尋根求源探本質(zhì) 變式教學(xué)促發(fā)展
——以2022屆“江南十?！备呷荒Ｂ?lián)考文科數(shù)學(xué)17題為例

安徽 李多猛 張 剛

區(qū)域性高三聯(lián)考通常是一個地區(qū)(或若干個地區(qū))的高中聯(lián)盟體，為了提升本地區(qū)高三復(fù)習(xí)備考的教學(xué)質(zhì)量，檢測高三師生復(fù)習(xí)效果的一種大型考試.通過各地區(qū)示范性高中聯(lián)盟理事會輪流組織命題考試，集中試卷批改和分析，實(shí)現(xiàn)對聯(lián)盟體內(nèi)各高中教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行評估和指導(dǎo).因此，這種區(qū)域性聯(lián)考具有很強(qiáng)的教學(xué)引領(lǐng)和風(fēng)向標(biāo)作用.

2022年3月7日至8日，聯(lián)盟體——“江南十校”組織了區(qū)域性高三一模，本次數(shù)學(xué)試卷具有較好的區(qū)分度，試卷命制質(zhì)量也比較高，通過閱卷發(fā)現(xiàn)學(xué)生的一些典型答題錯誤，失分實(shí)屬可惜.下面筆者以2022屆“江南十?！备呷荒Ｂ?lián)考文科數(shù)學(xué)17題為例，談?wù)勛约涸谠嚲碇v評課中的一些新嘗試，希望能給后期的高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)帶來一些參考和建議.

一、原題再現(xiàn)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1，

a1=3也符合上式，故an=2n+1.

二、試題分析

1.總體評價

本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前n項(xiàng)和的關(guān)系以及“差比型”數(shù)列的前n項(xiàng)求和，主要考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).以下是宿州市城區(qū)三所示范高中參加考試的1 181名文科學(xué)生的答題得分統(tǒng)計分析表：

題號實(shí)考人數(shù)滿分值平均分標(biāo)準(zhǔn)差得分率難度區(qū)分度第17題1 181127.943.450.660.660.45

從統(tǒng)計結(jié)果看，本題答題情況并不好，尤其是第二問的錯位相減求和，人人能做，但能最終答對的卻不多.考后筆者統(tǒng)計了學(xué)生在用錯位相減法求和時的常見錯誤類型：

(1)符號錯誤；

(2)指、系數(shù)書寫錯誤；

(3)指、系數(shù)運(yùn)算錯誤;

(4)書寫不規(guī)范等.

2.錯因探源

從考后的統(tǒng)計結(jié)果可以看出學(xué)生對錯位相減法求和的整體過程模糊不清，主要體現(xiàn)在相減之后的等式中的等比數(shù)列求和的項(xiàng)數(shù)模糊不清；對等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式理解不透、運(yùn)用不熟，導(dǎo)致運(yùn)用公式求和時出錯；思維定式將最后一項(xiàng)的符號簡單對應(yīng)項(xiàng)數(shù)符號，同時數(shù)學(xué)基本運(yùn)算能力的欠缺也是出錯的一個重要原因.

3.解決策略

錯位相減法求和在一定程度上具有程序化的特點(diǎn)，因此規(guī)范書寫格式(一般為“前三后二”，上下對齊的是同類項(xiàng))是減少錯誤的有效途徑，如下所示.

其次，要注意確認(rèn)最后一項(xiàng)的符號以及中間等比數(shù)列求和的項(xiàng)數(shù)是否正確，正確使用求和公式運(yùn)算.最后，還要學(xué)會檢驗(yàn)，對于用錯位相減法求得的結(jié)果Tn，可根據(jù)T0=0，T1等于首項(xiàng)檢驗(yàn)求得的Tn是否正確.

三、探尋本質(zhì)

“錯位相減法”是在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時采用的經(jīng)典方法，也是求“差比型”數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法，主要考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).一直以來，用“錯位相減法”求“差比型”數(shù)列前n項(xiàng)和似乎是“教師教、學(xué)生學(xué)”的唯一選擇，但也一直是老師的痛處、學(xué)生的傷點(diǎn)！還有沒有求“差比型”數(shù)列前n項(xiàng)和的其他路徑和選擇呢？以下是筆者在評講該題的課堂教學(xué)新嘗試(片段).

師：問題的本質(zhì)是什么？

生：把數(shù)列的前n項(xiàng)相加，即Tn=b1+b2+…+bn.

師：數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)bn有何關(guān)系？

生：bn=Tn-Tn-1(n≥2).

師：很好，這樣通項(xiàng)bn就可以看成函數(shù)Tn與Tn-1的差，

也就是說Tn=T1+(T2-T1)+(T3-T2)+…+(Tn-Tn-1)，能否考慮像這樣先把bn裂項(xiàng)，再求和？(學(xué)生開始議論)

生：函數(shù)Tn怎么找？(學(xué)生感覺為難)

生：兩個函數(shù)的乘積.

師：兩個什么函數(shù)？

師：任意兩個線性函數(shù)的差是什么函數(shù)？

生：還是線性函數(shù).(學(xué)生都被這樣的“問題串”吸引住了，不少學(xué)生緊鎖的眉頭也慢慢舒展了)

師：bn-bn-1等于什么？結(jié)果與通項(xiàng)bn比較有何特征？

師： 非常好！(學(xué)生思維的火花被點(diǎn)燃了)

四、深度挖掘

使bn=f(n)-f(n-1),n∈N*，

所以Tn=b1+b2+…+bn

=(f(1)-f(0))+(f(2)-f(1))+…+(f(n)-f(n-1))

=f(n)-f(0)

五、通法探究

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)離不開數(shù)學(xué)思維能力的提升，課堂教學(xué)中，教師的任務(wù)就是通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的邏輯推理能力.波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中提出，高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)目標(biāo)首先和主要的是：“必須教會那些年輕人思考.”所以課堂教學(xué)不但要以問題為起點(diǎn)，還要以進(jìn)一步的問題來推進(jìn)，引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí).到此為止，學(xué)生是不是真正把問題的本質(zhì)解決了呢？筆者認(rèn)為,學(xué)生的思維訓(xùn)練還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有結(jié)束，可以再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考此類問題的通法.

【例1】已知數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=(An+B)·qn(A,B為常數(shù)，q≠0且q≠1)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

解析：令f(n)=(kn+b)·qn且cn=f(n)-f(n-1),n∈N*，則由

(An+B)·qn=(kn+b)·qn-[k(n-1)+b]·qn-1，消去qn-1得,

(An+B)·q=(kn+b)q-[k(n-1)+b]=(kq-k)n+bq-b+k，

Tn=c1+c2+…+cn

=(f(1)-f(0))+(f(2)-f(1))+…+(f(n)-f(n-1))

=f(n)-f(0).

事實(shí)上，若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)是由關(guān)于n的多項(xiàng)式函數(shù)與關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)的乘積構(gòu)成，即cn=[ak·nk+ak-1·(n-1)k-1+…+a1·n+a0]·qn，則都可以采用“待定裂項(xiàng)法”求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，這樣問題就迎刃而解，學(xué)生的解題思路也豁然開朗，解答問題自然水到渠成.

六、變式教學(xué)

在后期高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生掌握解題方法和規(guī)律，更多的是通過數(shù)學(xué)問題的變式應(yīng)用來實(shí)現(xiàn)，從而加深學(xué)生對知識內(nèi)涵與外延的真正理解，真正實(shí)現(xiàn)掌握問題本質(zhì)，這對于高三數(shù)學(xué)沖刺階段的復(fù)習(xí)可以起到事半功倍的作用，同時也能提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的梳理和歸類，把握一類問題的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)通法通解，以不變應(yīng)萬變，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此，數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)中，還可以嘗試對上述母題改變條件或結(jié)論，下面略舉一例說明.

【變式1】已知數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn=(n2+n-2)·2n，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

解析：令f(n)=(an2+bn+c)·2n，

且cn=f(n)-f(n-1)，

則(n2+n-2)·2n=(an2+bn+c)·2n-[a(n-1)2+b(n-1)+c]·2n-1，

即2n2+2n-4=2(an2+bn+c)-[a(n-1)2+b(n-1)+c]=an2+(2a+b)n-a+b+c,

所以f(n)=(2n2-2n)·2n=n(n-1)·2n+1,n∈N*，

Tn=c1+c2+…+cn=f(n)-f(0) =n(n-1)·2n+1.

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是個體認(rèn)知結(jié)構(gòu)從建立到擴(kuò)展，再到精致的過程.上述問題就是母題條件中的特殊化、具體化的表現(xiàn)，考查學(xué)生對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解.通過母題變式教學(xué)，要引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)特征結(jié)構(gòu)的把握，教師還可以繼續(xù)實(shí)施變式題組教學(xué)，比如母題逆命題是否成立等，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生舉一反三，觸類旁通的教學(xué)效果.

……

改變問題的結(jié)構(gòu)、形式，更換問題的條件和結(jié)論，以及探尋問題的一般化規(guī)律等，都是為了進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，幫助學(xué)生多角度、多層次理解知識，培養(yǎng)學(xué)生在不同條件下遷移、發(fā)散能力、建構(gòu)知識體系能力的過程，也是促進(jìn)學(xué)生由“知識型”向“能力型”轉(zhuǎn)變的過程，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).當(dāng)然，教師還可以結(jié)合自己的實(shí)際課堂需求，繼續(xù)實(shí)施類似變式的題組教學(xué)，這里限于篇幅，不再一一贅述.

七、教學(xué)反思

1．積極提升自身專業(yè)素養(yǎng)

實(shí)踐數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)除了教材中明確的知識技能目標(biāo)外，還應(yīng)該包含數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、發(fā)展的過程、體現(xiàn)的思想和與其他知識的聯(lián)系等，因此，教師要積極提升自身專業(yè)素養(yǎng).只有教師對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展過程全面了解，才能恰到好處地點(diǎn)撥和引導(dǎo)學(xué)生暴露問題本質(zhì)，還原問題本真；只有教師對數(shù)學(xué)問題的思想和方法深入體會，才能引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考.

2．重視知識體系建構(gòu)聯(lián)系

3．加強(qiáng)引領(lǐng)學(xué)生變式教學(xué)