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    一道2021年“希望杯”競賽題的解法探究

    2022-08-30 05:52:36林國紅
    數(shù)理化解題研究 2022年22期
    關(guān)鍵詞:設(shè)點半軸中點

    林國紅

    (廣東省佛山市樂從中學 528315)

    1 題目呈現(xiàn)

    題目△ABC是邊長為2的等邊三角形,頂點A在x軸的非負半軸上滑動,頂點B在y軸的非負半軸上滑動,求△ABC的重心G的軌跡方程.

    這是2021年第三十一屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高一第2試第17題(壓軸題),本題短小精悍、構(gòu)思獨特,綜合考查考生邏輯思維、推理論證、運算、以及分析問題和解決問題等方面的能力,涉及的數(shù)學知識與蘊含的數(shù)學思想方法非常豐富,值得深入研究.

    2 題目解析

    解法1 如圖1,設(shè)∠BAO=θ(0≤θ≤90°),則A(2cosθ,0),B(0,2sinθ).

    圖1

    過點C作CD⊥x軸于點D,

    可得∠CAD=120°-θ,CD=2sin(120°-θ),OD=OA+AD=2cosθ+2cos(120°-θ).

    代入sin2θ+cos2θ=1,得

    評注解法1利用等邊三角形特殊的邊角關(guān)系,巧妙地將點的坐標以角為參數(shù)來表示,再利用三角恒等變換及三角基本關(guān)系進行求解,難點是如何合理利用邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為點的坐標.

    解法2如圖1,設(shè)∠BAO=θ(0≤θ≤90°),則A(2cosθ,0),B(0,2sinθ).

    設(shè)點G的坐標為G(x,y),則

    代入sin2θ+cos2θ=1,得

    解法3如圖1,設(shè)A(x0,0),B(0,y0),則

    設(shè)點G的坐標為G(x,y),則

    評注解法2與解法3借助向量與復數(shù)的相關(guān)知識,利用旋轉(zhuǎn)變換的思想進行解答,兩種解法建立在同一個解題思路上,從不同的設(shè)點角度解決問題,解題方法新穎巧妙,過程簡潔.所以在競賽層面,要重視方法的積累和知識的儲備,熟練掌握一些常用的方法與結(jié)論,才有可能縮短思維的長度,提高效率,達到事半功倍的效果.

    解法4如圖2,設(shè)AB的中點為E,連接CE.

    圖2

    由AB⊥EG,得

    評注解法4借助向量的數(shù)量積運算,思路巧妙.向量有著深刻的幾何背景,具有良好的“數(shù)形結(jié)合”特性,是解決幾何問題的有力工具.

    解法5如圖3,設(shè)AB的中點為E,連接CE.

    圖3

    易得△BDE∽△EFG,故

    設(shè)點E的坐標為E(x0,y0),因為E是AB的中點,所以BD=y0,DE=x0.

    評注解法5借助平面幾何的性質(zhì)進行解答,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想,運算量較少.解析幾何問題的本質(zhì)仍是幾何問題,解題時若能充分把握解析幾何的圖形特征,挖掘圖形相應(yīng)的幾何性質(zhì),將解析法與平面幾何方法相結(jié)合,往往能簡化運算,優(yōu)化解題過程,起到四兩撥千斤之功效.

    以上的幾種解法,從不同的角度出發(fā)思考問題,各顯神通,這充分體現(xiàn)試題的不拘一格,一道試題考查多種能力、多種思想方法.學數(shù)學離不開解題,數(shù)學家波利亞曾說:“掌握數(shù)學就意味著善于解題.”同時要注意的是,數(shù)學問題的解決僅僅只是一半,更重要的是在解題中要善于觀察、善于思考、善于轉(zhuǎn)化,只有這樣才能將零散的數(shù)學知識串聯(lián)起來,運用自如.

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