精準(zhǔn)施策 破解與高等數(shù)學(xué)知識接軌的考題

福建 湯小梅 鄭金木

高等數(shù)學(xué)知識中的狄利克雷函數(shù)、黎曼函數(shù)、泰勒公式、歐拉線、高斯函數(shù)、托勒密定理、洛必達法則、不動點原理、特征函數(shù)、卡西尼卵形線等知識與高中數(shù)學(xué)知識接軌，在高考、各省市質(zhì)檢題中常以小題的形式呈現(xiàn)，意在考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．因此在復(fù)習(xí)備考中，有意識地加強這方面的訓(xùn)練是很有必要的，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)新精神，拓寬思維視野，提升核心素養(yǎng)．現(xiàn)聚焦2022年各省市的質(zhì)檢題，欣賞與高等數(shù)學(xué)知識接軌的考題，旨在揭示此類考題的特點與解題策略，以期能為讀者提供幫助．

考向1 以“狄利克雷函數(shù)”為背景的函數(shù)題

A．f(x)的定義域為{0,1}

B．f(x)的值域為[0,1]

C．?x∈R，f(f(x))=0

D．任意一個非零有理數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)在x∈R上恒成立

【點撥】利用狄利克雷函數(shù)的解析式，即可得其定義域與值域，從而可判斷選項A,B的正確性；分別討論x∈Q和x∈RQ，即可判斷選項C的正確性；利用周期函數(shù)的定義，即可判斷選項D的正確性．

當(dāng)x∈Q時，f(f(x))=f(1)=1；當(dāng)x∈RQ時，f(f(x))=f(0)=1，所以C錯誤；

對于任意一個非零有理數(shù)T，若x∈Q，則f(x)=1,且(x+T)∈Q，所以f(x+T)=1，所以f(x)=f(x+T)；若x∈RQ，則f(x)=0,且(x+T)∈RQ，則f(x+T)=0，所以f(x)=f(x+T).

綜上，任意一個非零有理數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)在R上恒成立，故選D．

【策略點津】本題以“狄利克雷函數(shù)”為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)的定義域、值域、周期性、含有量詞的命題的真假判斷等問題．破解本題的關(guān)鍵需“四會”：一會翻譯，即狄利克雷函數(shù)翻譯為分段函數(shù)，集合RQ翻譯為無理數(shù)集；二會用定義，即會利用函數(shù)的周期性的定義判斷函數(shù)的周期性；三會分段賦值，需注意從內(nèi)向外層層求函數(shù)值；四會判斷，即會判斷含有量詞命題的真假：某條件下的所有x都滿足條件p，就可判定含有全稱量詞命題為真命題，否則為假命題．某條件下存在一個x滿足條件p，就可判定含有存在量詞的命題為真命題，否則為假命題．

考向2 以“黎曼函數(shù)”為背景的函數(shù)問題

【典例2】(2022·山東省濰坊市期中)波恩哈德·黎曼(1866.07.20-1926.09.17)是德國著名的數(shù)學(xué)家．他在數(shù)學(xué)分析、微分幾何方面作出過重要貢獻，開創(chuàng)了黎曼幾何，并給后來的廣義相對論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．他提出了著名的黎曼函數(shù)，該函數(shù)f(x)的定義域為[0,1]，其解析式為：

下列關(guān)于黎曼函數(shù)的說法正確是( )

A．f(x)無最小值

C．f(x)=f(1-x)

D．f(ab)≥f(a)f(b)

【點撥】對黎曼函數(shù)的自變量進行分類，從而可求出其最值與判斷f(x)=f(1-x)的正確性；要判斷f(ab)≥f(a)f(b)的正確性，只需對a與b分類討論，求出f(a)，f(b)的值，即可得出結(jié)論．

對于C，①當(dāng)x=0或x=1時，有f(0)=f(1)=0成立，滿足f(x)=f(1-x)，

②當(dāng)x為(0,1)內(nèi)的無理數(shù)時，1-x也為(0,1)內(nèi)的無理數(shù)，所以f(x)=f(1-x)=0，滿足f(x)=f(1-x)，

對于D，①若a與b中至少一個為0或1或(0,1)中的無理數(shù)時，則f(a)f(b)=0，而f(ab)≥0恒成立，滿足f(ab)≥

f(a)f(b)，

【策略點津】本題以“黎曼函數(shù)”為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)的性質(zhì)的考題，考查了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．破解本題的關(guān)鍵是過好雙關(guān)：一是分類關(guān)，即會對自變量進行分類，從而得到函數(shù)的最值與函數(shù)值；二是轉(zhuǎn)化關(guān)，即會把所需判斷的等式與不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值，再判斷等式與不等式是否成立，并滲透函數(shù)單調(diào)性在解題中的應(yīng)用．

考向3 以“泰勒公式”為背景的不等式問題

A．5 B．6 C．7 D．8

【策略點津】本題以高等數(shù)學(xué)的“泰勒公式”為背景考查階乘的運算、估算思想、公式的應(yīng)用，意在考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．求解此類題的突破口是理解泰勒公式中的各個元素的意義，讀懂題意，提煉出含參數(shù)的不等式，經(jīng)過解不等式及估計思想，即可獲解．

考向4 以“歐拉線”為背景的直線方程問題

【典例4】(2022·江蘇省淮安市期末調(diào)研)萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別是A(-1,0),B(3,0),C(0,2)，則△ABC的垂心坐標(biāo)為，△ABC的歐拉線方程為．

【點撥】由AB邊上的高所在的直線方程與BC邊上的高所在的直線方程聯(lián)立可得△ABC的垂心，再求出△ABC的重心，根據(jù)歐拉線的定義，由垂心與重心可得△ABC的歐拉線方程．

【解析】由A(-1,0),B(3,0),C(0,2)，可知AB邊上的高所在的直線為x=0，

所以△ABC的歐拉線方程為5x+4y-6=0．

【策略點津】此類以“歐拉線”為背景的直線方程試題，意在考查邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．破題關(guān)鍵：一是讀懂題意，并會應(yīng)用符號語言進行轉(zhuǎn)化，如本題，明晰歐拉線的特征，三角形的“三心”(外心、重心、垂心)共線，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半；二是借形解題，在草稿紙上作出草圖，利用圖形的特征，可快速找到思維的突破口．

考向5 以“高斯函數(shù)”為背景的數(shù)列問題

【典例5】(2022·福州市高三期末質(zhì)檢)函數(shù)y=[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg99]=1．已知數(shù)列{an}滿足a3=3，且an=n(an+1-an)，若bn=[lgan]，則數(shù)列{bn}的前2 022項和為．

當(dāng)1≤n≤9時，0≤lgan<1時，bn=[lgan]=0；當(dāng)10≤n≤99時，1≤lgan<2時，bn=1；

當(dāng)100≤n≤999時，2≤lgan<3時，bn=2；當(dāng)1 000≤n≤2 022時，3≤lgan<4時，bn=3；

所以數(shù)列{bn}的前2 022項和T2022=[lga1]+[lga2]+…+[lga2022]=90×1+900×2+1 023×3=4 959．

【策略點津】本題是以“取整函數(shù)(也叫高斯函數(shù))”為背景創(chuàng)設(shè)的數(shù)列試題，意在考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．體現(xiàn)綜合性與創(chuàng)新性．解題的關(guān)鍵是理解新定義的高斯函數(shù)的意義，通過取特值、列舉等方法去理解新定義的高斯函數(shù)，并能利用累乘法和函數(shù)的單調(diào)性、分組求和法以及分類討論的思想輕松獲得結(jié)果．

考向6 以“托勒密定理”為背景的解三角形問題

【典例6】(2022·廣東省深圳市高三一模)古希臘數(shù)學(xué)家托勒密于公元150年在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知AC，BD為圓的內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對角線，且sin∠ABD:sin∠ADB:sin∠BCD=2∶3∶4，若|AC|2=λ|BC|·|CD|，則實數(shù)λ的最小值為．

【點撥】由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)結(jié)合正弦定理可求出|AD|∶|AB|∶|BD|的比值，再利用托勒密定理，結(jié)合|AC|2=λ|BC|·|CD|，得λ所滿足的不等式，解不等式，得λ的最小值．

【解析】如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，∠BAD+∠BCD=π,sin∠BAD=sin∠BCD，

因為sin∠ABD∶sin∠ADB∶sin∠BCD=2∶3∶4，

所以sin∠ABD∶sin∠ADB∶sin∠BAD=2∶3∶4，

在△BAD中，根據(jù)正弦定理得，

故|AD|∶|AB|∶|BD|=2∶3∶4，

由托勒密定理，得|AC|·|BD|=|AB|·|CD|+|AD|·|BC|，

則4|AC|=3|CD|+2|BC|，

所以16|AC|2=9|CD|2+4|BC|2+12|CD|·|BC|，

故16|AC|2=9|CD|2+4|BC|2+12|CD|·|BC|≥24|CD|·|BC|(當(dāng)且僅當(dāng)|CD|=|BC|時取等號)，

又|AC|2=λ|BC|·|CD|，

所以16λ|BC|·|CD|≥24|CD|·|BC|，

【策略點津】以“托勒密定理”為背景考查正弦定理、基本不等式應(yīng)用問題，考查了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．破解本題的思維瓶頸：一是會用定理，既會利用托勒密定理的圖形語言與符號語言，又會利用正弦定理，把角的問題轉(zhuǎn)化為邊的問題；二是會用基本不等式，即會利用基本不等式求最值，注意“一正二定三相等”在解題中的應(yīng)用．

考向7 以“洛必達法則”為背景的函數(shù)的極限問題

【解析】由洛必達法則，得

【策略點津】以“洛必達法則”為背景求函數(shù)的極限問題，考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．破解此類題的關(guān)鍵是利用洛必達法則，把函數(shù)比值的極限轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的比值的極限，從而將無法直接求解的極限轉(zhuǎn)化為可以求解的極限，注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用．

考向8 以“不動點原理”為背景的函數(shù)問題

【典例8】(2022·吉林省長春市農(nóng)安縣期末)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可以應(yīng)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動點定理的基石．布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L．E．J．Brouwer)，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，如果存在一個點x0，使得f(x0)=x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點函數(shù)”，下列為“不動點函數(shù)”的是( )

A．f(x)=sinx+x

B．f(x)=x2-x-3

【點撥】根據(jù)“不動點函數(shù)”的定義，將判斷是否為“不動點函數(shù)”問題轉(zhuǎn)化為判斷方程f(x)=x是否有解問題．

【解析】對于選項A,令sinx+x=x，得sinx=0，解得x=kπ,k∈Z，故f(x)=sinx+x是“不動點函數(shù)”；

對于選項B,令x2-x-3=x，解得x=3或x=-1，所以f(x)=x2-x-3是“不動點函數(shù)”；

【策略點津】以“不動點原理”為背景的函數(shù)題，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．破解此類判斷“不動點函數(shù)”問題的突破口是細(xì)審題，讀懂新定義的“不動點函數(shù)”的含義，函數(shù)f(x)的“不動點”實質(zhì)就是方程f(x)=x是否有解問題，也可以理解為函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x是否存在交點．若方程f(x)=x有解，則說明f(x)為“不動點函數(shù)”，否則，說明f(x)不為“不動點函數(shù)”．

考向9 以“特征函數(shù)”為背景的函數(shù)問題

【典例9】(2022·江西省期末調(diào)研)若定義在R上的函數(shù)f(x)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0對任意的實數(shù)x都成立，則稱f(x)是一個“λ～特征函數(shù)”．下列結(jié)論正確的是( )

A．f(x)=0是常數(shù)函數(shù)中唯一的“λ～特征函數(shù)”

B．f(x)=2x+1不是“λ～特征函數(shù)”

D．f(x)=ex是一個“λ～特征函數(shù)”

【解析】對于選項A，設(shè)f(x)=c是一個“λ～特征函數(shù)”，則(1+λ)c=0，當(dāng)λ=-1時，c∈R，因此f(x)=0不是常數(shù)函數(shù)中唯一的“λ～特征函數(shù)”，故A不正確；

對于選項D，若f(x)=ex是一個“λ～特征函數(shù)”，則ex+λ+λex=0對任意實數(shù)x恒成立，即eλ+λ=0，令f(x)=ex,y=-x，如圖，由函數(shù)的圖象可知，兩圖象有一個交點，所以方程eλ+λ=0有解,故D正確,故選BCD．

【策略點津】本題以“特征函數(shù)”為背景考查函數(shù)的基本概念及其應(yīng)用，以及函數(shù)的零點，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．破解此類特征函數(shù)問題的關(guān)鍵：一是讀懂題意，即明晰“λ～特征函數(shù)”的含義；二是會轉(zhuǎn)化，即把是否存在“λ～特征函數(shù)”進行轉(zhuǎn)化，如f(x)=ex是一個“λ～特征函數(shù)”轉(zhuǎn)化為存在常數(shù)λ(λ∈R)使得ex+λ+λex=0對任意實數(shù)x都成立，再轉(zhuǎn)化為eλ+λ=0有解．三是利用定理，利用零點存在性定理，即可順利破解是否存在零點問題．

考向10 以“卡西尼卵形線”為背景的解析幾何問題

【典例10】(2022·江蘇省淮安市期末調(diào)研)為紀(jì)念法國天文學(xué)家喬凡尼·多美尼科·卡西尼，數(shù)學(xué)史上，把平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線(Cassini Oval)．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線C是到兩個定點F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)的距離之積為5的點的軌跡．以下結(jié)論正確有( )

A．C關(guān)于x軸對稱

B．C與y軸的交點為(0,±3)

D．C上存在點P，使得△PF1F2面積為3

【點撥】題眼“曲線C是到兩個定點F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)的距離之積為5”，利用直譯法，即可求曲線C的軌跡方程，用-y代入所求的方程中的y，若C的方程不變，則說明曲線E關(guān)于x軸對稱，即可判斷選項A的正確性；令曲線C的方程中的x=0，求其縱坐標(biāo)，即可判斷選項B的正確性；利用基本不等式可判斷選項C的正確性；利用任意三角形面積公式，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)，可得△PF1F2面積的最大值，從而可判斷選項D正確性．

令x=0，則4+y2=5，解得y=±1 ，C與y軸的交點為(0,±1)，B錯誤；

【策略點津】本題是以“卡西尼卵形線”為背景創(chuàng)設(shè)的曲線的方程、曲線的對稱性、最值與存在性問題，意在考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．破題關(guān)鍵：一是會求曲線的軌跡方程，熟悉求曲線的軌跡方程的五種方法，如本題，用到了直譯法；二是能從“數(shù)”的角度進行判斷，即利用方程的特征，判斷曲線的對稱性；三是會利用基本不等式，求線段長的和的最值；四是利用三角形的面積公式求出三角形的面積，并會利用三角函數(shù)的有界性，求最值問題．