“指對互化”妙解函數(shù)導數(shù)綜合問題

趙英巵

(重慶市合川實驗中學校 401520)

由于指數(shù)關系aN=b和對數(shù)關系logab=N是同一關系的不同表達形式，指數(shù)結(jié)構和對數(shù)結(jié)構相互轉(zhuǎn)化不會改變題目中各個量之間關系的本質(zhì)屬性． 筆者在實踐中發(fā)現(xiàn)，如果能夠利用這一特性，在解決很多函數(shù)導數(shù)綜合題目時可以起到“茅塞頓開”“豁然明朗”的神奇效果，現(xiàn)將它在幾種題型中的應用舉例如下:

1 “指對互化”巧轉(zhuǎn)化，大小比較不再難

例1(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則 ( ).

A．a(chǎn)

C.b

于是log53

2 “指對互化”妙分參，參數(shù)范圍易求得

例2 (2020年新高考山東卷21題第(2)問)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范圍．

分析不等式f(x)≥1等價于aex-1-lnx+lna≥1.

所以φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)單調(diào)遞減，φmax(x)=φ(1)=1，所以a≥1．

解法3由已知可得elna+x-1-lnx+lna≥1.

所以elna+x-1+lna≥1+lnx.

所以elna+x-1+x+lna-1≥lnx+x.

所以elna+x-1+x+lna-1≥lnx+elnx.

因為y=ex+x在(0,+∞)上單調(diào)遞增， 所以問題轉(zhuǎn)化為lna+x-1≥lnx在(0,+∞)上恒成立.

即lna≥lnx-x+1在(0,+∞)上恒成立.

解法評述由于不等式結(jié)構aex-1-lnx+lna≥1的復雜性，不太好分離參數(shù)，可以考慮將不等式進行簡化，變不可分參為容易分參．這里利用“指對互化”，將不等式兩邊變形為同構函數(shù)φ[r(x)]≥φ[m(x)]，再利用函數(shù)φ(x)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為r(x)≥m(x)問題，達到巧妙簡化問題的目的．

例3 (2021年高考浙江卷22題第(2)問)設a,b為實數(shù)，且a>1，函數(shù)f(x)=ax-bx+e2.若對任意b>2e2，函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

令r(t)=et(t-1)-e2，

因為r′(t)=tet>0，

所以r(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

因為r(2)=0，所以t∈(0,2)時，r(t)<0，φ′(t)<0，φ(t)在(0,2)上單調(diào)遞減；

t∈(2,+∞)時，r(t)>0，φ′(t)>0，φ(t)在(2,+∞)上單調(diào)遞增.

所以φmin(t)=φ(2)=e2.

所以a的取值范圍是0

解法評述本題的難點在于分離參數(shù)難度非常困難，利用“指對互化”，構造同構函數(shù)t=xlna，整體換元后實現(xiàn)參數(shù)分離，達到簡化問題的目的．

3 “指對互化”妙同構，不等證明變簡單

例4(2020年沈陽質(zhì)量檢測22第(3)問)已知函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2．若x>0，證明：(ex-1)ln(x+1)>x2．

令r(x)=ex(x-1)+1，有r′(x)=xex.

因為x>0，所以r′(x)=xex>0.

所以r(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以r(x)>r(0)=0.

所以φ′(x)>0.

所以φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

故只需證明x>ln(x+1).

即證x-ln(x+1)>0.

所以m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以m(x)>m(0)=0.

所以x-ln(x+1)>0.

綜上所述，(ex-1)ln(x+1)>x2成立．

因為x>1時，r′(x)>0，所以r(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

因為0

所以r(x)≥r(1)=0.

所以φ′(x)≥0.

所以φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

故只需證明x>ln(x+1)，后同證法1．

知名作家豆豆在《遙遠的救世主》一書中是這樣解讀“神”和“神話”的：“神就是道，道就是規(guī)律，規(guī)律如來，容不得你思議，規(guī)律辦事的人就是神”“這個世上原本就沒有神話，所謂的神話，不過是常人的思維所不易理解的平常事”，類似地，我們可以這樣理解數(shù)學解題中的 “巧妙”與“神奇”，它不過是按照數(shù)學知識規(guī)律辦事的平常思維罷了，之所以給我們“巧妙”與“神奇”的感覺，是因為我們對知識本質(zhì)的理解不夠深刻的緣故罷了，這就要求我們深度專研，盡可能理解知識的本質(zhì)屬性，并在實際解題中不斷嘗試去運用它，解題就變得“巧妙”而“神奇”起來了．