母函數(shù)非線性逼近的可解性*

潘云蘭

(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

在一些數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域,常常需要研究如下形式級數(shù)的非線性逼近問題:

(1)

式(1)中: {fk}是一列數(shù);{uk}是一列函數(shù).部分作者用{uk}的母函數(shù)(參看定義1)作為研究工具,其早期工作可參閱文獻(xiàn)[1-3]及其中的參考文獻(xiàn).

定義1設(shè)E是一元復(fù)函數(shù)空間,{uk}是E中的一列函數(shù),{Hk[·]}是E上的一列線性算子.假定{uk}關(guān)于{Hk[·]}是標(biāo)準(zhǔn)正交的,即滿足

Hk[um]=δmk,m,k= 0,1,2,….

其中,δmk是Kronecker函數(shù).若

(2)

對每個|t|∈(0,1)都定義了E中的一個函數(shù),則稱v(x,t)為函數(shù)列{uk(x)}的母函數(shù).

注1本文假定算子{Hk[·]}與求和符號之間滿足如下的交換律:

注2對任一f∈E,記

fk=Hk[f],k= 0,1,2,…,

則有如下的形式展開:

(3)

式(3)中:aj和tj(j=1,2,…,n)滿足

Hk[F(n;x)]=fk,k=0,1,…,2n-1.

(4)

把式(2)代入式(3),得

(5)

方程組(5)可用Prony方法[4]求解:先通過線性方程組

b0fk+b1fk+1+…+bn-1fk+n-1=-fk+n,k=0,1,…,n-1

(6)

求出b0,b1,…,bn-1;然后對多項(xiàng)式

p(t)=b0+b1t+…+bn-1tn-1+tn

(7)

求根得到t1,t2,…,tn;最后通過求解方程組(5)得到a1,a2,…,an.然而,Prony方法要求p(t)的根是單根.

Baker[1]討論了0是重根的情形;Small[2]推廣到所有tj都允許是重根的情形:設(shè){rj}是根{tj}的重數(shù),則式(3)中的逼近可以推廣成以下形式：

(8)

(9)

文獻(xiàn)[5]給出了這種逼近的一些性質(zhì).文獻(xiàn)[2]簡述了用Prony方法求解方程組(9)的過程.即先從式(6)中求得{bj},然后求出式(7)中多項(xiàng)式p(t)的所有根及其相應(yīng)的重數(shù),最后通過解方程組(9)得到{aji}.

然而求得{tj}后,方程組(9)關(guān)于{aji}是個超定方程組,其可解性需要深入研究:什么條件下式(8)中的逼近F(n;x)存在?什么條件下它是唯一的?文獻(xiàn)[6-11]對δ函數(shù)、δ函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)及符號函數(shù)使用一些正交多項(xiàng)式的母函數(shù)進(jìn)行了逼近,在這些特殊情形下回答了前述問題.但對一般情形至今還沒有深入研究過.本文首先討論良態(tài)問題(方程組(6)的系數(shù)矩陣非奇異),得到了逼近的存在性和唯一性;然后討論病態(tài)問題(方程組(6)的系數(shù)矩陣奇異),通過修改式(2)中的母函數(shù),在適當(dāng)?shù)臈l件下回答了上面的問題;最后給出了2個未解決的問題.

1 良態(tài)問題的可解性

接下來證明:給定正整數(shù)n,若問題是良態(tài)的,則由式(8)定義的逼近存在且唯一;當(dāng){tj}不含0時,式(8)中的{aji}可由方程組(9)中的任意n個相繼的方程組成的方程組求出;當(dāng)某個根tk=0時,{aji}可以由方程組(9)的最初rk個方程和其后的任意n-rk個相繼的方程組成的方程組求出.

給定整數(shù)k(0≤k≤n),考慮方程組(9)中始于第k+1個方程的n個相繼的方程組成的方程組,即

(10)

令B(k)表示其系數(shù)矩陣({aji}是未知量),則

引理1方程組(10)的系數(shù)矩陣B(k)的行列式的值是

證明給定整數(shù)k(0≤k≤n),引入關(guān)于變量x1,x2,…,xn的n×n階修正Vandermonde矩陣

易知

(11)

注意到B(k)可以由V(k)經(jīng)如下的運(yùn)算步驟得到:

分別對l=1,2,…,r1,用l!除以V(k)的第l列,然后對這一列求關(guān)于xl的l-1階導(dǎo)數(shù),最后令xl=t1;分別對l=1,2,…,r2,用l!除以V(k)的第r1+l列,然后對這一列求關(guān)于xr1+l的l-1階導(dǎo)數(shù),最后令xr1+l=t2;逐一對t3,t4,…,ts做類似運(yùn)算.

受此啟發(fā),對式(11)做上述相同的除法、求導(dǎo)和代換可求得行列式detB(k)的值.具體步驟如下：

分別對l=1,2,…,r1,用l!除以式(11),然后求關(guān)于xl的l-1階導(dǎo)數(shù),最后令xl=t1.式(11)的右邊成為

(12)

分別對l=1,2,…,r2,用l!除以式(12),然后求關(guān)于xr1+l的l-1階導(dǎo)數(shù),最后令xr1+l=t2,得

逐一對t3,t4,…,ts做類似運(yùn)算.

一般地,在對t1,t2,…,tm做了這些運(yùn)算之后,可以得到

由引理1,易得以下推論:

定理1回答了式(8)中線性參數(shù){aji}的可解性.

定理1設(shè)b0,b1,…,bn-1是方程組(6)的解,t1,t2,…,ts是由式(7)定義的多項(xiàng)式p(t)的兩兩不同的根,{rj}是{tj}的重數(shù).則:

1)當(dāng){tj}不含0時,式(8)中的{aji}可由方程組(9)中的任意n個相繼的方程組成的方程組唯一確定;

2)當(dāng)某個根tk=0時,{aji}可以由方程組(9)中的前rk個方程和其后的任意n-rk個相繼的方程組成的方程組唯一確定.

證明1)注意到方程組(10)是由方程組(9)中始于第k+1個方程的n個相繼的方程組成的方程組,B(k)是其系數(shù)矩陣.當(dāng){tj}不含0時,由引理1即得detB(k)≠0.由Cramer法則得方程組(10)的解為

其中,當(dāng)l=j時,q≠i.由式(6)得

對每對q和l(q=0,1,…,rl-1,l=1,2,…,s,且當(dāng)l=j時,q≠i),因?yàn)?/p>

所以

或等價地,

(13)

(14)

因?yàn)槭?14)對i=0,1,…,rj-1,j=1,2,…,s都成立，所以1)成立.

2)不失一般性,假定ts=0.則式(7)中的多項(xiàng)式成為

p(t)=tn+bn-1tn-1+…+brstrs,brs≠0.

即b0=b1=…=brs-1=0.

用方程組(9)的最初rs個方程和其后的任意n-rs個相繼的方程組成如下方程組:

其中,rs≤k≤n+rs.

用brs,brs+1,…,bn-1對后面的n-rs個方程實(shí)施類似于1)中的證明,可求出aji(i=0,1,…,rj-1,j=1,2,…,s-1),且其結(jié)果不依賴于這n-rs個相繼方程的選擇.顯然,在求出這幾個aji后,剩下的as1,as2,…,asrs-1可由前面的rs個方程唯一確定.定理1證畢.

由定理1即可得到存在性和唯一性定理.

定理2給定正整數(shù)n,令Δ(n)表示方程組(6)的系數(shù)矩陣行列式,如果Δ(n)≠0,那么定義2中的非線性逼近F(n;x)存在且唯一.

證明如果Δ(n)≠0,那么方程組(6)中的未知量{bm}可以唯一確定,從而F(n;x)中的非線性參數(shù){tj}可以由式(7)唯一確定.所以由定理1,F(n;x)中的線性參數(shù){aji}可以由方程組(9)唯一確定.定理2證畢.

2 病態(tài)問題的可解性

在實(shí)際中,我們要處理的問題常常是病態(tài)的.例如,當(dāng)級數(shù)(1)中的{uk(x)}是正交多項(xiàng)式時,uk(x)在k是偶數(shù)時是偶函數(shù);在k是奇數(shù)時是奇函數(shù).此時,只有偶數(shù)(或奇數(shù))下標(biāo)的fk不為0.故有時方程組(6)的系數(shù)矩陣行列式形如

由于其奇數(shù)行線性相關(guān),所以Δ(n)=0.這意味著方程組(6)無法確定{bm},從而導(dǎo)致F(n;x)中的非線性參數(shù){tj}也無法確定.

然而,對一般情形解決這樣的病態(tài)問題是件非常困難的事情,所以可以假定

uk(-x)=(-1)kuk(x),k=0,1,2,…,且當(dāng)k是偶數(shù)時,fk=0.

(15)

主要策略是修改式(2)中的母函數(shù)v(x,t)以便達(dá)到Δ(n)≠0.

策略1對任一由式(2)給定的母函數(shù)v(x,t),記

由定義2知,F1(n;x)具有形式

類似于式(9),{aji}和{tj}的匹配條件成為

b0fk+b1fk+1+…+bn-1fk+n-1=-fk+n,k=1,2,…,n.

(16)

記

(17)

先給出存在性和唯一性定理.

分別表示f(x)關(guān)于v1(x,t)和v(x,t)的2n階逼近.因此,如果Δ(1)(n)≠0,Δ(2)(n)≠0,那么

s=S,Rj=rj,Tj=tj,j=1,2,…,s.

(18)

進(jìn)一步,如果所有{tj}都是單根,那么

F1(2n;x)=F(2n;x),Aj=tjaj,j=1,2,…,2n.

其中,{Aj}和{aj}分別表示{Aj 0}和{aj 0}.

證明假定{Tj}和{tj}分別是

的兩兩不同的根.其中,P(T)和p(t)的系數(shù)分別由下列2個方程組確定:

(19)

(20)

因?yàn)閒2k=0,k=0,1,2,…,所以方程組(19)等價于下列2個方程組:

(21)

(22)

而方程組(20)等價于:

(23)

(24)

由Δ(2)(n)≠0知方程組(21)有唯一解B2m+1=0,m=0,1,…,n-1;由Δ(1)(n)≠0知方程組(23)有唯一解b2m+1=0,m=0,1,…,n-1.注意到方程組(22)和方程組(24)同解,故由Δ(1)(n)≠0知,

(25)

即式(18)成立.

下證定理的剩余部分.由式(18)知,Tj=tj,j=1,2,…,2n.從而關(guān)于F1(2n;x)和F(2n;x)的匹配條件成為:

(26)

(27)

若所有{tj}都是單根,則它們非0.事實(shí)上,若有根為0,則式(25)中的多項(xiàng)式p(t)沒有常數(shù)項(xiàng),即0至少是2重根,矛盾.

由定理1知,{Aj}和{aj}可以分別從方程組(26)和方程組(27)的任意2n個相繼方程中解得.考慮方程組(27)的如下2n個相繼方程:

(28)

這和由方程組(26)的最初2n個相繼方程組成的方程組同解.由此得:Aj=tjaj,j=1,2,…,2n.

定理4證畢.

策略2對任一由式(2)給定的母函數(shù)v(x,t),設(shè)uk(-x)=(-1)kuk(x),k=0,1,2,….記

由定義2知,Fo(n;x)具有形式

類似于式(9),{Aji}和{Tj}的匹配條件成為

b0f2k+1+b1f2k+3+…+bn-1f2k+2n-1=-f2k+2n+1,k=0,1,…,n-1.

(29)

注意到由式(17)定義的Δ(1)(n)即為方程組(29)的系數(shù)矩陣行列式,類似于定理2的證明即可得Fo(n;x)的存在性和唯一性定理.

定理5給定正整數(shù)n,如果Δ(1)(n)≠0,那么Fo(n;x)存在且唯一.

下面定理說明,在適當(dāng)條件下,Fo(n;x)和關(guān)于v(x,t)的逼近F(2n;x)相同.

分別是f(x)的關(guān)于vo(x,t)的n階和關(guān)于v(x,t)的2n階逼近.如果Δ(1)(n)≠0,那么下列結(jié)論成立:

1)若每個Tj都非0,則

2)若每個Tj都是非0的單根,則

3)若T1=0有重數(shù)R1,且其他{Tj}都是單根,則

Fo(n;x)=F(2n;x),r1=2R1,s=2S-1;

a1(2i)=0,a1(2i+1)=A1i,i=0,1, …,R1-1;

證明1)設(shè){Tj}和{tj}分別是下面2個多項(xiàng)式的兩兩不同的根：

(30)

類似于定理4的證明可得b2m=Bm,b2m+1=0,m=0,1,…,n-1.故

(31)

通過對根進(jìn)行適當(dāng)排序,即得

由于Tj≠0,j=1,2,…,S,因此,s=2S.

2)由1)可知,所有的tj非0且單,因此{(lán)Aji}和{aji}中的下標(biāo)i總是0,且S=n,s=2n.為方便起見,分別用{Aj}和{aj}表示{Aj 0}和{aj 0}.求出{Tj}后,由定理1知,{Aj}和{aj}分別由

(32)

(33)

唯一確定.

設(shè){Aj}是方程組(33)的解,下證

是方程組(33)的解.事實(shí)上,對m=0,1,2,…,2n-1,由1)即得

下證F(2n;x)=Fo(n;x).

3)由式(30)和式(31)得,r1=2R1且s=2S-1.故{Aji}和{aji}分別由

(34)

和

(35)

定理6證畢.

注意到Fo(n;x)涉及的參數(shù)比F(2n;x)少,故Fo(n;x)需要的計(jì)算資源比F(2n;x)需要的計(jì)算資源更少,因此,使用Fo(n;x)比使用F(2n;x)更有效.

3 結(jié) 語

本文研究了由式(8)定義且滿足式(9)的母函數(shù)非線性逼近的可解性,分別在良態(tài)和病態(tài)情形下得到了一些解法.不過如下2個問題還未解決,值得繼續(xù)深入研究:

1)當(dāng){tj}含有重根時,定理4中的F1(2n;x)=F(2n;x)是否還成立?

2)當(dāng){tj}含有非0重根時,定理6中的結(jié)論是否還成立?