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    在探究中溯源 在變式中求真
    ——以一道典型圓錐曲線問題為例

    2022-08-30 05:27:28江西鄒榮華
    關(guān)鍵詞:重合逆向變式

    江西 鄒榮華 顏 琴

    圓錐曲線在高考及模擬考試中經(jīng)??疾閷?duì)稱問題、面積問題、定值問題、定點(diǎn)問題以及向量問題、存在性問題、探究性問題等,本文以一道典型圓錐曲線問題為例,通過多角度思考,以問題為驅(qū)動(dòng),不斷探究,一題多變,以點(diǎn)帶面,涉及圓錐曲線中以上列舉出的各種問題.

    (1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;

    (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB.

    【分析】要證明∠OMA=∠OMB,通過直線AM,BM斜率之和為零建立方程進(jìn)行求證.

    (2)當(dāng)l與x軸重合時(shí),∠OMA=∠OMB=0°;

    當(dāng)l與x軸垂直時(shí),OM為AB的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB;

    當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),

    設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),

    得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,

    Δ=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)>0,

    由y1=kx1-k,y2=kx2-k得,

    所以kMA+kMB=0,故直線MA,MB的傾斜角互補(bǔ),所以∠OMA=∠OMB;

    綜上,∠OMA=∠OMB.

    一、結(jié)論變換

    變式一:當(dāng)l與x軸不重合時(shí),證明:MO平分∠AMB;

    【分析】由∠OMA=∠OMB易得MO平分∠AMB.

    變式二:當(dāng)l與x軸不重合時(shí),證明:直線MA,MB的傾斜角互補(bǔ);

    【分析】由原題解法中kMA+kMB=0可得直線MA,MB的傾斜角互補(bǔ).

    變式三:當(dāng)l與x軸不重合時(shí),證明:點(diǎn)F到直線MA,MB的距離相等;

    【分析】因?yàn)镕在∠AMB角平分線MO上,所以F到直線MA,MB的距離相等.

    變式四:當(dāng)l與x軸不重合時(shí),證明:A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A′ 在直線BM上;

    【分析】方法1:由原題∠OMA=∠OMB易得MO平分∠AMB,又因?yàn)橹本€MO即為x軸,易知A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A′ 在直線BM上;

    方法2:利用向量證明B,A′,M三點(diǎn)共線,得到點(diǎn)A′在直線BM上.

    證明:當(dāng)l與x軸垂直時(shí),A′與B重合,易得點(diǎn)A′在直線BM上;

    當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),

    A(x1,y1),B(x2,y2),A′(x1,-y1),

    (2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,

    Δ=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)>0,

    要證A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A′ 在直線BM上,

    即證(x1-2)y2+(x2-2)y1

    =(x1-2)(kx2-k)+(x2-2)(kx1-k)

    =k[2x1x2-3(x1+x2)+4]

    =0.

    綜上,點(diǎn)A′在直線BM上.

    變式五:當(dāng)l與x軸不重合時(shí),證明:|AM|·|BF|=|AF|·|BM|;

    變式六:當(dāng)l與x軸不重合時(shí),證明:|BM|·S△AMF=|AM|·S△BMF;

    【分析】由F到直線MA,MB的距離相等,并設(shè)為d,

    得|BM|·S△AMF=|AM|·S△BMF

    變式八:kMA+kMB是否為定值?若是求出定值,若不是說明理由;

    【分析】由原題解法易得kMA+kMB=0,故kMA+kMB定值為0.

    變式九:能否求出kAM·kBM的取值范圍?

    【分析】由原題解法得到kAM·kBM關(guān)于k的函數(shù)式,再求出范圍.

    當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1),

    得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.

    Δ=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)>0,

    二、逆向變換

    將題目已知中的“點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)”去掉,把結(jié)論放入已知,從多個(gè)角度進(jìn)行逆向設(shè)問,尋找點(diǎn)M是否存在.

    【分析】假設(shè)M存在并設(shè)M(m,0),根據(jù)∠OMA=∠OMB用kAM+kBM=0列式求解m,再作出判斷.

    解析:假設(shè)M存在并設(shè)M(m,0),

    當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1),

    得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,

    Δ=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)>0,

    因?yàn)椤螼MA=∠OMB,所以kAM+kBM=0,

    因?yàn)閗不恒為0,

    當(dāng)l與x軸垂直時(shí),易得M(2,0),滿足∠OMA=∠OMB;

    綜上,存在M(2,0),使∠OMA=∠OMB恒成立.

    【分析】假設(shè)M存在并設(shè)M(m,0),

    由BMS△AMF=|AM|S△BMF,得

    可知F在∠AMB的平分線上,由kAM+kBM=0建立方程求解m.

    理由如下:設(shè)存在符合題意的點(diǎn)M(m,0),則:

    當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1),

    得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.

    Δ=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)>0,

    y1y2=k2(x1-1)(x2-1)

    =k2[x1x2-(x1+x2)+1]

    =x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2

    逆向變換是把原命題的結(jié)論作為已知,去探究使之滿足的其他條件.變式一至變式十(變式九除外)都可以這樣逆向設(shè)置問法進(jìn)行逆向變換,其他具體變換略.逆向變換是思維的逆向過程,難度較大,常常是存在性問題、探究性問題的命制方式,比如變式十二,這樣設(shè)置問題,不僅題目新穎,而且難度變大.

    三、綜合變換

    【分析】類比變式十一的解法,

    解析:假設(shè)M存在并設(shè)M(m,0),

    當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-n),

    得(2k2+1)x2-4nk2x+2n2k2-2=0,

    Δ=16n2k4-4(2k2+1)(2n2k2-2)=8(2k2-n2k2+1)>0,

    因?yàn)椤螼MA=∠OMB,所以kAM+kBM=0,

    因?yàn)閗不恒為0,

    【分析】類比變式十一的解法,

    解析:假設(shè)M存在并設(shè)M(m,0),

    當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-c),

    A(x1,y1),B(x2,y2),則|x1|

    得(a2k2+b2)x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0,

    Δ=4a4c2k4-4(a2k2+b2)(a2c2k2-a2b2)=4a2b2(a2k2+b2-c2k2)>0,

    因?yàn)椤螼MA=∠OMB,所以kAM+kBM=0,

    因?yàn)閗不恒為0,

    【分析】類比變式十五的解法,

    解析:假設(shè)M存在并設(shè)M(m,0),

    當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-n),

    A(x1,y1),B(x2,y2),則|x1|

    得(a2k2+b2)x2-2a2nk2x+a2n2k2-a2b2=0

    Δ=4a4n2k4-4(a2k2+b2)(a2n2k2-a2b2)=4a2b2(a2k2+b2-n2k2)>0,

    因?yàn)椤螼MA=∠OMB,所以kAM+kBM=0,

    因?yàn)閗不恒為0,

    四、同類變換

    變式十七:題中橢圓變?yōu)殡p曲線,是否有類似結(jié)論?

    【分析】類比變式十六的解法,

    解析:假設(shè)M存在并設(shè)M(m,0),

    當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-n),

    A(x1,y1),B(x2,y2),則|x1|>a, |x2|>a,

    得(b2-a2k2)x2+2a2nk2x-a2n2k2-a2b2=0,

    Δ=4a4n2k4-4(-a2k2+b2)(-a2n2k2-a2b2)=4a2b2(n2k2+b2-a2k2)>0

    因?yàn)椤螼MA=∠OMB,所以kAM+kBM=0,

    因?yàn)閗不恒為0,所以,

    變式十八:題中橢圓變?yōu)閽佄锞€,是否有類似結(jié)論?

    拋物線C的方程為:y2=2px(p>0),N(n,0)(n為已知且n>0), 過N的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)l與x軸不重合時(shí),x軸上是否存在定點(diǎn)M,使∠OMA=∠OMB恒成立,若存在求出定點(diǎn),若不存在說明理由;

    【分析】類比變式十六的解法,

    解析:假設(shè)M存在并設(shè)M(m,0),

    當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-n),

    A(x1,y1),B(x2,y2),則x1>0 ,x2>0 ,

    將y=k(x-n)代入y2=2px,

    得k2x2-(2nk2+2p)x+k2n2=0,

    Δ=(2nk2+2p)2-4n2k4=4p(2nk2+p)>0,

    因?yàn)椤螼MA=∠OMB,所以kAM+kBM=0,

    因?yàn)閗不恒為0,

    解得m=-n;

    當(dāng)l與x軸垂直時(shí),易得M(-n,0),滿足∠OMA=∠OMB;

    綜上,存在M(-n,0),使得∠OMA=∠OMB.

    變式十九:題中橢圓變?yōu)閳A,是否有類似結(jié)論?

    圓C的方程為:x2+y2=r2(r>0),N(n,0)(n為已知,-r

    【分析】類比變式十六的解法,

    解析:假設(shè)M存在并設(shè)M(m,0),

    當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-n),

    A(x1,y1),B(x2,y2),則-r

    將y=k(x-n)代入x2+y2=r2,

    得(1+k2)x2-2nk2x+k2n2-r2=0,

    Δ=4n2k4-4(1+k2)(k2n2-r2)=4(k2r2+r2-k2n2)>0,

    因?yàn)椤螼MA=∠OMB,所以kAM+kBM=0,

    因?yàn)閗不恒為0,

    同類變換是數(shù)學(xué)中常見的同類型中由一類成立,聯(lián)想到另一類或幾類是否也成立,從而進(jìn)行變換設(shè)問的一種方式,這是數(shù)學(xué)中重要的類比推理的思想.比如上面的同類變換由橢圓中的結(jié)論成立,分別變換成雙曲線、拋物線和圓中此結(jié)論是否也成立,這種從一類到另一類的探究過程,使我們由懂一類題到通一片題.

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