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    例談含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題幾種解題策略

    2022-08-30 06:37:04趙忠平
    數(shù)理化解題研究 2022年22期
    關鍵詞:虛設零點單調

    趙忠平

    (甘肅省永昌縣第一高級中學 737200)

    近年來,全國高考試題及高考模擬試題中出現(xiàn)了頗有新意、構思精巧的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的綜合題,這類題涉及知識面廣、綜合性強,對能力要求較高,能較好地考查學生的思維能力,很值得重視和探究.

    1 特值探路

    例1 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

    解析將x取特殊值1代入不等式中,不等式應該成立,即f(1)≥1,也即a+lna≥1.

    令g(a)=a+lna-1,易知函數(shù)g(a)單調遞增,g(1)=0,所以a≥1.

    下面證明充分性:

    當a≥1時,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥x-lnx.

    若x∈(0,1)時,h′(x)<0;

    若x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,

    故h(x)≥h(1)=1.

    所以a的范圍是[1,+∞).

    點評利用特殊值探路可以迅速化解題目難度,快速找到題目的答案(準答案),減輕解題思想壓力,轉換解題思維角度,補全充分性證明過程即可完美收官.一般對數(shù)函數(shù)可將真數(shù)取特值1,指數(shù)函數(shù)的指數(shù)可取特值0.

    2 分類篩選

    例2 設函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π],設f(x)≤1+sinx,求a的取值范圍.

    解析由f(x)≤1+sinx,得f(π)≤1,aπ-1≤1.

    所以f(x)≤1+sinx.

    點評含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題可以利用逐段篩選討論法求解,對參數(shù)按照重要節(jié)點進行分類,在每一類中證明不等式成立或舉反例說明不成立,最后得解,體現(xiàn)了化整為零的思想和歸類整理的思想.

    3 分離參數(shù)

    例3設函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π],設f(x)≤1+sinx,求a的取值范圍.

    解析因為f(x)≤1+sinx,

    即ax+cosx≤1+sinx.

    當x=0時,對a∈R不等式①恒成立;

    當0

    設h(x)=(sinx+cosx)x-(1+sinx-cosx),

    則h′(x)=(cosx-sinx)x.

    故當x∈[0,x0]時,h(x)≥0,

    當x∈[x0,π]時,h(x)≤0.

    故當x∈[0,x0]時,g′(x)≥0,

    當x∈[x0,π]時,g′(x)≤0.

    即g(x)在[0,x0]上單調遞增,在[x0,π]上單調遞減.

    點評不等式恒成立求參數(shù)范圍問題,只要容易實現(xiàn)參變分離,就可以很容易轉化為最值(或上、下界)問題求解,但在求最值(或上、下界)時常常要用到洛必達法則.

    4 構造函數(shù)

    例4 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1,求a的取值范圍.

    解析f(x)≥1等價于aex-1-lnx+lna-1≥0.

    即elna+x-1+lna-1≥lnx.

    兩邊同時加x,得

    elna+x-1+lna-1+x≥lnx+x=elnx+lnx.

    令f(t)=et+t,則f(t)在(0,+∞)上單調遞增.

    則不等式等價于f(lna+x-1)≥f(lnx).

    等價于lna+x-1≥lnx.

    即lna≥lnx-x+1.

    所以x∈(0,1)時,g(x)單調遞增,x∈(1,+∞)時,g(x)單調遞減.

    故[g(x)]max=g(1)=0.

    所以lna≥0,解得a≥1.

    點評在含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題中,將不等式兩邊轉化成同構式,根據(jù)同構式構造新函數(shù),利用新函數(shù)單調性進一步轉化問題,使得問題得到降維求解,此法雖然有一定難度,但能夠發(fā)現(xiàn)命題人的命題路徑及數(shù)學問題的本質.

    5 虛設零點

    例5 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

    解析f(x)≥1的必要條件是f(1)≥1.

    即a+lna≥1.

    也即g(a)=a+lna-1≥0.

    易知g(a)單調遞增,g(1)=0,所以a≥1.

    又f(x)≥1,即aex-1-lnx+lna-1≥0.

    令g(x)=aex-1-lnx+lna-1,則

    所以函數(shù)g(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增.

    點評虛設零點體現(xiàn)設而不求思想,是解決導數(shù)問題常用方法,當導數(shù)的零點存在但不易求出的時候,就可以虛設零點,回代到原函數(shù)解析式中求值,確定函數(shù)值的符號.

    6 數(shù)形結合

    例6設函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π],設f(x)≤1+sinx,求a的取值范圍.

    解析f(x)≤1+sinx,即ax+cosx≤1+sinx.

    可化為ax-1≤sinx-cosx.

    圖1

    點評數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學,通過挖掘數(shù)學式子背后形的特征,以形助數(shù),是解決數(shù)學問題的常用方法.

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