-2.0～2.0 m/s2，大幅超出了列車速度控制需要的數(shù)值。不必要的列車加速和減速過程，增加了系統(tǒng)能耗，也增大了車鉤受力，降低了列車運(yùn)行安全性。

貨運(yùn)列車FPID控制器速度跟蹤誤差及控制輸入如圖11所示。勻速運(yùn)行時(shí)，跟蹤誤差幾乎為0，牽引工況下，誤差約為0.6～1.2 km/h，制動(dòng)工況下，誤差約為-1.2～-1 km/h。牽引工況下控制輸入約為0.3～0.6 m/s2，勻速運(yùn)行時(shí)控制輸入幾乎為0，制動(dòng)工況下控制輸入約為-0.7～0.5 m/s2。FPID控制器跟蹤誤差在牽引和制動(dòng)工況下長期存在，說明控制器不能較好地應(yīng)對列車滯后特性。

圖11 貨運(yùn)列車FPID控制速度跟蹤誤差及輸入

5 結(jié) 語

本文針對貨運(yùn)列車速度跟蹤系統(tǒng)大滯后的特點(diǎn)展開研究，設(shè)計(jì)了針對離散時(shí)滯系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見速度跟蹤控制器。

在滿足精確停車要求下，與滑?？刂破骱虵PID控制器進(jìn)行對比，驗(yàn)證了其精確跟蹤和穩(wěn)定運(yùn)行的可行性。仿真結(jié)果表明該控制方法在抗干擾性、穩(wěn)定性和精確性方面優(yōu)勢明顯，對滯后特性的處理取到了較好的效果。