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    研磨習(xí)題載體 變式引領(lǐng)復(fù)習(xí)

    2022-08-30 06:39:18徐凱鈺王楨宇
    數(shù)理化解題研究 2022年22期
    關(guān)鍵詞:極值零點(diǎn)個(gè)數(shù)

    徐凱鈺 王楨宇

    (1.北京航空航天大學(xué)工科實(shí)驗(yàn)班馮如書院217414班 100083;2.北京市第一七一中學(xué) 100011)

    1 題目呈現(xiàn)與解析

    例題(2022年朝陽區(qū)高三第一學(xué)期期末試卷20題第(3)問)設(shè)g(x)=aex-x2,當(dāng)a∈(1,e)時(shí),求函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.

    本題可以求導(dǎo)判斷g(x)的單調(diào)性,進(jìn)而通過零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù),參考答案通過等價(jià)變換,轉(zhuǎn)化為第(2)問的結(jié)論,不再贅述,但測試反饋發(fā)現(xiàn),同學(xué)們大多沒有注意到兩問之間的聯(lián)系,而是直接求導(dǎo),致使運(yùn)算難度增大,鑒于其更具有通法意義,本文采用該方法.

    解析因?yàn)間′(x)=aex-2x,g″(x)=aex-2,

    所以g(x) 在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.

    故存在唯一零點(diǎn)x1∈(-1,0)使得g(x1)=0.

    題目不難,解法也眾多,不再贅述,試題解罷,筆者思考一個(gè)問題,為什么原題給出了a∈(1,e)這個(gè)條件,若擴(kuò)大這個(gè)范圍會(huì)對函數(shù)零點(diǎn)的求解帶來什么樣的影響呢?命題人在此為了回避哪些難點(diǎn)呢?為了尋找答案,故做如下探索.

    2 試題變式

    2.1 變式改編,找點(diǎn)升級

    變式1設(shè)g(x)=aex-x2,當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí),求函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

    2.1.1 特殊值代入找點(diǎn)

    由于需要在(-∞,0)找某點(diǎn)x1滿足g(x1)<0,所以我嘗試了令x1= -a.

    因?yàn)間(-a)=a(e-a-a),又a>1,

    所以e-a<1,所以e-a-a<0.

    即g(-a)<0.

    所以?x1=-a∈(-∞,0)滿足g(x1)<0.

    2.1.2 指對互換找點(diǎn)

    2.1.3 利用不等式進(jìn)行放縮

    考慮到x→-∞時(shí),ex→0,所以尋找h(x)使得x→-∞時(shí),h(x)→0,且同時(shí)滿足h(x)>ex.

    2.1.4 利用取值范圍進(jìn)行放縮

    2.2 逐段篩選,隱形零點(diǎn)

    變式2設(shè)g(x)=aex-x2,當(dāng)a∈R時(shí),求函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

    所以當(dāng)x∈(-∞,x1), (x2,+∞),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x1,x2),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

    所以g(x)在(-∞,0)內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn).

    下面討論g(x)在(0,+∞)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

    g′(1)=ae-2<0,所以x1∈(0,1),x2>1.

    2.3 極值點(diǎn)偏移

    變式3設(shè)g(x)=aex-x2,當(dāng)g(x)在(0,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),求證:兩個(gè)零點(diǎn)和大于4.

    所以當(dāng)x∈(0,2),h′(x)< 0,h(x)單調(diào)遞減;

    當(dāng)x∈(2,+∞),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.

    已知h(x1)=h(x2),故x2>2>x1>0.

    若證x1+x2>4,即證2>x1>4-x2>0.

    注意到x1和4-x2都處于(0,2)減區(qū)間內(nèi),

    只需證h(x1)4成立,故下面僅研究x2∈(2,4).

    構(gòu)造新函數(shù)t(x)=h(x) -h(4-x),x∈(2,4),即證t(x)<0在x∈(2,4)恒成立,顯然t(2)=0,若能證明x∈(2,4)時(shí)t′(x)<0,則此題得證.

    教師點(diǎn)評“極值點(diǎn)偏移”問題近年來在高考題、模擬題中頻繁出現(xiàn),2016年全國Ⅰ卷和2021年新課標(biāo)Ⅰ卷都是以其作為壓軸題考查.這類問題包含了轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,常見解法是基于對稱變換的思想,構(gòu)造新函數(shù)討論單調(diào)性求解.特別的,上文有這樣一句話“t(2)=0,若能證明x∈(2,4)時(shí)t′(x)<0,則此題得證.”這個(gè)思維方式是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模驗(yàn)榇藭r(shí)t′(x)<0是t(x)<0的充分非必要條件,答題過程應(yīng)該逆序書寫,即求出t′(x)<0,說明函數(shù)單調(diào)遞減,進(jìn)而結(jié)合端點(diǎn)值說明t(x)<0.

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