回轉(zhuǎn)軸空間六方位轉(zhuǎn)角誤差辨識解析與補(bǔ)償實驗分析＊

張 穎 于 博 胡 月

（①長春光華學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，吉林 長春 130012；②長春工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長春 130012；③河北民族師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，河北 承德 067000）

被譽(yù)為“工業(yè)母機(jī)”的數(shù)控機(jī)床在機(jī)械制造行業(yè)有著無比重要的地位，在國務(wù)院發(fā)布的《國家中長期科學(xué)和技術(shù)發(fā)展規(guī)劃綱要》中，已經(jīng)將“高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造技術(shù)”列為國家科技重大專項[1-3]，由此可見，國內(nèi)對高性能制造裝備的需求正在穩(wěn)步提升。五軸數(shù)控機(jī)床是復(fù)雜零部件加工的重要手段[4-6]，機(jī)床精度直接影響和決定了被加工零部件的加工精度（如尺寸、形狀和相對位置）。五軸數(shù)控機(jī)床運(yùn)動軸包括線性運(yùn)動軸和回轉(zhuǎn)運(yùn)動軸兩種形式，對于線性動軸而言，存在的空間六方位誤差檢測與辨識技術(shù)相對比較成熟，并且已經(jīng)形成了系統(tǒng)的研究理論，以9線誤差辨識法[7]、12線誤差辨識法[8]、15線誤差辨識法[9]、22線誤差辨識法[10]為主；而對于回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差檢測與辨識技術(shù)而言，國內(nèi)外研究學(xué)者對此研究較少，且無系統(tǒng)性提升精度的研究理論，因此，針對數(shù)控機(jī)床回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差，深入研究了基本存在形式，采用空間幾何數(shù)學(xué)分析法解析了回轉(zhuǎn)軸間六方位誤差的數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系，并通過回轉(zhuǎn)軸誤差檢測數(shù)據(jù)特征，提出適合性補(bǔ)償方法，實現(xiàn)了回轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)誤差的精密補(bǔ)償。

1 回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差形式

在三維空間中，任意回轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動過程中均會產(chǎn)生6項幾何誤差，包括：3項線性偏移位移誤差和3項回轉(zhuǎn)偏轉(zhuǎn)誤差。

如圖1所示，以任意回轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動進(jìn)行分析，令該回轉(zhuǎn)軸中心線為Z軸，稱該回轉(zhuǎn)軸為C軸，其中，3項線性偏移誤差分別表示為：δx(c)、δy(c)、δz(c)，3 項回轉(zhuǎn)偏轉(zhuǎn)誤差分別表示為：εx(c)、εy(c)、εz(c)，回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差命名如表1所示，括號內(nèi)字母c表示回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動角度c，意為該誤差是與回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角c的關(guān)聯(lián)函數(shù)。

表1 回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差

圖1 回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差分布圖

2 回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差辨識

準(zhǔn)確辨識回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差是實現(xiàn)回轉(zhuǎn)軸誤差補(bǔ)償及回轉(zhuǎn)精度提升的必要手段，

2.1 沿回轉(zhuǎn)軸 Z向偏移誤差 δz(c)

如果通過檢測實施直接得到回轉(zhuǎn)軸中心位置軸向跳動量，則回轉(zhuǎn)軸Z向偏移誤差可直接得到，即：回轉(zhuǎn)軸中心位置軸向跳動量為沿回轉(zhuǎn)軸Z向偏移誤差。

2.2 繞回轉(zhuǎn)軸 X、Y向偏轉(zhuǎn)誤差 εx(c)、εy(c)

設(shè)置垂直回轉(zhuǎn)軸C軸兩個不同高度截面的檢測面，分別檢測截面X、Y向徑向誤差，可得到截面1的X、Y向徑向誤差為Δx1、Δy1，截面2的X、Y向徑向誤差為Δx2、Δy2，如圖2所示。

圖2 不同截面徑向誤差測量簡圖

由圖2幾何關(guān)系，可列寫式（1）、式（2）。

2.3 沿回轉(zhuǎn)軸 X、Y向偏移誤差 δx(c)、δy(c)

由誤差來源分析知，回轉(zhuǎn)軸C任意截面X、Y向徑向誤差，主要產(chǎn)生根源是由沿回轉(zhuǎn)軸X、Y向偏移誤差δx(c)、δy(c)和繞X、Y向偏轉(zhuǎn)誤差εx(c)、εy(c)間接產(chǎn)生，具體如圖3所示。

圖3 偏移誤差幾何關(guān)系簡圖

聯(lián)立圖2、圖3空間幾何關(guān)系，可列寫式（3）、式（4）。

2.4 繞回轉(zhuǎn)軸 Z向滾轉(zhuǎn)誤差 εz(c)

根據(jù)回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差元素分析，僅沿回轉(zhuǎn)軸Z向偏移誤差δz(c)對繞回轉(zhuǎn)軸Z向滾轉(zhuǎn)誤差εz(c)沒有影響，其余都會直接影響其大小。

假設(shè)，通過檢測設(shè)備檢測得到的回轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)誤差為εc(c)，由其他5項誤差因素引起的誤差分別為εc1(c)、εc2(c)、εc3(c)、εc4(c)、εc5(c)，εz(c) =εc1(c)，εc1(c)為未受其他5項誤差影響的真實繞回轉(zhuǎn)軸Z向滾轉(zhuǎn)誤差，則有

繞回轉(zhuǎn)軸X向偏轉(zhuǎn)誤差εx(α) 引起繞回轉(zhuǎn)誤Z向滾轉(zhuǎn)誤差空間關(guān)系如圖4所示，回轉(zhuǎn)軸驅(qū)動轉(zhuǎn)角為∠AOB，在實際驅(qū)動過程中，受繞回轉(zhuǎn)軸X向偏轉(zhuǎn)誤差εx(α)的影響，目標(biāo)點B轉(zhuǎn)至點D，過點D作XOY面垂線，E為垂點，過點D向OX做垂線，C為垂點，則可以得到，實際滾轉(zhuǎn)誤差為∠AOE，εx(c)=∠BCD，εc2(c)=∠EOB，CB=CD。

圖4 繞X向偏轉(zhuǎn)誤差與滾轉(zhuǎn)誤差關(guān)系圖

由空間幾何關(guān)系知，在ΔBOC中，可列寫式（6）～（8）。

在ΔCED中，可列

將上述推理式（6）～（8）代入式（9）中，可以整理得

式（10）所求解εC2(c)為繞回轉(zhuǎn)軸X向偏轉(zhuǎn)誤差εx(c)引起的回轉(zhuǎn)誤差。

根據(jù)上述空間幾何關(guān)系，可同理得到，繞回轉(zhuǎn)軸Y向偏轉(zhuǎn)誤差εy(c)引起的回轉(zhuǎn)誤差為式（11）的解εc3(c)。

沿回轉(zhuǎn)軸X向偏移誤差δx(c)引起回轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)誤差空間幾何關(guān)系如圖5所示，回轉(zhuǎn)軸驅(qū)動轉(zhuǎn)角為∠AOB，在實際驅(qū)動過程中，受沿回轉(zhuǎn)軸X向偏移誤差δx(c)的影響，使驅(qū)動目標(biāo)點B移至空間點D，且BD=δx(c)，過點D作垂線垂直于Y軸，交點為C，實際滾轉(zhuǎn)誤差為∠AOD，∠DOB=εc4(c)，由于OA連線與DC連線平行，所以得出∠ODC=∠AOD。

圖5 沿X向偏移誤差與滾轉(zhuǎn)誤差關(guān)系圖

由圖5空間幾何關(guān)系，可列

在ΔCOD中，可列

在ΔOBC中，可列

將上述式（12）～（14）代入式（15）中，可以整理得

根據(jù)上述空間幾何關(guān)系，可同理得到，沿回轉(zhuǎn)軸Y向偏轉(zhuǎn)誤差δx(c)引起的回轉(zhuǎn)誤差為式（17）的解εc5(α)。

綜上空間幾何關(guān)系解析，將式（10）、（11）、（16）、（17）代入式（5）中，可得到回轉(zhuǎn)軸繞Z向滾轉(zhuǎn)誤差εz(c)的大小為式（18）所示。

式（18）的解εz(c)即為為繞回轉(zhuǎn)軸Z向滾動誤差。

3 回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角誤差檢測

采用XL-80型激光雙頻干涉儀角度檢測組件對回轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行檢測，選用ALAR-100-sp回轉(zhuǎn)軸出廠的沿回轉(zhuǎn)軸X向偏移誤差和沿回轉(zhuǎn)軸Y向偏移誤差為參考數(shù)據(jù)，進(jìn)行該回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角誤差檢測，檢測現(xiàn)場如圖6所示。

圖6 檢測現(xiàn)場

設(shè)置回轉(zhuǎn)軸每轉(zhuǎn)動5°進(jìn)行滾轉(zhuǎn)誤差檢測，回轉(zhuǎn)軸與檢測設(shè)備在每個檢測點停留4 s進(jìn)行誤差采集及傳輸，以5次檢測取均值為滾轉(zhuǎn)誤差數(shù)據(jù)，如表2所示。

由表2滾轉(zhuǎn)誤差數(shù)據(jù)分析知：回轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)誤差隨著旋轉(zhuǎn)角度變化，大小一直處于近似遞增特性，僅在第三段（-50°，-40°）內(nèi)略有減少，最大增量14.506 arcsec在（10°，20°）出現(xiàn)，最大增值 93.688 arcsec 在（70°，80°）出現(xiàn)。

表2 誤差檢測數(shù)據(jù)

4 適應(yīng)性誤差補(bǔ)償

以該回轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)誤差具有的累積遞增特性，提出適應(yīng)性補(bǔ)償原理，具體實施如下：

4.1 創(chuàng)建累積性數(shù)據(jù)庫

將回轉(zhuǎn)軸擺角位置進(jìn)行λ等分，利用XL-80角度檢測組件對節(jié)點位置P滾轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行檢測和累計值ε云保存，稱為數(shù)據(jù)庫，如式（19）所示。

4.2 建立補(bǔ)償模型

創(chuàng)建適應(yīng)性前饋系統(tǒng)，內(nèi)部為滾轉(zhuǎn)誤差補(bǔ)償模型，當(dāng)回轉(zhuǎn)驅(qū)動器輸出轉(zhuǎn)動指令后，指令經(jīng)前饋系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)算處理，解算得到無滾轉(zhuǎn)誤差驅(qū)動指令。

補(bǔ)償模型以當(dāng)前位置P(光柵反饋)和轉(zhuǎn)動角度θ(驅(qū)動發(fā)出)為自變量，經(jīng)前饋運(yùn)算后輸出為轉(zhuǎn)動角度θ和滾轉(zhuǎn)誤差ε′的疊加θ′=θ-ε′。模型構(gòu)建步驟如下：

4.2.1 建立滾轉(zhuǎn)誤差逼近方程

應(yīng)用直線方程兩點直線法建立從回轉(zhuǎn)軸零點至正極限直線方程，如算式（20）所示。

同理，應(yīng)用直線方程兩點直線法建立從回轉(zhuǎn)軸零點至負(fù)極限直線方程，如式（21）所示。

式中：Pi、εi為零點至正極限位置和滾轉(zhuǎn)誤差；P-i、ε-i為零點至負(fù)極限位置和滾轉(zhuǎn)誤差。

4.2.2 解算位置Pa、轉(zhuǎn)動角度θ滾轉(zhuǎn)誤差ε′

根據(jù)當(dāng)前轉(zhuǎn)動位置Pa和目標(biāo)轉(zhuǎn)動位置Pb大小，補(bǔ)償模型分為4種形式進(jìn)行補(bǔ)償：

（1）Pa∈(0,Pn)，Pb∈(0,Pn)

假 設(shè) ，0≤i＜j≤n，Pi≤Pa≤Pi+1，Pj≤Pb≤Pj+1，利用逼近方程算式（20），可解算位置Pa、Pb的滾轉(zhuǎn)誤差εa和εb，算式關(guān)系如（22）、（23）所示。

通過算式（22）、（23）可解得對應(yīng)該位置轉(zhuǎn)動角度θ的滾轉(zhuǎn)誤差ε′為

整理可得滾轉(zhuǎn)誤差ε′如式（25）所示。

（2）Pa∈(0,Pn)，Pb∈(P-n,0)

假 設(shè) ，Pi≤Pa≤Pi+1，P-j-1≤Pb≤P-j， 利 用 逼 近方程式（20）、（21），可解算位置Pa、Pb的滾轉(zhuǎn)誤差εa和εb，算式關(guān)系如式（26）、（27）所示。

通過式（26）、（27）可解得對應(yīng)該位置轉(zhuǎn)動角度θ的滾轉(zhuǎn)誤差ε′為

整理可得滾轉(zhuǎn)誤差ε′如式（29）所示。

（3）Pa∈(P-n,0)，Pb∈(0,Pn)

假 設(shè) ，P-i-1≤Pa≤P-i，Pj≤Pb≤Pj+1， 利 用 逼 近方程式（20）、（21），可解算位置Pa、Pb的滾轉(zhuǎn)誤差εa和εb，算式關(guān)系如式（30）、（31）所示。

通過式（30）、（31）可解得對應(yīng)該位置轉(zhuǎn)動角度θ的滾轉(zhuǎn)誤差ε′

整理可得式（33）。

（4）Pa∈(P-n,0)，Pb∈(P-n,0)

假設(shè)，P-i-1≤Pa≤P-i，P-j-1≤Pb≤P-j，利用逼近方程式（21），可解算位置Pa、Pb的滾轉(zhuǎn)誤差εa和εb，算式關(guān)系如式（34）、（35）所示。

通過式（34）、（35）可解得對應(yīng)該位置轉(zhuǎn)動角度θ的滾轉(zhuǎn)誤差ε′為

整理可得滾轉(zhuǎn)誤差ε′如式（37）所示。

4.2.3 補(bǔ)償運(yùn)算解析

用方程關(guān)系解算得到的滾轉(zhuǎn)誤差ε′對初始位置Pa、轉(zhuǎn)動角度θ、目標(biāo)位置Pb實施補(bǔ)償，解析得到補(bǔ)償后轉(zhuǎn)動角度θ″運(yùn)算關(guān)系如式（38）所示。

5 實驗分析

對回轉(zhuǎn)軸C空間六方位轉(zhuǎn)角誤差進(jìn)行辨識和適應(yīng)性補(bǔ)償實驗，補(bǔ)償模型參數(shù)如表3所示。

表3 補(bǔ)償模型及實驗參數(shù)

為直觀表明補(bǔ)償前后滾轉(zhuǎn)誤差分布，應(yīng)用Matlab對滾轉(zhuǎn)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，如圖7所示。

圖7 補(bǔ)償前后對比

由圖7曲線分析知：回轉(zhuǎn)軸C軸經(jīng)適應(yīng)性補(bǔ)償后，回轉(zhuǎn)軸C軸滾轉(zhuǎn)誤差顯著減小，且適應(yīng)性補(bǔ)償后滾轉(zhuǎn)誤差曲線在零線波動，通過計算得到補(bǔ)償后殘差最大值、殘差均值和殘差均方差如表4所示。

表4 補(bǔ)償后殘差數(shù)據(jù)

由表4殘差數(shù)據(jù)進(jìn)一步表明，研究的空間六方位轉(zhuǎn)角誤差辨識及適應(yīng)性補(bǔ)償方法可以有效降低回轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)誤差。

6 結(jié)語

針對回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差進(jìn)行了數(shù)學(xué)解析和補(bǔ)償實驗，得出以下結(jié)論：

（1）回轉(zhuǎn)軸運(yùn)動過程中空間六方位誤差大小數(shù)值存在相互影響關(guān)系，用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論可以對回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差進(jìn)行具體的解析建模；采用成熟的檢測設(shè)備“激光雙頻干涉儀XL-80角度檢測組件”可以實現(xiàn)回轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)誤差的檢測與辨識。

（2）根據(jù)被測回轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)誤差具有的增減特征，提出適應(yīng)性補(bǔ)償方法，建立具體的補(bǔ)償數(shù)模，經(jīng)實驗表明，研究的回轉(zhuǎn)軸空間六方位誤差辨識及補(bǔ)償理論可靠實用，補(bǔ)償后滾轉(zhuǎn)誤差殘差均數(shù)據(jù)得到明顯降低，可滿足高精度五軸數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動需求。

（3）針對適應(yīng)性補(bǔ)償模型，運(yùn)行參數(shù)等分步長λ和分段數(shù)N,如果對其進(jìn)行進(jìn)一步精細(xì)設(shè)置，該模型針對滾轉(zhuǎn)誤差具有增減特征的回轉(zhuǎn)軸來說，補(bǔ)償精度將得到顯著提升。