同時含有未知輸入和測量干擾系統(tǒng)全維和降維觀測器設計

吳 陽 張建成

在原控制系統(tǒng)存在未知輸入信號的條件下,基于原系統(tǒng)的結構并利用其已知輸入和可測輸出構造出一個新的系統(tǒng),以此達到對原系統(tǒng)狀態(tài)和未知輸入估計的目的,這樣的新系統(tǒng)就稱為原系統(tǒng)的一個未知輸入觀測器(Unknown input observer,UIO)[1-4].未知輸入觀測器在工程中有著廣泛的應用背景.例如,在機械工具的應用中,工具施加的切割力作為系統(tǒng)的輸入很難測量,或者是即便可測但是測量的代價太高.如果把切割力作為機械工具系統(tǒng)的未知輸入,就可以構建UIO 將系統(tǒng)狀態(tài)和該未知輸入同時估計出來[5].事實上,控制系統(tǒng)的執(zhí)行器故障,外部干擾以及在基于混沌同步的保密通信的信號接收端所需要還原的未知信號等都可以看作系統(tǒng)的未知輸入[6-10].因此,UIO 技術在故障檢測和重構,基于觀測器的魯棒控制以及保密通信等方面發(fā)揮著重要作用[11-12].幾十年來,一直是控制理論和工程學者研究的熱點問題[12-18].

需要指出的是,經典的UIO 技術主要針對不含測量干擾的系統(tǒng).誠然,一旦測量輸出受到不確定干擾的影響,其觀測器設計會變得異常困難.然而,對于許多實際系統(tǒng)來說,輸出通道中又往往不可避免地受到傳感器故障,測量噪聲等不確定干擾信號的影響.因此,對同時含有未知輸入和測量干擾系統(tǒng)研究如何消除輸出通道中的不確定干擾并進而設計觀測器具有重要意義,并已經受到眾多學者們的關注[19-23].例如,Dimassi 等[19]針對同時含有未知輸入和測量噪聲的系統(tǒng)研究了自適應滑模觀測器的設計問題.Yang 等[20]利用滑模微分器技術解決了觀測器匹配條件不滿足時的觀測器設計問題.Li 等[23]基于H∞理論討論了未知輸入和測量噪聲同時重構問題.注意到,上述針對同時含有未知輸入和測量干擾系統(tǒng)觀測器設計問題的研究中大部分文獻都采用經典的描述系統(tǒng)方法來消除測量干擾[21].該方法的思路是通過增維的思想將原系統(tǒng)狀態(tài)和測量干擾寫成一個新的狀態(tài)向量.這樣以來,原來的一般系統(tǒng)就可以寫成一個描述系統(tǒng),而基于新的狀態(tài)向量其輸出方程在形式上已經不再包含干擾.進而,可針對該描述系統(tǒng)進行觀測器設計.該方法的優(yōu)點是思路簡單且在估計狀態(tài)的同時可以將測量干擾也估計出來.但是該方法在將一般系統(tǒng)寫成描述系統(tǒng)的同時一方面會增加系統(tǒng)維數(shù),進而增加系統(tǒng)的復雜性,另一方面還可能會改變系統(tǒng)的干擾解耦條件.此外,基于該方法,系統(tǒng)干擾解耦條件只能基于描述系統(tǒng)的參數(shù)矩陣給出而不能基于原系統(tǒng)的參數(shù)矩陣給出,這也會給觀測器設計條件的驗證帶來一定的困難.

另一方面,相比于全維觀測器,降維觀測器由于只需要估計系統(tǒng)的部分狀態(tài),因而可以具有較低的維數(shù).這意味著,在工程中只需要使用較少的積分器就可以將全部的狀態(tài)估計出來,不但可以節(jié)約硬件成本,還可以在很大程度上降低系統(tǒng)的復雜性.然而,對于同時含有未知輸入和測量干擾的系統(tǒng),由于測量干擾的存在,經典的降維觀測器設計變得極其困難.這是因為經典的降維觀測器設計中一般包含兩個步驟:1)利用狀態(tài)變換將部分狀態(tài)信息從測量輸出中提前分離出來;2)利用測量輸出構造動態(tài)觀測器將剩余的狀態(tài)估計出來.因此,如果測量輸出中包含有未知的干擾信號,經典的降維觀測器設計方法中的步驟1)和步驟2)都將無法實施,也就無法設計降維觀測器.因此,找到一種在不增加系統(tǒng)狀態(tài)維數(shù)和設計保守性的前提下同時能夠消除測量干擾的降維觀測器設計方法很有意義.

基于以上觀察,本文針對同時含有未知輸入和測量干擾的系統(tǒng)全維和降維觀測器設計問題展開較為系統(tǒng)的研究.本文的主要貢獻和創(chuàng)新點體現(xiàn)在:1)利用待定系數(shù)法給出并證明了全維觀測器結構和存在條件.該條件完全由原系統(tǒng)的參數(shù)矩陣表示,易于驗證.其中,對存在條件的分析和證明是本文難點所在.2)為消除測量干擾對降維觀測器設計的影響,提出了構造新的測量輸出的思路,使得新的測量輸出不再包含干擾信號.與經典的描述系統(tǒng)方法相比,該方法不需要增加系統(tǒng)狀態(tài)的維數(shù).3)證明了全維和降維觀測器存在條件的內在統(tǒng)一性,即全維觀測器設計所需要滿足的觀測器匹配條件和強可檢測條件在研究降維觀測器設計時所要討論的新的系統(tǒng)中都可以得到保持.因而,只要全維觀測器存在,降維觀測器也存在.

本文內容安排如下:第1 節(jié)是問題描述和主要結論.第2 節(jié)給出仿真算例來驗證方法的有效性.最后在第3 節(jié)給出結論.

1 問題描述與主要結論

1.1 問題描述

考慮一類同時具有未知輸入和測量干擾的不確定系統(tǒng)

其中,x∈Rn,u∈Rm,y∈Rp,ω∈Rq,η∈Rr分別為系統(tǒng)的狀態(tài),控制輸入,可測輸出,未知輸入和測量干擾向量.A,B,D,C,F分別為已知的常數(shù)矩陣.不失一般性,假設n＞p≥q+r且矩陣D,F滿秩.

本文將討論系統(tǒng)(1)的全維和降維觀測器存在條件和設計方法.在第1.2 節(jié)首先通過對全維觀測器設計的分析得出其存在條件.在第1.3 節(jié)將證明在全維觀測器的存在條件下,也能設計一個相應的降維觀測器.

1.2 全維觀測器

本節(jié)來討論全維觀測器的設計.構造具有如下形式的全維觀測器

其中,z(t)為觀測器狀態(tài),為x的估計.N,G,H和E為待定的常數(shù)矩陣.令e(t)=x(t)－為狀態(tài)估計誤差,則有

其中,In表示n維的單位矩陣.計算e(t)的動態(tài)方程可得

因此,若要e(t)→0,t→∞,須有

且矩陣N為Hurwitz 穩(wěn)定陣.

顯然,若先能確定E,K,那么根據(jù)矩陣方程(4)～(9),我們還能確定矩陣H,G和N.下面,給出能保證式(4)～(9)成立和矩陣N可穩(wěn)的條件以及相應的引理.

假設 1.系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣滿足觀測器匹配條件,即

引理 1.假設1 成立,當且僅當存在矩陣K和E使得式(6)～(8)成立.

證明.矩陣方程(6)～(8)可重寫為

因此,存在K和E使得式(11)成立的條件是

而

根據(jù)式(12)和式(13)可直接得出引理的結論. □

為了保證矩陣N可穩(wěn),給出假設2 和相應的結論引理2.

假設 2.系統(tǒng)(1)的系統(tǒng)矩陣滿足強可檢測條件,即對于所有具有非負實部的復數(shù)s都有

引理 2.系統(tǒng)(1)滿足強可檢測條件,則存在矩陣K和E使得矩陣N為Hurwitz 穩(wěn)定.

證明.注意到

其中,矩陣K和E滿足式(11).記

則由式(11)得矩陣K和E為

其中,Σ?為矩陣 Σ 的廣義逆矩陣,滿足 ΣΣ?Σ=Σ,Z為具有適當維數(shù)的任意矩陣.將式(15)代入到式(14),得

其中

為常數(shù)矩陣.因此,為了證明N可穩(wěn)定,只需要證明 (Π1,Π2)可檢測.

事實上,對于任意具有非負實部的復數(shù)s,都有

另一方面,

由式(16)和式(17)并結合假設1 知,對于所有具有非負實部的復數(shù)s都有

即 (Π1,Π2)可檢測. □

注 1.系統(tǒng)(1)滿足強可檢測條件[1],即對于任意初值x(0)和任意控制輸入u(t)都有y(t)≡0?x(t)→0,t→∞.該條件能夠保證觀測器誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

由引理1 和引理2 可知,當系統(tǒng)(1)滿足假設1 和假設2 時,全維觀測器(2)存在,由此我們給出定理1.

定理 1.基于假設1 和假設2,存在增益矩陣K,E,G,H和Hurwitz 穩(wěn)定矩陣N滿足式(4)～(9),則系統(tǒng)(2)為系統(tǒng)(1)的一個全維觀測器,且→x(t),t→∞.

證明.由引理1 和引理2 立即可得到本定理的結論. □

我們將全維觀測器的設計步驟總結為算法1.

注 2.在全維觀測器設計中,我們不光要將未知輸入ω(t)和測量干擾η(t)解耦(即保證式(5)～(8)成立),還要保證解耦完成以后誤差系統(tǒng)極點的可配置性(即矩陣N為Hurwitz 穩(wěn)定).如何分析得到假設1 和假設2,并證明假設1 和假設2 如何保證上述性質是全維觀測器設計過程中的難點所在.

注 3.本小節(jié)討論了全維觀測器的設計方法和存在條件.在下一小節(jié)討論降維觀測器設計時將證明在全維觀測器存在條件下我們也可以設計一個相應的降維觀測器.

1.3 降維觀測器

本節(jié)討論系統(tǒng)(1)的降維觀測器設計.為了突破測量干擾信號對經典的降維觀測器設計方法的限制,本小節(jié)通過構造新的測量輸出提出一種新的降維觀測器設計方法.

根據(jù)矩陣的廣義逆理論,將系統(tǒng)(1)的輸出方程左右兩邊同時左乘矩陣Ip－FF-,得

注 4.在系統(tǒng)(19)中構造了一個新的輸出(18)來代替原系統(tǒng)的輸出,以此消除了原系統(tǒng)輸出通道中測量干擾的影響.對于系統(tǒng)(19),已經證明只要其滿足強可檢測條件,即對于任意具有非負實部的復數(shù)s

和觀測器匹配條件

則不難對其設計一個降維觀測器[1-2,5].因此,下面將證明在假設1 和假設2 成立的條件下,新系統(tǒng)(19)也同時滿足式(20)和式(21).

引理 3.假設1 成立,當且僅當=rank(D).

證明.根據(jù)假設1 可知

引理 4.假設2 成立,當且僅當系統(tǒng)(19)滿足強可檢測條件,即對于任意具有非負實部的復數(shù)s,都有

證明.由假設2 知,對于任意具有非負實部的復數(shù)s有

這意味著對于任意具有非負實部的復數(shù)s都有

基于引理3 和引理4 的結論可得到引理5.

引理 5[5].系統(tǒng)(19)同時滿足強可檢測條件和觀測器匹配條件,則存在可逆矩陣T和S,使得

證明.由 rank(D)=q知

下面給出定理2.

定理 2.基于引理1 和引理2,取增益矩陣L使得矩陣為Hurwitz 穩(wěn)定,則系統(tǒng)

我們將降維觀測器的設計步驟總結為算法2.

注 5.本小節(jié)研究了系統(tǒng)(1)的降維觀測器設計,其創(chuàng)新點和難點體現(xiàn)在:1)構造了新的不含測量干擾的輸出.并基于該輸出實現(xiàn)了觀測器的實質性“降維”.2)證明了原系統(tǒng)(1)滿足的觀測器匹配條件和強可檢測條件在由新的輸出構成的新系統(tǒng)(19)中都可以得到保持.

注 6.本文在全維和降維觀測器設計中采用干擾解耦的方式來處理未知輸入ω(t)和測量干擾η(t).因此,只要干擾解耦條件(觀測器匹配條件)(10)成立,無論ω(t)和η(t)為何種類型的干擾,其影響都可以在觀測器中得到完全消除.

注 7.注意到文獻[20]和[23]也研究了同時含有未知輸入和測量干擾系統(tǒng)的觀測器設計問題.文獻[23]討論了H∞觀測器.該觀測器存在條件較弱,但它僅能實現(xiàn)H∞意義下的狀態(tài)估計,并不能實現(xiàn)漸近估計.文獻[20]針對該系統(tǒng)提出了一種新的解決方案,弱化了觀測器匹配條件.但是該方案必須使用測量輸出的一階甚至高階微分信號,因此容易受到測量噪聲的影響.而本文提出的方法只需要使用測量輸出本身而不必使用其高階微分信號.在仿真部分將進一步說明這一點.

2 數(shù)值仿真

本節(jié)給出一個數(shù)值例子,并用其驗證方法的有效性.考慮系統(tǒng)(1)且其系統(tǒng)參數(shù)為

其中,未知輸入ω(t)=5.2 sin(3.8t),測量干擾η(t)=3.5 cos(4.7t).由于控制輸入u(t)為已知的,它不影響系統(tǒng)的能觀性.因此不妨假設u(t)=0.

2.1 全維觀測器設計

容易驗證該系統(tǒng)滿足觀測器匹配條件(假設1)和強可檢測條件(假設2),故根據(jù)定理1 和定理2,我們一定可以設計全維和降維觀測器實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的重構.

首先,求得矩陣

進而求得矩陣 Π1和 Π2.然后,選取增益矩陣

使得矩陣N的特征值為 {－1,－6.125,－2.4}.此時可求得全維觀測器的系數(shù)矩陣

為驗證該觀測器的有效性,假設系統(tǒng)(1)的狀態(tài)初值為x(0)=[－1－2 0]T,觀測器初值為z(0)=[1 1 2]T.圖1 給出了原系統(tǒng)的狀態(tài)曲線和觀測器估計的狀態(tài)曲線.可以看出,本文設計的全維觀測器很好地實現(xiàn)了對原系統(tǒng)狀態(tài)的漸近估計.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計(全維觀測器)Fig.1 Actual states and their estimations(full-order observer)

2.2 降維觀測器設計

求得矩陣 的一個廣義逆矩陣F-=[0 1],而后構造一個新的測量輸出=(Ip－FF-)y(t)及分布矩陣

容易驗證,在原系統(tǒng)滿足觀測器匹配條件和強可檢測條件下,新系統(tǒng)也滿足觀測器匹配條件和強可檢測條件.根據(jù)引理5 的算法,求得狀態(tài)變換矩陣S=I2和

并進而求得降維觀測器(24)和(25)的參數(shù)矩陣

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計(降維觀測器)Fig.2 Actual states and their estimations(reduced-order observer)

圖3 方波形未知輸入信號Fig.3 Square wave unknown input signal

圖4 鋸齒形測量干擾信號Fig.4 Sawtooth measurement disturbance signal

圖5 方波和鋸齒干擾信號下的狀態(tài)估計Fig.5 State estimations under square wave and sawtooth disturbance signals

此外,為了對比本文方法與文獻[20]方法的估計效果,假設測量輸出受到如圖6(a),圖7(a),圖8(a)所示的噪聲信號的影響.圖6(b),圖7(b),圖8(b)分別展示了在3 種不同幅值噪聲信號下利用文獻[20]得到的狀態(tài)估計,而圖6(c),圖7(c),圖8(c)為3 種噪聲信號下對應的由本文降維觀測器得到的狀態(tài)估計.可以發(fā)現(xiàn),隨著隨機噪聲幅值的增大,文獻[20]的估計效果逐漸下降,而本文方法始終可以實現(xiàn)對原系統(tǒng)狀態(tài)的漸近估計.

圖6 在受到噪聲信號1 影響下的狀態(tài)估計Fig.6 State estimations under the influence of noise signal (Type l)

圖7 在受到噪聲信號2 影響下的狀態(tài)估計Fig.7 State estimations under the influence of noise signal (Type 2)

圖8 在受到噪聲信號3 影響下的狀態(tài)估計Fig.8 State estimations under the influence of noise signal (Type 3)

3 結束語

本文針對同時含有未知輸入和測量干擾的系統(tǒng)研究了全維和降維觀測器設計問題.我們給出了全維觀測器的結構并利用待定系數(shù)法分析得到了全維觀測器的存在條件.為了消除輸出通道中的不確定干擾對降維觀測器設計的影響,本文構造了新的不包含干擾的測量輸出.并且證明了全維觀測器的存在條件和降維觀測器存在條件內在的統(tǒng)一性.但該方法要求強可檢測條件和觀測器匹配條件同時滿足,相對苛刻.如何弱化強可檢測條件和觀測器匹配條件來設計觀測器是我們下一步要討論的課題.