不等式恒成立問題的解法探究
——2022年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)第22題

廖梓豪

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

2022年的高考數(shù)學(xué)卷著眼于對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，其中新高考Ⅱ卷第22題則是將導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列有機(jī)結(jié)合對學(xué)生進(jìn)行考查.下面將對新高考Ⅱ卷第22題進(jìn)行解答與分析.

1 試題呈現(xiàn)與評析

題目(2022年新高考Ⅱ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時，f(x)<-1，求a的取值范圍；

試題評析本題第(1)小問討論函數(shù)單調(diào)性，主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等知識；考查學(xué)生函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)用基礎(chǔ)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.第(2)小問主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題，考查學(xué)生對問題的分類討論能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)建模能力.第(3)小問主要考查通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)解決不等式的基本方法，實(shí)現(xiàn)問題的解決.本題充分體現(xiàn)了起點(diǎn)低，落點(diǎn)高，涉及知識點(diǎn)較多，有很強(qiáng)的綜合性和靈活性，具有一定的區(qū)分度，自主探索性強(qiáng)，是一道考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的優(yōu)質(zhì)題.

2 試題解法研究

第(1)問求導(dǎo)后容易判斷單調(diào)性，這里解答從略.下面對第(2)問進(jìn)行研究，相關(guān)解法如下.

2.1 第(2)問解析

思路1對參數(shù)討論，轉(zhuǎn)化為恒成立.

解法1若a≥1，由(1)知，當(dāng)a=1時，f(x)的最小值為f(0)=-1，即xex-ex≥-1，所以當(dāng)x>0時，f(x)≥-1，與題意矛盾；

評注解法1是對參數(shù)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而將所證明不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用同構(gòu)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明解決，其中對參數(shù)分類討論時節(jié)點(diǎn)的選取較為不易想到.

思路2 分離函數(shù)，數(shù)形結(jié)合.

令h(x)=(x-1)ex+1，則h′(x)=xex>0，則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，即h(x)>h(0)=0，則g′(x)>0，則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

原不等式恒成立等價(jià)于y=ax的圖象位于y=g(x)的圖象下方，臨界情況為兩函數(shù)圖象相切，切點(diǎn)易知為x=0.由于g(x)在x=0處無定義，下面則對其導(dǎo)函數(shù)分析，

評注解法2是將所給不等式合理變形轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)的形式，能夠較容易地判斷出不等號兩邊函數(shù)的圖象關(guān)系.難點(diǎn)在于對g(x)及其導(dǎo)數(shù)在x=0的討論，涉及到高等數(shù)學(xué)中的極限思想，較為復(fù)雜.

思路3構(gòu)造含參函數(shù)，進(jìn)行分類討論.

評注兩種解法均為直接變形后移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，但后續(xù)對于導(dǎo)數(shù)結(jié)合不等式的放縮的討論情況比較復(fù)雜，而對導(dǎo)函數(shù)求解零點(diǎn)的討論相對簡單.相比于解法1，2，這兩種解法較為常規(guī)，同時也是構(gòu)造含參函數(shù)解決不等式恒成立問題的一般思路.

2.2 第(3)問解析

解法2(構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討恒成立)

評注此題的難點(diǎn)在于如何將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，第(3)問可以在第(2)問的基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行解決，通過構(gòu)造函數(shù)相對應(yīng)的不等式，進(jìn)而對x取值，得到數(shù)列型不等式，也可以直接觀察所需證明的不等式與函數(shù)方程結(jié)合解決問題.本題將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列以及不等式等知識有機(jī)結(jié)合，考查學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)、不等式思想解決復(fù)雜問題的能力，對直觀想象和邏輯推理能力也有較高的要求.

對導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)要淡化技巧, 重視基礎(chǔ), 回歸問題的本質(zhì)，掌握基本數(shù)學(xué)思想，注重通解通法.作為一名教師，教學(xué)中要鞏固學(xué)生的知識基礎(chǔ)，構(gòu)建完整的知識體系，幫助學(xué)生將知識整合并對其系統(tǒng)化.此外，教師在解題教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)把握教學(xué)目標(biāo), 鞏固學(xué)生對自身知識的認(rèn)知, 堅(jiān)持問題驅(qū)動原則，引導(dǎo)學(xué)生思考問題.充分利用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題指導(dǎo)，多角度嘗試解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).