基于時(shí)變障礙李雅普諾夫函數(shù)的變體無(wú)人機(jī)有限時(shí)間控制

李新凱 張宏立 范文慧

多旋翼無(wú)人機(jī)執(zhí)行監(jiān)測(cè)任務(wù)具有天然優(yōu)勢(shì),已廣泛用于如電力線路、油氣管道、大面積農(nóng)林等行業(yè)的監(jiān)察工作,也可為自然災(zāi)害,如火災(zāi)、洪水、地震等提供服務(wù).然而,在面對(duì)長(zhǎng)航及長(zhǎng)途巡檢任務(wù)時(shí)其性能表現(xiàn)往往難以滿足需求.變體無(wú)人機(jī)具有可垂直起降以擺脫固定翼無(wú)人機(jī)的環(huán)境依賴、可懸停進(jìn)行定點(diǎn)任務(wù)偵察、可高速巡航、長(zhǎng)航時(shí)可隨時(shí)切換飛行模式進(jìn)行靈活規(guī)避任務(wù)等一系列突出特性.為此,研究變體無(wú)人機(jī)及其可靠的控制方法具有現(xiàn)實(shí)意義.

由于不同作業(yè)任務(wù)的需求,變體無(wú)人機(jī)的研究逐漸成為熱點(diǎn)問(wèn)題,涌現(xiàn)出大批優(yōu)秀設(shè)計(jì).將它們歸類為經(jīng)典的傾轉(zhuǎn)旋翼無(wú)人機(jī)[1-2]、尾座式無(wú)人機(jī)[3]、變后掠翼型無(wú)人機(jī)[4]、矢量推進(jìn)旋翼機(jī)[5-6]、仿生類無(wú)人機(jī)[7]等.與傳統(tǒng)固定構(gòu)型的四旋翼無(wú)人機(jī)和固定翼無(wú)人機(jī)不同,變體無(wú)人機(jī)在執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中涉及機(jī)械結(jié)構(gòu)的切換,數(shù)學(xué)模型也隨之發(fā)生改變,因而需要更為通用、魯棒且高效的控制手段.

無(wú)人系統(tǒng)在作業(yè)環(huán)境中通常面臨系統(tǒng)參數(shù)不確定和外部擾動(dòng)復(fù)雜等問(wèn)題.Astolfi 等[8]為不可測(cè)狀態(tài)中的仿射系統(tǒng)開發(fā)了一種通用非線性觀測(cè)器——浸入與不變(Immersion and invariance,I&I)理論.使用基于I&I 理論的觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)的不確定參數(shù)進(jìn)行估計(jì),可以保證參數(shù)估計(jì)值不依賴于控制律而估計(jì)到真值[9],因此,很快在不確定參數(shù)的估計(jì)方面得到了廣泛研究.文獻(xiàn)[10]針對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)量平衡控制系統(tǒng),設(shè)計(jì)了基于I&I 的估計(jì)器和控制器,其中估計(jì)器用來(lái)估計(jì)不確定參數(shù).文獻(xiàn)[11]針對(duì)不確定慣性參數(shù)的無(wú)人機(jī)系統(tǒng),設(shè)計(jì)了基于I&I 的自適應(yīng)控制器,并采用光滑雙曲正切函數(shù)來(lái)避免姿態(tài)控制的奇異性.然而,這些工作在系統(tǒng)存在非線性項(xiàng)時(shí)估計(jì)結(jié)果并不理想.

近年來(lái),動(dòng)態(tài)尺度技術(shù)被提出來(lái)并與I&I 理論相結(jié)合[12-13].動(dòng)態(tài)尺度因子(Dynamic scaling factor,DSF)提高了基于I&I 估計(jì)器的準(zhǔn)確性,可以控制非線性項(xiàng)并增加了觀測(cè)器的維度.目前其主要應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域解決抗干擾和故障容錯(cuò)問(wèn)題,例如微型衛(wèi)星[14]、航空器[15]的姿態(tài)控制.文獻(xiàn)[16]提出了一種低維I&I 觀測(cè)器,其DSF 由四元數(shù)濾波誤差驅(qū)動(dòng),簡(jiǎn)化了穩(wěn)定性分析.然而,卻很少有人關(guān)注同樣重要的變體無(wú)人機(jī)的姿態(tài)控制問(wèn)題.除此之外,盡管動(dòng)態(tài)尺度技術(shù)的引入提高了對(duì)不確定參數(shù)的估計(jì)效果,但其DSF 的性質(zhì)是被動(dòng)式的,估計(jì)值的收斂速度不能得到很好的保證.

在實(shí)際飛行器系統(tǒng)中,由于安全或者現(xiàn)實(shí)條件的需要,系統(tǒng)的某些變量需要受到一定的約束,目前對(duì)變體無(wú)人機(jī)的狀態(tài)約束的研究還比較少.通常處理狀態(tài)約束的方法是將受限的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等效的無(wú)約束系統(tǒng)來(lái)設(shè)計(jì)跟蹤控制律[17].Ngo 等[18]針對(duì)含有狀態(tài)約束的Brunovsky 標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng),以約束區(qū)間作為定義域,首次構(gòu)造了反正切型和對(duì)數(shù)型障礙函數(shù)的雛形.Tee 等[19-20]隨后做了進(jìn)一步研究,將具有障礙特性的Lyapunov 函數(shù)定義為障礙Lyapunov 函數(shù) (Barrier Lyapunov function,BLF),針對(duì)嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)采用對(duì)稱或非對(duì)稱BLF 的反演控制器,保證了系統(tǒng)輸出有界.文獻(xiàn)[21]針對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)視角約束問(wèn)題采用積分型BLF 設(shè)計(jì)了控制律.文獻(xiàn)[22-23]通過(guò)使用對(duì)稱型BLF 保證了高超聲速飛行器的全狀態(tài)約束,并針對(duì)執(zhí)行器機(jī)構(gòu)故障設(shè)計(jì)了自適應(yīng)容錯(cuò)控制器.文獻(xiàn)[24]通過(guò)構(gòu)造對(duì)稱和非對(duì)稱BLF,提出一種非線性隨機(jī)系統(tǒng)自適應(yīng)控制方案.

以上研究的BLF 的狀態(tài)約束是一個(gè)常數(shù),然而實(shí)際系統(tǒng)通常會(huì)受到時(shí)變約束的影響.關(guān)于時(shí)變BLF 的研究非常少,尤其在變體無(wú)人機(jī)的應(yīng)用研究上.文獻(xiàn)[25]將依賴于時(shí)變約束的BLF 轉(zhuǎn)換為與時(shí)間無(wú)關(guān)的BLF 來(lái)處理時(shí)變約束.文獻(xiàn)[26]通過(guò)引入非對(duì)稱時(shí)變BLFs,設(shè)計(jì)了時(shí)變?nèi)珷顟B(tài)約束的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器,弱化了約束的直接作用.文獻(xiàn)[27]提出時(shí)變Tan 型BLF,來(lái)保證含有未知死區(qū)情況下的切換系統(tǒng)的約束條件.在以上基于BLF 的方法中,其 BLF 幾乎都是采用約束條件與系統(tǒng)狀態(tài)的偏差變量來(lái)構(gòu)造的,無(wú)論是積分型、正切型,還是對(duì)數(shù)型.

許多控制問(wèn)題解決方案都是基于有限時(shí)間的[28],目的是在有限時(shí)間內(nèi)使系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)成一致.文獻(xiàn)[29]針對(duì)存在綜合擾動(dòng)的撓性航天器構(gòu)造未知參數(shù)自適應(yīng)更新律,提出有限時(shí)間自適應(yīng)魯棒姿態(tài)控制方法.文獻(xiàn)[30]針對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)的軌跡和姿態(tài)跟蹤問(wèn)題,采用齊次技術(shù)設(shè)計(jì)了有限時(shí)間控制器和觀測(cè)器.文獻(xiàn)[31]結(jié)合飽和控制和有限時(shí)間控制對(duì)環(huán)航跟蹤系統(tǒng)進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[32]對(duì)有限時(shí)間穩(wěn)定性給出了完整的引申定理和相關(guān)命題.

基于以上分析,本文研究變體無(wú)人機(jī)在外部擾動(dòng)下的有限時(shí)間控制問(wèn)題.主要貢獻(xiàn)包括:

1)結(jié)合I&I 理論,提出了一種有限時(shí)間DSF(Finite-time dynamic scaling factor,FT-DSF)擾動(dòng)觀測(cè)器,保證了DSF 在有限時(shí)間內(nèi)可達(dá)到對(duì)尺度誤差的自適應(yīng)調(diào)節(jié)作用;

2)提出了一種監(jiān)督因子調(diào)節(jié)機(jī)制,實(shí)現(xiàn)了對(duì)FTDSF 的監(jiān)督和調(diào)節(jié),可有效提高動(dòng)態(tài)尺度誤差的估計(jì)精度和收斂速度;

3)構(gòu)建了無(wú)積分項(xiàng)的復(fù)合時(shí)變障礙Lyapunov 函數(shù) (Composite time-varying barrier Lyapunov function,CTV-BLF),易于簡(jiǎn)化、便于求解.

1 問(wèn)題描述

1.1 預(yù)備知識(shí)

在本文中,Rn表示n維歐幾里得空間,|·|表示標(biāo)量的絕對(duì)值,‖·‖表示向量的歐氏范數(shù)或矩陣的2-范數(shù).對(duì)于?x∈R 和兩個(gè)常數(shù)a,b滿足a＞|b|≥0,可定義一個(gè)雙曲函數(shù)tabh(x)=(aex+be-x)/(ex+e-x),其導(dǎo)數(shù)為 sabh2(x)=(2(a－b))/(ex+e-x)2且滿足 0＜sabh2(x)≤(a－b)/2.對(duì)于一個(gè)實(shí)向量x∈Rn的實(shí)數(shù)次冪ν∈R,有=‖x‖νsgn(x).

假設(shè) 1.外部擾動(dòng)di(t),i=1,2 是連續(xù)可微的,且對(duì)于其Lipschitz 常數(shù) Δ有‖di(t)‖≤Δ,其中Δ為外部擾動(dòng)的上界.

引理 1[19].假設(shè)V(x)是關(guān)于系統(tǒng)=f(x,t)定義在包含原點(diǎn)的開區(qū)間D內(nèi)的一個(gè)函數(shù).如果V(x)滿足以下性質(zhì),即:1)在區(qū)間D內(nèi)連續(xù)可微且正定;2)當(dāng)x接近區(qū)間D邊界時(shí),V(x)→∞;3)對(duì)于?t≥0和x(0)∈D,存在一個(gè)正數(shù)b,沿=f(x,t)的解可得V(x)≤b,則函數(shù)V(x)是一個(gè)BLF.

定義 1.基于引理1,如果其定義域D隨時(shí)間t變化,即時(shí)變的,則函數(shù)V(x)可稱為時(shí)變BLF.

引理 2[30].考慮系統(tǒng)=f(x),其中f(0)=0,x∈Rn.如果一個(gè)正定連續(xù)函數(shù)V(x):U→R,有正數(shù)c＞0,α∈(0,1),且存在原點(diǎn)的開鄰域U0∈U,使得+cV α(x)≤0,且?x∈U0{0},則=f(x)的解在有限時(shí)間T≤V(x0)1-α/(c(1－α))內(nèi)趨于零,系統(tǒng)=f(x)的原點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

定理 1.考慮系統(tǒng)=f(x),其中f(0)=0,x∈Rn.假設(shè)存在正定Lyapunov 函數(shù)V(x):U→R,正數(shù)a＞0,β∈(0,2),和原點(diǎn)的開鄰域U0∈U,使得≤－atanhβ((2V(x))1/2),則系統(tǒng)=f(x)原點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的,且設(shè)定時(shí)間T≤V(x0)1-β/2×(2V(x0))1/2/2β/2a(1－β/2)tanhβ((2V(x0))1/2).

證明.由于正定Lyapunov 函數(shù)V(x)≥0,tanhβ((2V(x))1/2)≥0,可知≤0.V(x)為單調(diào)非增函數(shù),V(x0)≥V(x),其中x0為x的初值.

定義函數(shù)g(x)=x－tanh(x),g(0)=0,其關(guān)于x導(dǎo)數(shù)g′(x)=tanh2(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增.容易得知,對(duì)x∈R,|x|≥|tanh(x)|.對(duì)于a＞0,β∈(0,2),有

不等式可以重新表述為以下形式:

其中,?=tanhβ((2V(x0))1/2)/(2V(x0))1/2.由于V(x0)≥V(x),有 ?≤tanhβ((2V(x))1/2)/(2V(x))1/2,則 tanhβ((2V(x))1/2)/(?(2V(x))1/2)≥1.代入到式(2)中,有

由于 21/2a? 為正值,式(3)有與引理2 相同的形式.可以得出系統(tǒng)=f(x)原點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.另外,根據(jù)引理2 可以確定設(shè)定時(shí)間的邊界為T≤V(x0)1-β/2/(2β/2a?(1－β/2)). □

1.2 變體無(wú)人機(jī)數(shù)學(xué)模型

變體無(wú)人機(jī)通過(guò)前翼傾轉(zhuǎn)完成垂直起降-過(guò)渡飛行-水平飛行3 種模式的切換,如圖1 所示.圖2為機(jī)體受力及坐標(biāo)系框架,本文建立兩個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)模型框架:世界框架W:(Ow,xw,yw,zw)和機(jī)體框架B:(Ob,xb,yb,zb).xw表示北,yw表示西,zw表示地心反方向;xb表示前,yb表示左,zb表示上.

圖1 飛行模式切換示意圖Fig.1 Schematic diagram of flight mode switch

圖2 變體無(wú)人機(jī)機(jī)體受力及坐標(biāo)示意圖Fig.2 Schematic diagram of body force and coordinates of the morphing aerospace vehicle

忽略機(jī)翼力,設(shè)置θf(wàn)=π/2,垂直起降的四旋翼模式的動(dòng)力學(xué)方程如下:

過(guò)渡和水平飛行狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)方程可寫為:

與傳統(tǒng)四旋翼建模不同,Wx,Wy和Wz分別是機(jī)翼在世界坐標(biāo)系中沿xw,yw,zw軸的空氣動(dòng)力:

Rwb為機(jī)體坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣:

以手機(jī)學(xué)習(xí)平臺(tái)為主的智慧課堂在外語(yǔ)教學(xué)中得到廣泛運(yùn)用，符合當(dāng)今信息時(shí)代發(fā)展的需要。以核心素養(yǎng)培養(yǎng)為目標(biāo)的高職大學(xué)英語(yǔ)教學(xué)新模式主要從教學(xué)內(nèi)容選擇、教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)評(píng)價(jià)三方面提出智慧教學(xué)模式設(shè)計(jì)思路，并對(duì)實(shí)施過(guò)程進(jìn)行探索。

其中,i=1,2 分別代表左右兩個(gè)機(jī)翼;ρ是空氣密度,A是機(jī)翼面積,vf是氣流速度,R(θf(wàn))是繞y軸把機(jī)翼上的力分解到機(jī)體軸上的旋轉(zhuǎn)矩陣;CD,CL分別表示機(jī)翼的阻力和升力系數(shù);vf=,vx和vz分別為機(jī)體在xb,zb軸方向的速度;設(shè)左右兩機(jī)翼的攻角相同,產(chǎn)生的升阻力相同.

變體無(wú)人機(jī)的動(dòng)態(tài)模型可轉(zhuǎn)化為更加緊湊的非線性系統(tǒng)形式:

飛行器需要跟蹤所需的理想姿態(tài)角,并使總推力達(dá)到所需的加速度.為了計(jì)算所需的理想姿態(tài)角和總推力,本文采用動(dòng)態(tài)反演的方法,通過(guò)將虛擬控制輸入τ1,τ2,τ3等價(jià)于位置動(dòng)力學(xué),得到以下方程:

反解,可得到總推力輸入信號(hào)和理想姿態(tài)角為:

考慮到在實(shí)際工作中系統(tǒng)狀態(tài)是有限的,設(shè)變體無(wú)人機(jī)位置和速度的約束集為

其中,ρbi和σbi為設(shè)置的邊界值.

假設(shè) 2.基于限制條件(14)和條件(15),存在正常數(shù)Y0,Y1使得期望軌跡ξd及其微分項(xiàng)有界,對(duì)于?t≥0,滿足|ξdi|≤Y0＜ρbi,≤Y1＜σbi,i=1, 2, 3.

本文所提控制策略如圖3 所示.本文的控制目標(biāo)是在有界擾動(dòng)di(χ,t)和系統(tǒng)狀態(tài)約束滿足假設(shè)1～假設(shè)3 的情況下,開發(fā)一種連續(xù)多變量系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定控制律,使得系統(tǒng)狀態(tài)ξ=[x,y,z]T在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望軌跡ξd=[xd,yd,zd]T.

圖3 所提控制策略示意圖Fig.3 Schematic diagram of the proposed control strategy

2 基于I&I 的擾動(dòng)觀測(cè)器

本節(jié)針對(duì)外部擾動(dòng),以位置跟蹤系統(tǒng)為例,開發(fā)了一種基于I&I 理論的自適應(yīng)擾動(dòng)觀測(cè)器.引入FT-DSF 增加擾動(dòng)估計(jì)誤差的收斂精度;并提出一種監(jiān)督因子,對(duì)FT-DSF 進(jìn)行主動(dòng)式監(jiān)督和調(diào)節(jié),大大提高擾動(dòng)估計(jì)的精度和速率.

首先對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行定義.令ρci=ρbi－Y0(i=1,2,3),并定義位置誤差χ1=ξ－ξd,.虛擬控制量和虛擬速度誤差分別為:

其中,hχi＞0,χ1=[χ11,χ12,χ13]T∈R3,χ2=[χ21,χ22,χ23]T∈R3.

將式(9)代入式(17)中得到位置系統(tǒng)誤差動(dòng)態(tài)如下:

令σci=σbi－Y1(i=1,2,3),若|pei|＜ρci,由|vei|＜σci可知|vi|≤|vei|+＜σbi.

由于|cχi|＜hχitanh(ρci),有虛擬速度誤差:

其中,κi=σci+hχitanh(ρci).

變體無(wú)人機(jī)的外部擾動(dòng)的估計(jì)誤差流型為:

為了保證誤差流型的吸引性,基于I&I 的擾動(dòng)觀測(cè)器可設(shè)計(jì)為:

將式(19)代入式(18)中,可得到

引入動(dòng)態(tài)尺度技術(shù),尺度估計(jì)誤差zi可以表達(dá)成新的形式:

如此,可得到關(guān)于式(24)的尺度估計(jì)誤差動(dòng)態(tài):

其中,FT-DSFri在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中自適應(yīng)收斂到一個(gè)固定值,并具有天然的被動(dòng)特性.監(jiān)督因子αi可以對(duì)動(dòng)態(tài)尺度因子ri進(jìn)行監(jiān)督,調(diào)整ri的最終收斂值,加快zi的收斂速度.因此,αi具有主動(dòng)屬性.兩者共同作業(yè)保證了尺度誤差的快速收斂.

提出的FT-DSF 可構(gòu)造為如下形式:

定理 2.考慮包含虛擬控制變量(16)的誤差系統(tǒng)(18),擾動(dòng)滿足定義1.尺度估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)(25)和FT-DSF 式(26)可以保證尺度估計(jì)誤差zi在有限時(shí)間Tf內(nèi)漸近穩(wěn)定.若定義2 成立,則FT-DSFri有界.

證明.選擇Lyapunov 函數(shù):

其中,Vri連續(xù),Vri(0)=0,且由于ri滿足{ri∈R|ri≥1},可知Vri＞0.

對(duì)Vri求導(dǎo)并代入式(26):

其中,(1－ri)exp(－ri)≤0,≥0;可知,Vri≤0.由此可證明FT-DSFri在定義2 的條件下是有界的. □

因此,尺度估計(jì)誤差及擾動(dòng)誤差可漸近到原點(diǎn),即zi→0,→0.

3 復(fù)合時(shí)變障礙Lyapunov 函數(shù)和控制律設(shè)計(jì)

本節(jié)以位置系統(tǒng)為例,構(gòu)建了包含系統(tǒng)狀態(tài)約束信息的CTV-BLF,設(shè)計(jì)了容錯(cuò)滑?？刂破?并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了有限時(shí)間穩(wěn)定性證明.姿態(tài)系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)形式與位置系統(tǒng)相同,為簡(jiǎn)潔起見不再贅述.設(shè)計(jì)滑模面的形式為:

其中,?i=,1＜ν＜2.由式(19)知,|χ2|＜κ,可得到?i＞|χ2i|ν.由此可得

代入式(18),其導(dǎo)數(shù)為:

控制器可設(shè)計(jì)為:

其中,k1,k2＞0,0＜ν1＜1.將式(34)代入到式(33),則有

定理 3.考慮帶有外部擾動(dòng)的誤差系統(tǒng)(18),且假設(shè)1 和定義1 成立,系統(tǒng)誤差滿足約束條件|χ2|＜κ,則以下結(jié)論成立:1)滑模面si有界且漸近穩(wěn)定;2)誤差系統(tǒng)(18)狀態(tài)變量χ1,χ2可在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零.

證明.1)設(shè)計(jì)時(shí)變障礙Lyapunov 函數(shù)為:

其中,Γ=?i+?itanh(χ1i)sgn(si).

Vsi可被簡(jiǎn)化為以下形式:

其中,ζi=si/Γ.由式 (32)知,|ζi|＜1.通過(guò)對(duì)Vsi求導(dǎo),可得

代入式(35),令 Γ=?i+?itanh(χ1i)sgn(si),可得

為了證明si的有界性,考慮Lyapunov 函數(shù):

根據(jù)式(28)和式(39),Lyapunov 函數(shù)Wi的導(dǎo)數(shù)形式可表達(dá)為:

其中,當(dāng)t∈[0,Tf)時(shí),

正定;當(dāng)t∈[Tf,+∞)時(shí),

2)考慮如下Lyapunov 函數(shù):

由滑模面(31)的設(shè)計(jì)可知,當(dāng)系統(tǒng)誤差χ1和χ2到達(dá)滑模面時(shí),si=0.由此可推出,此時(shí)χ1iχ2i≤0.因此

根據(jù)式(18),當(dāng)si=0 時(shí),Li的導(dǎo)數(shù)可表達(dá)為:

可知系統(tǒng)誤差e1i和e2i是漸近穩(wěn)定的.為了進(jìn)一步證明系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性,由式(44)可進(jìn)一步得到:

其中,|χ1i|≥|tanh(χ1i)|,3/2＜(ν+1)/ν＜2.由此,根據(jù)引理2 和定理1,系統(tǒng)跟蹤誤差χ1i可在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零. □

4 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)設(shè)置了兩組仿真算例來(lái)說(shuō)明本文控制方案的有效性.第一組算例采用四旋翼飛行模式模擬小范圍巡檢,設(shè)定復(fù)雜的快速飛行軌跡,對(duì)控制方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證.第二組算例模擬變體無(wú)人機(jī)整個(gè)任務(wù)周期,進(jìn)行起飛-平滑加速-過(guò)渡切換-平飛-盤旋-平飛作業(yè),考察涵蓋其飛行狀態(tài)的穩(wěn)定性、加速性能、過(guò)渡切換時(shí)的平滑性、平飛模式的可操作性以及本文控制方法對(duì)3 種飛行模式的通用性等必要特性.

該變體無(wú)人機(jī)的物理參數(shù)為:m=3.0 kg,Ixx=Iyy=1.75 N·s2/rad,Izz=3.5 N·s2/rad,ll=ls=0.28 m,ρ=1.293 kg/m3,A=0.08 m2.

4.1 算例1

算例1 選用2 種方法作為對(duì)比,分別為傳統(tǒng)I&I 結(jié)合滑?？刂?(Sliding mode control,SMC)的方法(標(biāo)記為I&I-SMC)和文獻(xiàn)[11]中提出的σ修正因子與I&I 結(jié)合的觀測(cè)器方法(標(biāo)記為σ-I&I),以驗(yàn)證所提控制方法的有效性.選擇較復(fù)雜的“蝴蝶形”作為預(yù)設(shè)的參考軌跡:

為檢驗(yàn)其抗干擾性能,加入多種類型的外部擾動(dòng):d=[0.8 sigmoid,0.5 sin (πt),0.2 sin(3t)+0.1 sin(0.5πt）,0.2 sigmoid–0.5 sin (0.5πt),0.5 tanh,0.3 cos(2t+1)]T,其中,sigmoid=1/(1+exp (-t));各個(gè)位置和姿態(tài)子通道的控制增益選取為:αi=1.2,hχi=10,?i=1,k1i=1,k2i=5,ν=3/2,ν1=2/3,i=1,2,···,6.

如圖4 所示,本文方法與其他2 種方法均能較好地在四旋翼模式下對(duì)“蝴蝶形” 軌跡進(jìn)行跟蹤,但本文方法有更好的跟蹤精度和收斂速度,具體可見圖5.I&I-SMC 和σ-I&I 方法在6 個(gè)子通道跟蹤的初始階段有較大的誤差跳變,且I&I-SMC 方法在φ,θ姿態(tài)角跟蹤時(shí)出現(xiàn)了較為明顯的抖振.

圖4 算例1 中三維軌跡跟蹤效果Fig.4 The 3D trajectory tracking effects in case 1

圖5 算例1 中軌跡及姿態(tài)跟蹤誤差Fig.5 Trajectory and attitude tracking errors in case 1

由圖6 對(duì)外部擾動(dòng)的觀測(cè)誤差可看出,相比本文所提觀測(cè)器,I&I-SMC 方法的擾動(dòng)觀測(cè)器在擾動(dòng)估計(jì)過(guò)程中出現(xiàn)明顯的抖振,初始估計(jì)誤差較大,收斂較慢;σ-I&I 方法出現(xiàn)估計(jì)值偏離及小幅度抖振.可證實(shí),本文加入動(dòng)態(tài)尺度因子和監(jiān)督因子的I&I 擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)外部擾動(dòng)有更高的估計(jì)精度和收斂速度.圖7 展示了算例1 中3 種方法的輸入信號(hào)對(duì)比,I&I-SMC 和σ-I&I 在初始階段有較大的輸入信號(hào)跳變,容易造成執(zhí)行器輸入飽和故障,輸入過(guò)程振動(dòng)也較大;另外,從總推力u1可知本文方法在整體上有更小的旋翼出力.

圖6 算例1 中2 種基于I&I 理論擾動(dòng)觀測(cè)器的擾動(dòng)觀測(cè)誤差Fig.6 Disturbances observation errors of two observers based on I&I theory in case 1

圖7 算例1 中2 種方法的輸入信號(hào)Fig.7 Input signals of the two methods in case 1

通過(guò)算例1,可以基本證實(shí)本文所提方法在軌跡跟蹤和擾動(dòng)估計(jì)等方面的有效性,并展示了較強(qiáng)的跟蹤性能和抗擾能力.

4.2 算例2

根據(jù)文獻(xiàn)[33],將機(jī)翼升阻力系數(shù)CL,CD隨攻角的變化曲線合理線性化,得到CL=0.1θf(wàn)+0.3,CD=0.002θf(wàn)+0.004.θf(wàn)取值范圍為 [0?,90?].當(dāng)切換到平飛模式時(shí),設(shè)定機(jī)體俯仰角θ=0°,根據(jù)式(6)～式(8),可計(jì)算出升力FL,解算出CL和CD,進(jìn)而解算出θf(wàn)的實(shí)時(shí)變化動(dòng)態(tài).同時(shí),θf(wàn)變化又會(huì)實(shí)時(shí)影響升力FL的變化,形成實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)的閉環(huán).

本算例中加入2 組對(duì)比:1)算例1 中的傳統(tǒng)I&I-SMC 方法;2)文獻(xiàn)[22]中的BLF 方法(標(biāo)記為BLF).算例2 加入的外部擾動(dòng)和控制增益與算例1 保持一致,以展示本文方法對(duì)不同類型軌跡跟蹤的通用性及對(duì)比同類方法的優(yōu)越性.

本算例總體的飛行策略是:變體無(wú)人機(jī)在 0 s～10 s 內(nèi)可加速飛行至10 m/s,開始達(dá)到平飛模式的飛行速度條件;同時(shí),在8 s 時(shí)機(jī)翼開始傾轉(zhuǎn),在2s內(nèi)傾轉(zhuǎn)至相應(yīng)的機(jī)翼攻角,完成過(guò)渡飛行模式的切換過(guò)程;10 s 后繼續(xù)加速,沿著xw軸方向以平飛模式平穩(wěn)飛行至20 s;至20 s 時(shí)在平飛模式下,人機(jī)在空中“畫”一個(gè)直徑接近40 m 的圓,之后繼續(xù)沿著xw軸方向飛行至30 s,結(jié)束整個(gè)仿真測(cè)試過(guò)程.其預(yù)設(shè)軌跡設(shè)置為:

其中,R=(20 exp(4))/(exp(4)+1),P=50 ln(exp(4)+1)－0.9075.系統(tǒng)狀態(tài)約束參數(shù)設(shè)置為:高度約束ρb3=20 m;速度約束σbi=20 m/s,i=1,2,3;位置誤差約束ρci=0.02 m,i=1,2,3.初始位置為世界坐標(biāo)系原點(diǎn).

圖8 直觀地展示了本算例中3 種方法對(duì)預(yù)設(shè)參考軌跡的跟蹤效果,可以看出,本文方法和I&ISMC 在跟蹤軌跡過(guò)程中均保持了很高的精度,BLF 方法跟蹤誤差略大.圖9、圖10 分別展現(xiàn)了軌跡和姿態(tài)角跟蹤誤差及箱線圖分析結(jié)果.從局部放大圖得知,20 s 時(shí)BLF 方法在x軌跡及3 個(gè)姿態(tài)角跟蹤過(guò)程中均出現(xiàn)較大跟蹤誤差振蕩;分析可知,這是由于在 20 s～(20+2π)s 內(nèi)“畫”圓形軌跡,切換軌跡時(shí)快速改變輸入推力大小造成.由箱線圖展示的數(shù)據(jù)分布特征可知,BLF 方法在6 個(gè)子通道的跟蹤過(guò)程中均出現(xiàn)了不同程度的中位值偏移以及較大的上下邊緣值現(xiàn)象.在y和φ的誤差跟蹤中,I&I-SMC 出現(xiàn)小范圍中位值偏移,在z和ψ跟蹤過(guò)程中出現(xiàn)誤差跟蹤振蕩,在z軌跡跟蹤出現(xiàn)軌跡切換時(shí)的應(yīng)激振動(dòng).由圖9、圖10 整體分析可知,本文方法盡管在 20 s～(20+2π)s 內(nèi)(圓軌跡期間)的x軌跡跟蹤時(shí)出現(xiàn)小幅應(yīng)激振動(dòng),但整體表現(xiàn)出優(yōu)異的軌跡及姿態(tài)角跟蹤性能,尤其是在誤差為零鄰域的中位保持上,此外,飛行高度和位置誤差始終保持在系統(tǒng)狀態(tài)約束內(nèi).

圖8 算例2 中3 種方法的空間位置跟蹤效果Fig.8 Position tracking effects of the three methods in case 2

圖9 算例 2 中3 種方法軌跡跟蹤誤差及箱線圖分析Fig.9 Trajectory tracking errors and boxplot analysis of the three methods in case 2

圖10 算例 2 中3 種方法姿態(tài)角跟蹤誤差及箱線圖分析Fig.10 Attitude tracking errors and boxplot analysis of the three methods in case 2

由于文獻(xiàn)[22]中基于BLF 方法的擾動(dòng)觀測(cè)器只能估計(jì)擾動(dòng)上界,故圖11 展示了本文方法和I&ISMC 對(duì)外部擾動(dòng)的估計(jì)性能和BLF 方法對(duì)擾動(dòng)上界的估計(jì)性能.前兩者均能較好地估計(jì)出完整的外部擾動(dòng);BLF 方法能近似估計(jì)出擾動(dòng)上界,但估計(jì)速度較慢,精度欠缺.I&I-SMC 受到變體無(wú)人機(jī)飛行模式及軌跡切換的影響,在相應(yīng)時(shí)間節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生了較大的估計(jì)振蕩,例如在 10 s 左右時(shí),過(guò)渡飛行模式切換至平飛模式機(jī)翼傾角的穩(wěn)定階段,在 20 s～(20+2π)s 內(nèi)進(jìn)行“畫”圓軌跡操作時(shí),“入”圓和“出”圓瞬間由于旋翼出力方向發(fā)生改變產(chǎn)生較大的瞬時(shí)估計(jì)振蕩.由此,結(jié)合算例1,可得出本文所提基于I&I 理論的加入FT-DSF 和監(jiān)督因子的擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)外部擾動(dòng)估計(jì)更加快速、精準(zhǔn),穩(wěn)定性更強(qiáng)的結(jié)論.

圖11 算例2 中3 種方法對(duì)外部擾動(dòng)的估計(jì)效果Fig.11 Estimation effects on external disturbances of the three methods in case 2

注 1.當(dāng)t∈[0,20)時(shí),xw軸方向軌跡的導(dǎo)數(shù)為=20 exp(0.2t－20)/(exp(0.2t－20)+exp(20－0.2t)),作為機(jī)體在xw軸方向的速度曲線.將此雙曲線作為速度曲線,符合本變體無(wú)人機(jī)真實(shí)的飛行特性,經(jīng)歷緩慢加速至接近20 m/s 的飛行過(guò)程,最終速度始終約束在20 m/s 以下.其加速曲線將在下文中進(jìn)一步分析.

圖12 和圖13 分別是系統(tǒng)的控制輸入信號(hào)及虛擬控制輸入信號(hào).圖13 清晰地展示了在整個(gè)測(cè)試任務(wù)周期中,飛行模式切換及軌跡切換的時(shí)間節(jié)點(diǎn)上虛擬控制輸入信號(hào)的相應(yīng)響應(yīng)過(guò)程.通過(guò)分析可知,無(wú)論是在輸入穩(wěn)定性還是出力大小方面,本文方法都有明顯的優(yōu)勢(shì).而BLF 方法在切換的每個(gè)節(jié)點(diǎn)均出現(xiàn)了較大的輸入信號(hào)波動(dòng),出力損耗較大,有可能造成執(zhí)行器飽和故障.

圖12 算例2 中3 種方法的控制輸入信號(hào)響應(yīng)Fig.12 Control input signal responses of the three methods in case 2

圖13 算例2 中3 種方法的虛擬控制輸入信號(hào)響應(yīng)Fig.13 Virtual control input signal responses of the three methods in case 2

變體無(wú)人機(jī)的機(jī)翼在8 s 時(shí)開始傾轉(zhuǎn)切換至平飛模式,切換為平飛模式后根據(jù)機(jī)體的飛行速度動(dòng)態(tài)地調(diào)整機(jī)翼與機(jī)身的夾角θf(wàn),提供機(jī)翼升阻力以使機(jī)體能夠在平飛模式下保持平穩(wěn)飛行.圖14、圖15分別是飛行測(cè)試中θf(wàn)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程以及對(duì)應(yīng)時(shí)刻機(jī)體的飛行速度.圖14 反映出本文方法在平飛模式時(shí)較其他2 種方法能夠保持更平穩(wěn)及更小的夾角,切換更順滑,飛行效率更高.圖15 展示了不同時(shí)刻飛行速度相對(duì)應(yīng)θf(wàn)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程.可知,在飛行速度達(dá)到10 m/s 左右時(shí)平飛模式基本切換完畢,隨著飛行速度的穩(wěn)定,θf(wàn)的變化亦趨于穩(wěn)定,符合真實(shí)的飛行模擬過(guò)程.

圖14 算例2 測(cè)試周期中機(jī)翼與機(jī)身夾角θf(wàn)自適應(yīng)響應(yīng)過(guò)程Fig.14 The adaptive response of the angle θf(wàn) between wing and fuselage during the test period in case 2

圖15 算例2 測(cè)試周期中本文方法機(jī)翼與機(jī)身夾角 θf(wàn) 與機(jī)體速度變化的對(duì)應(yīng)過(guò)程Fig.15 The corresponding process of the angleθf(wàn) between wing and fuselage,and the change of airframe velocity of the proposed method in case 2

注 2.在變體無(wú)人機(jī)的飛行過(guò)程中,平飛模式下將俯仰角θ的控制目標(biāo)設(shè)定為0°,機(jī)體能夠根據(jù)飛行速度,動(dòng)態(tài)自適應(yīng)地調(diào)整θf(wàn)以使機(jī)翼獲取足夠升力來(lái)維持姿態(tài)角的設(shè)定目標(biāo),并保證機(jī)體的平穩(wěn)飛行.θf(wàn)夾角是非前饋的,是自動(dòng)反饋的.因此,θf(wàn)是非設(shè)定的,根據(jù)機(jī)體整體狀態(tài)的反饋實(shí)現(xiàn)自主調(diào)節(jié).

圖16 展示了將αi全部設(shè)置為2 時(shí),6 個(gè)子系統(tǒng)中FT-DSF 的自適應(yīng)收斂過(guò)程,可以看出ri均能在設(shè)置的有限時(shí)間Tf=2 s 內(nèi)收斂到定值.有限時(shí)間的加入有效保證了ri收斂的速度,進(jìn)而保證zi的收斂速度,以使本文所提擾動(dòng)觀測(cè)器能夠快速、準(zhǔn)確地對(duì)外部擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償.

圖16 αi=2 時(shí)6 個(gè)控制通道FT-DSF 自適應(yīng)過(guò)程Fig.16 FT-DSF adaptive process of six control channels when αi=2

由于參數(shù)過(guò)多,本文以x子系統(tǒng)為例,測(cè)試當(dāng)監(jiān)督因子α1不同取值時(shí)r1和z1相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程,其結(jié)果如圖17 所示.隨著α1取值逐漸增大,r1的最終收斂值先增大后減小,在α1取值為5 附近時(shí)達(dá)到極大值;動(dòng)態(tài)尺度誤差z1隨α1取值增大收斂速度逐漸加快.由此可證明所開發(fā)的監(jiān)督因子αi對(duì)ri具有監(jiān)督調(diào)節(jié)作用,可加速z1收斂.通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析,當(dāng)αi取值在2～10 的范圍,能取得較大的綜合收益.

圖17 監(jiān)督因子 α1 的變化對(duì)FT-DSF r1 及動(dòng)態(tài)尺度誤差z1 的響應(yīng)過(guò)程(以 x 子系統(tǒng)為例)((a)隨著 α1 不同取值r1的自適應(yīng)收斂響應(yīng);(b)α1 不同取值對(duì)應(yīng) r1 的最終收斂值的變化趨勢(shì);(c)隨著 α1 不同取值 z1 的自適應(yīng)收斂響應(yīng))Fig.17 The responses of FT-DSF r1 and dynamic scaling error z1 in response to the supervision factorα1(take the x subsystem as an example)((a)Adaptive convergent response of r1 with different values of α1;(b)Different values of α1 correspond to the change trend of the final convergence value of r1;(c)Adaptive convergent response of z1 with different values of α1)

5 結(jié)論

本文針對(duì)易受到外部擾動(dòng)的任務(wù)環(huán)境下變體無(wú)人機(jī),提出FT-DSF 和監(jiān)督因子并結(jié)合I&I 理論開發(fā)出估計(jì)精準(zhǔn)且快速可控的擾動(dòng)觀測(cè)器,證明了FT-DSF 的有界性和有限時(shí)間收斂特性.理論和仿真結(jié)果說(shuō)明,變體無(wú)人機(jī)和所提控制方案的匹配程度令人滿意,針對(duì)多種復(fù)雜軌跡跟蹤任務(wù),多種飛行模式的切換過(guò)程中無(wú)需對(duì)控制增益二次調(diào)節(jié),通用性高,穩(wěn)定性強(qiáng).飛行速度以及相對(duì)應(yīng)的機(jī)翼傾角切換較為平滑,保持了過(guò)渡模式和平飛模式的穩(wěn)定運(yùn)行.包含滑模面的CTV-BLF 同樣保證了系統(tǒng)狀態(tài)始終保持在系統(tǒng)約束內(nèi).后續(xù)研究將搭建半物理實(shí)體實(shí)驗(yàn)平臺(tái),推進(jìn)變體無(wú)人機(jī)的實(shí)際應(yīng)用.