立足單元教學(xué)設(shè)計(jì) 培養(yǎng)糾錯(cuò)思維品質(zhì)

甘肅 張建文

單元教學(xué)是促使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根的重要手段，數(shù)學(xué)單元教學(xué)的設(shè)計(jì)要體現(xiàn)出整體關(guān)聯(lián)性、動(dòng)態(tài)發(fā)展性和團(tuán)隊(duì)合作性，而教學(xué)主題的選擇通常有知識(shí)類主題、方法類主題和素養(yǎng)類主題.其中方法類主題既有觀念層面的也有操作層面的，本文嘗試從培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的角度來探索方法類主題的教學(xué)模式.主要從六個(gè)角度梳理學(xué)生常見的思維誤區(qū)，分析產(chǎn)生思維誤區(qū)的原因，糾正解答錯(cuò)誤，并進(jìn)行變式提升訓(xùn)練或拓展延伸訓(xùn)練，同時(shí)提供切實(shí)可行的教學(xué)建議.通過研究經(jīng)典實(shí)例，將學(xué)生常見的思維誤區(qū)直觀化、具體化和可視化，經(jīng)過探究錯(cuò)解后面所隱含的思維誤區(qū)，糾正思維習(xí)慣，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，從而更好地強(qiáng)化“四基”，提高“四能”，促進(jìn)學(xué)生理性地思考問題，使得學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)愛學(xué)習(xí)，從中享受到學(xué)習(xí)的快樂，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

1.運(yùn)算素養(yǎng)待提高，特殊位置難處理

數(shù)學(xué)運(yùn)算是訓(xùn)練考生邏輯推理的重要途徑，要求在熟悉運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和形式特征，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變形化簡(jiǎn).運(yùn)算的正確、有據(jù)、合理、簡(jiǎn)潔是運(yùn)算能力的主要特征.在實(shí)際運(yùn)算過程中，要善于分析運(yùn)算條件，多角度嘗試運(yùn)算方向，選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法，設(shè)計(jì)合理而簡(jiǎn)潔的運(yùn)算程序等.在課堂教學(xué)過程中，要引導(dǎo)考生從單向思維到逆向思維和多向思維轉(zhuǎn)變，引導(dǎo)考生在觀察的基礎(chǔ)上“看”出運(yùn)算思路.若運(yùn)算能力不足，就會(huì)出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的問題，或是在某個(gè)轉(zhuǎn)化位置上出現(xiàn)偏差.

(1)當(dāng)3-a≤0即a≥3時(shí)，g(x)≤0，f′(x)≤0，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.

正確解答：由于(1)的解答完全正確，所以只需要糾正(2)即可.

分析解答：由于解答前半部分與例1解題思路完全一致，所以從(2)開始：

2.直觀思維有欠缺，繪圖粗糙不到位

直觀想象作為六大核心素養(yǎng)之一，整合了空間想象、幾何直觀和空間觀念，是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段.在能力層面，要求考生能夠準(zhǔn)確作圖進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題，依托圖形理解數(shù)學(xué)本質(zhì).在實(shí)際教學(xué)中，教師要引導(dǎo)考生能夠“遇數(shù)想形，見形轉(zhuǎn)式”，幫助考生形成較好的數(shù)學(xué)直觀思想.若直觀思維欠缺，就會(huì)出現(xiàn)繪圖不規(guī)范、不準(zhǔn)確，看圖有偏差，進(jìn)而做題出錯(cuò)，素養(yǎng)難以提升.

【例2】已知函數(shù)f(x)=|lgx|-kx-2，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是( )

A.若k=0，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

B.?k<0，使得f(x)有一個(gè)零點(diǎn)

C.?k<0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

D.?k>0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

錯(cuò)誤呈現(xiàn)：若?k<0，使得f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，則存在的零點(diǎn)為x=1.

f(x)=|lgx|-kx-2的零點(diǎn)?方程|lgx|-kx-2=0的根?方程|lgx|=kx+2的根?函數(shù)y=|lgx|與y=kx+2圖象的交點(diǎn)，繪制y=|lgx|與y=kx+2(k<0)的圖象如圖，由圖可知，所以?k<0，使得兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為(1，0)，即f(x)有一個(gè)零點(diǎn)為x=1.故選B.

錯(cuò)因分析：考生對(duì)函數(shù)圖象的認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)確不到位，平時(shí)作圖太隨意，對(duì)函數(shù)圖象的變化快慢掌握不到位.在研究函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候，能夠依圖說明問題，但是涉及兩條曲線的相對(duì)位置關(guān)系或函數(shù)變化快慢的時(shí)候，考生就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

所以?k<0，使得f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)為x0，故選B.

拓展提升：探究直線y=kx+2在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中與曲線y=|lgx|的交點(diǎn)情況：

(1)直線y=kx+2過定點(diǎn)(0，2)，下面探究當(dāng)直線斜率k變化對(duì)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的影響.

①探究y=kx+2與y=|lgx|相切的臨界狀態(tài).

如圖，當(dāng)y=kx+2與y=lgx(x>1)相切時(shí)：

又由于切線過點(diǎn)(0，2)，

所以在k變化的過程中有如下結(jié)論：

如圖，當(dāng)k=0時(shí)，y=kx+2與y=|lgx|圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

3.通性通法不熟練，以偏概全出偏差

通性通法主要是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法.通性主要指數(shù)學(xué)概念所反應(yīng)的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，通法主要指數(shù)學(xué)概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)考生深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，總結(jié)并掌握研究數(shù)學(xué)對(duì)象的一般性方法和思路.例如在最值求解過程中，通常是從函數(shù)視角去分析解答，而且研究函數(shù)的一般性思路是：定義域→圖象→性質(zhì)，或是定義域→性質(zhì)1→圖象→性質(zhì)2.如果考生對(duì)研究對(duì)象的通性通法不熟練，就會(huì)出現(xiàn)以偏概全的錯(cuò)誤.

【例3】下列表述正確的是( )

錯(cuò)因分析：運(yùn)算錯(cuò)誤，在表達(dá)式變形的時(shí)候考慮不全面，缺少表達(dá)式變形的一般性思維，忽略運(yùn)算規(guī)則的特殊要求，進(jìn)而出現(xiàn)以偏概全，只考慮到x取值的一個(gè)側(cè)面，并沒有全面考慮問題.從中可以看出“四基”中的基本技能欠缺，缺乏函數(shù)思想.函數(shù)思想是解決最值問題或取值范圍問題的常用手段，從函數(shù)角度入手可以極大地簡(jiǎn)化問題.在此錯(cuò)例中，從考生思維角度來講，由于缺失解決問題的通性通法導(dǎo)致錯(cuò)誤出現(xiàn).

拓展提升：立足課標(biāo)要求，從考生的能力發(fā)展角度設(shè)計(jì)探究活動(dòng).

據(jù)此可得f(x)在[0，+∞)上的圖象，再根據(jù)奇偶性，引導(dǎo)考生得到f(x)的整條圖象如圖，進(jìn)而得到函數(shù)f(x)在R上的其他性質(zhì).

4.求解過程不合理，條件轉(zhuǎn)化不等價(jià)

數(shù)學(xué)問題的解答不但要求有明晰的思路，而且要求有規(guī)范且合乎邏輯的過程.合理的解答過程能夠體現(xiàn)出由條件到結(jié)論的流暢性與自然性，是對(duì)題目條件的等價(jià)化簡(jiǎn)后所呈現(xiàn)出來的最簡(jiǎn)潔的形式.在解題教學(xué)中，需要師生共同探究問題解決的基本思路，然后進(jìn)行有理有據(jù)的過程書寫，最后對(duì)得出的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，如果必要可以對(duì)解答過程進(jìn)行回顧總結(jié).這個(gè)求解過程缺一不可，是形成考生良好問題解答思維習(xí)慣的必經(jīng)之路，如若缺失，就會(huì)出現(xiàn)解答結(jié)果看似合理規(guī)范，但實(shí)際結(jié)果錯(cuò)誤的情形.

即ω=1+2k，k∈N③，

由③④可得ω的最大值為11.

錯(cuò)因分析：這題是三角函數(shù)中求參數(shù)范圍的經(jīng)典實(shí)例，由①②推理得出③的過程中題目原始含義已經(jīng)發(fā)生變化，其實(shí)①②是③的充分不必要條件，并不是等價(jià)條件，這樣導(dǎo)致得出的結(jié)論錯(cuò)誤.所以在解題過程中一定要確保條件的轉(zhuǎn)化是等價(jià)的，若不等價(jià)一定要將所得結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證以滿足原始條件.

正確解答：由上可知，ω=1+2k，k∈N且ω≤12，即ω=1，3，5，7，9，11.

(1)當(dāng)ω=11時(shí)，f(x)=sin(11x+φ)，下面驗(yàn)證是否滿足零點(diǎn)和對(duì)稱軸要求.

(2)當(dāng)ω=9時(shí)，f(x)=sin(9x+φ)，下面驗(yàn)證是否滿足零點(diǎn)和對(duì)稱軸要求.

綜上可知，ω的最大值為9.

5.審題維度太單一，隱含關(guān)系看不出

數(shù)學(xué)審題就是在明確問題要求的基礎(chǔ)上，通過準(zhǔn)確分析題目條件的含義，對(duì)條件進(jìn)行等價(jià)化簡(jiǎn)，尋找條件與問題要求的差距，并形成由條件轉(zhuǎn)化成問題答案的基本思路.審題的關(guān)鍵在于對(duì)題目條件的準(zhǔn)確理解和合理轉(zhuǎn)化，多維度多層次分析題目條件所表現(xiàn)出來的顯性條件和隱性條件，挖掘變量之間的各種關(guān)系并進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化.在教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)審題要求學(xué)生眼到、手到、心到，需要考生多維度去思考解決問題的多種可能性，引導(dǎo)考生“看出”數(shù)學(xué)思路，并選擇最簡(jiǎn)潔最高效的方法.如若審題出現(xiàn)問題，就會(huì)使得條件分析不全面而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

6.整體視角不寬廣，機(jī)械模仿出錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)知識(shí)的理解深度決定其應(yīng)用的靈活度，對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解就要理解知識(shí)的上下位關(guān)系、與其他知識(shí)的縱橫聯(lián)系、在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的作用與價(jià)值、知識(shí)產(chǎn)生的邏輯背景、知識(shí)所能解決的數(shù)學(xué)問題等等，要達(dá)到這樣的理解程度，就需要有整體觀念，從整體視角去看待知識(shí)的來龍去脈，理解整體與部分之間的邏輯關(guān)系.在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)考生觀察表達(dá)式結(jié)構(gòu)，深刻理解知識(shí)的本質(zhì)，區(qū)分不同知識(shí)在表達(dá)和呈現(xiàn)形式上的異同.如若整體視角不夠?qū)拸V，就會(huì)對(duì)知識(shí)的本質(zhì)理解不到位，進(jìn)而在知識(shí)的應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)機(jī)械模仿或答非所問的情況.

【例6】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx，且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范圍.

錯(cuò)誤呈現(xiàn)：由于1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4所以1≤a-b≤2 ①；2≤a+b≤4 ②.

所以4≤4a-2b≤11，即f(-2)的取值范圍是[4，11].

錯(cuò)因分析：在多次使用不等式的同向相加性質(zhì)時(shí)，等號(hào)成立的條件可能不同，從而造成累計(jì)誤差，最終使得不等式的取值范圍擴(kuò)大.從本質(zhì)上講，考生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和組成方式不太理解，觀察不夠細(xì)致，對(duì)不等式性質(zhì)的使用規(guī)則機(jī)械仿照，更深層次地體現(xiàn)出學(xué)習(xí)方法的不科學(xué)和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)把握的不準(zhǔn)確.

正確解答：已知1≤a-b≤2，2≤a+b≤4，

令4a-2b=x(a-b)+y(a+b)=(x+y)a+(y-x)b，

即4a-2b=3(a-b)+(a+b)，3≤3(a-b)≤6，2≤a+b≤4，

所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10，

故而f(-2)的取值范圍是[5，10].

變式提升：已知-2≤x+y≤1且0≤2x-y≤3，求x-y的取值范圍.

解析：令x-y=m(x+y)+n(2x-y)=(m+2n)x+(m-n)y，