基于深度學習的微專題復習教學探析
——以“解析幾何中探究型存在性問題微專題”為例

廣東 潘敬貞 陳煥濤

學業(yè)質(zhì)量水平標準和高中數(shù)學核心素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》的兩大亮點，貫穿高中數(shù)學教學的始終.隨著“三新”(新課標、新教材、新高考)的全面實施，高三數(shù)學復習教學也面臨新的挑戰(zhàn)，如何在高三階段以知識為載體，培育學生的數(shù)學“四基”與“四能”，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，最終讓學生在高中數(shù)學終極評價(高考)中獲得理想的成績，是每一位高三數(shù)學一線教師面臨的實際問題.

高一、高二新授課的教學通常是在學生不知曉學習內(nèi)容的情況下進行的，而高三數(shù)學復習則是在學生已經(jīng)學習過相關內(nèi)容，但相隔時間較長，遺忘較多的狀態(tài)下進行的，而且其教學目標更是直接指向高中階段的終極評價即高考.高三數(shù)學復習分為三個輪次，一輪復習重基礎、講知識、建體系，二輪復習的關鍵在于知識點的深入、重難點的突破、思想方法的交融升華，三輪復習則側(cè)重查漏補缺，重難點強化.微專題因微而“?！?，因微而“精”，因微而“深”，因此微專題具有實效性、針對性、靈活性、細致性、深刻性等特點，在三個輪次的復習中起到重要作用.在學生學習困難處設置微專題、在思維痛點處設置微專題、在核心內(nèi)容與高頻考點處設置微專題能有效引領學生進行深度學習.

解析幾何是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，是高中數(shù)學教學的重點與難點，也是考查推理論證能力和運算求解能力的絕佳素材，同時也是培育數(shù)學運算核心素養(yǎng)的沃土.解析幾何中探究型存在性問題具有較強的開放性、探索性和綜合性，解析幾何中探究型存在性問題對培育學生的創(chuàng)新意識、應用意識，培育學生的理性精神，發(fā)展核心素養(yǎng)具有重要意義.該類問題的求解重點考查運用代數(shù)方法研究幾何問題，主要涉及平面幾何的性質(zhì)、直線方程、韋達定理、點到直線的距離公式、分類討論等解析幾何的核心內(nèi)容，在此過程中推理論證能力尤為關鍵.近年來，解析幾何中有關面積問題(三角形和四邊形的面積)一直是高考命題的熱點，常以壓軸題的形式出現(xiàn).

本文首先以學生熟悉的三角形面積問題和兩條直線垂直問題為素材，考慮運算量不要太大，因此以一條直線與拋物線相交問題為背景，編制一個基本問題的問題(問題1)，目的是調(diào)動全體學生積極動手求解并參與課堂，同時使學生初步認識探究型存在性問題及其一般求解思路.在問題1的基礎上，以直線與橢圓相交為背景，結(jié)合平面解析幾何常見的直線斜率問題、角的問題、平面向量數(shù)量積問題、距離問題、弦長問題等設置變式(變式1-5)，目的是讓學生在不同的幾何元素下，合理地轉(zhuǎn)化以及將其代數(shù)化，最后解決問題，從而進一步提升學生的數(shù)學“四基”與“四能”，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).為了進一步擴大問題的開放性與綜合性，全面提升學生的數(shù)學能力，因此引入?yún)?shù)，設置“是否存在這樣的常數(shù)”(問題2)，探究曲線的存在性，設置“是否存在這樣的曲線”(問題3及變式6、7)，這兩類問題都具有較高的開放性和較強的綜合性，對培育學生的理性思維和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)具有重要意義.

1.是否存在這樣的點

點是構成幾何圖形的重要元素，因此以“點”為切入點，以存在性探究型設問，受到眾多命題專家的青睞，主要考查用代數(shù)方法解決解析幾何中的直線斜率、兩條直線所成角、距離、平面向量的數(shù)量積等問題，問題1及變式1-5主要圍繞“是否存在這樣的點”進行分析求解.

問題1．已知直線l:2x-3y+4=0與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點.

(1)能否在x軸上找到點P，使得△PAB的面積為4？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

(2)能否在x軸上找到點P，使得∠APB=90°？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

設計意圖：首先選一個難度較低、計算量不大，但又要涵蓋解析幾何的基本知識、基本方法，能夠起到承上啟下作用的問題作為本文的切入點.眾所周知，直線與拋物線的位置關系問題，相對于直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關系問題計算量要少很多，因此問題1以一條直線與拋物線相交問題為背景，圍繞本節(jié)課的主題(探究型存在性問題)設置問題.第(1)問結(jié)合大家熟悉的三角形問題設問；第(2)問以90°為背景元素設置問題，學生可以從直線斜率角度思考，也可以借助平面向量工具進行解題，為解決問題提供多種思路.第(1)問的結(jié)論存在，而第(2)問的結(jié)論不存在，讓學生從正反兩方面認識探究型存在性問題的“探索性”與“開放性”，初步體會該類問題的求解思路，厘清解答步驟.

【解析】(1)假設存在．

把直線2x-3y+4=0代入拋物線y2=4x消x并整理得y2-6y+8=0，

設A(x1,y1),B(x2,y2)，P(a,0)，

則y1+y2=6，y1y2=8，

點P(a,0)到直線l的距離

所以|a+2|=4，解得a=2或a=-6，

因此，所有滿足條件的P的坐標為(-6,0)和(2,0).

評注：第(1)問的求解，首先假設存在，進而設點P的坐標，再利用點到直線的距離公式求三角形的高，利用弦長公式求三角形的底，然后根據(jù)三角形面積公式列方程，若方程有解，則將方程的根解出來即可.問題較為基礎，難度較低，大多數(shù)學生都能快速完成求解.

(2)思路一(向量法)：假設存在．

設A(x1,y1),B(x2,y2)，P(a,0)，

若存在點P，使得∠APB=90°，

所以(x1-a)·(x2-a)+y1y2=0，

又由(1)得y1+y2=6，y1y2=8，

所以得a2-5a+12=0，此方程無解，故不存在這樣的點P．

思路二(直線斜率法)：

假設存在點P(a,0)，使得∠APB=90°，

則直線PA⊥PB．

若直線PA,PB的斜率存在，設A(x1,y1),B(x2,y2)，

所以(x1-a)·(x2-a)+y1y2=0，

下同思路一，直線PA或PB的斜率不存在，顯然不成立，故不存在這樣的點.

評注：在第(1)問的基礎上，以“90°”為元素設置問題，該題的求解，首先要合理將角代數(shù)化，可采用平面向量工具，也可以用直線斜率進行轉(zhuǎn)化，最后根據(jù)題意所列的方程無解，因而得出假設不成立的結(jié)論.

1.1 直線的斜率問題

(1)求橢圓C的方程；

(2)在x軸上是否存在一點T，使得直線TM與TN的斜率之積為定值？若存在，請求出所有滿足條件的點T的坐標；若不存在，請說明理由.

設計意圖：有了問題1的求解經(jīng)驗，問題1的第(2)題的思路二也用到了直線斜率法.同時為了進一步深入研究“探究型存在性問題”，提升學生的運算求解能力，因此變式1以直線與橢圓相交為背景，結(jié)合直線斜率法，設置探究型存在性問題.變式1的求解思路與問題1基本一致，但運算量增加了不少，筆者認為此處增加運算量是有必要的，為后續(xù)的深度學習奠定了基礎，同時引導學生反設直線方程可以有效減少運算量，優(yōu)化解題過程，提高解題效率，積累解題經(jīng)驗.

(2)因為直線l過點F2(1,0)且不與x軸重合，

所以設l的方程為x=my+1，

消去x并整理得(3m2+4)y2+6my-9=0，

Δ=36m2+36(3m2+4)>0，

設M(x1,y1)，N(x2,y2)，

因此，所有滿足條件的T的坐標為(-2,0)和(2,0).

評注：本題以直線與橢圓為背景，相對問題1，運算量大大增加，反設直線方程可以有效減少運算量.該題求解的關鍵是用坐標表示直線斜率并化簡求值，本題的求解對培育學生的運算求解能力，提升推理論證能力有著重要意義.

1.2 角的問題

“角”是平面幾何的基本元素，用代數(shù)方法解決幾何問題是解析幾何的核心，用坐標表示“角”的問題是將“角”的問題代數(shù)化的有效途徑，因此保留直線與橢圓相交的背景，將“角”相等問題轉(zhuǎn)化為直線斜率和為零得到變式2，變式將平面解析幾何的基本概念和基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直線的斜率問題，從而順利將問題代數(shù)化.讓學生進一步體驗用代數(shù)方法解決幾何問題(解析幾何的本質(zhì))，同時進一步提升學生分析與解決問題的能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力等.

(1)求橢圓G的方程；

(2)過點M(0,1)斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓G于A，B兩點，在y軸上是否存在點N使得∠ANM=∠BNM(點N與點M不重合)，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

(2)設直線l:y=kx+1(k≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2),N(0,y0),

消去y并整理得(4k2+3)x2+8kx-8=0，

Δ=64k2+32(4k2+3)>0，

因為∠ANM=∠BNM,所以kAN+kBN=0,

即2kx1x2+(1-y0)(x1+x2)=0，

得y0=3，即存在定點N(0,3)．

評注：變式2以“角”為元素，問題求解的關鍵也是將“角”的問題代數(shù)化，進而聯(lián)立直線與曲線方程，通過一系列的運算推理，最終將問題解決.

1.3 向量的數(shù)量積問題

平面向量是處理平面解析幾何問題的有利工具，也是溝通幾何與代數(shù)的重要橋梁，以平面向量的數(shù)量積設問是解析幾何中常見的問題.因此保留直線與橢圓相交的背景，結(jié)合平面向量的數(shù)量積設置探究型存在性問題得到變式3.

(1)求橢圓C的方程；

消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0，

1.4 距離問題

學生經(jīng)歷了問題1與變式1-3的分析與求解，積累了處理解析幾何的一般方法，掌握了解析幾何中“探究型存在性問題”的一般策略，此時給出一道高考真題(2020年新高考山東卷)，讓學生感受高考真題，確定努力方向.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．

評注：第(2)問透過條件AM⊥AN可知△MAN為橢圓的內(nèi)接直角三角形，也可以理解為點A(2，1)在以MN為直徑的圓上，試題中的基本元素動中有靜，要求證|DQ|為定值，則必須化動為靜，可見試題的難度較大.但是如果在平時的學習過程中善于觀察，敢于探究，積累學習活動經(jīng)驗，對該題的解答是不存在問題的.該題的解答可以設動直線MN的方程為x=my+n,也可以設動直線MN的方程為y=kx+m，但是后者需要對斜率是否存在分類討論.解決該題的關鍵是要能夠找出動直線MN所過的定點坐標，然后再根據(jù)直角三角形的基本性質(zhì)得出答案.

1.5 弦長問題

變式5．已知圓O:x2+y2=64,圓C與圓O相交,圓心為C(9,0),且圓C上的點與圓O上的點之間的最大距離為21.

(1) 求圓C的標準方程；

(2) 在x軸上是否存在定點P,使得過點P的動直線l被圓O與圓C截得的弦長d1,d2的比值總等于同一常數(shù)λ?若存在,求點P的坐標及λ的值,若不存在,說明理由.

【解析】(1) (x-9)2+y2=16(過程略)．

(2) 假設存在符合題意的定點P(x0,0),

當直線l的斜率存在時,

設直線l的方程為y=k(x-x0),即kx-y-kx0=0,

兩邊平方得,

整理得,

由于對任意實數(shù)k,上式均成立,故有

故存在定點P(6,0)或P(18,0),使得d1,d2的比值總等于同一常數(shù)λ=2．

評注：尋找點的坐標已經(jīng)具有較高的開放性，同時還要求兩條弦長的比值，因此本題的開放性更大，問題的求解需要具備較高的定力，需要探索問題的勇氣和較高的理性思維.無論問題有多開放，用代數(shù)表示兩條弦長的長度才是關鍵，在此過程中結(jié)合圓的性質(zhì).本題將本節(jié)課推向高潮.

2.是否存在這樣的常數(shù)

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)是否存在實數(shù)t，使得|AF1|+|BF1|=t|AF1||BF1|恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

因為|AF1|+|BF1|=t|AF1||BF1|，

綜上，存在實數(shù)t=2，使得|AF1|+|BF1|=t|AF1||BF1|恒成立.

評注：問題2切換問題情境，引入?yún)?shù)，設置“是否存在這樣的常數(shù)”的問題，問題不僅有很高的開放性，還具有較強的靈活性，問題2的求解首先需要將問題轉(zhuǎn)化，分類討論，然后聯(lián)立直線與曲線方程，進而進行一系列的運算推理，最后將問題解決.

3.是否存在這樣的曲線

問題3及變式6與變式7都是以“是否存在這樣的曲線”設置問題，問題具有高度的開放性、探索性和綜合性，運算量并沒有增加，但思維能力的要求大大提高，這幾道試題對培育學生的數(shù)學靈魂——數(shù)學思維能力有積極意義.

(1)求C1,C2的方程；

(2)①略；②設直線MA的斜率為k1，

評注：由于本題中已知直線l經(jīng)過定點(坐標原點)，因此降低了難度，此時只需直線l的方程并根據(jù)題意列方程，求交點坐標，最后化簡求出直線l的斜率k的值即可得出“存在這樣的直線”的結(jié)論.

3.1 是否存在這樣的圓

(1)求橢圓E的方程；

(2)當直線l斜率不存在時，設直線l的方程為x=n，

當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

Δ=16(4k2-m2+1)>0，

所以5m2-4k2-4=0， 5d2(1+k2)-4k2-4=0，恒成立，即(5d2-4)(k2+1)=0恒成立 ，

評注：本題主要考查圓的方程，由于圓心為坐標原點，因此要求圓的方程只需求圓的半徑，根據(jù)題意列關于半徑的方程，若方程有解則圓存在，若無解則圓不存在.該題主要考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查推理論證能力、運算求解能力，求解時注意對直線的斜率分存在和不存在兩種情況的討論.

3.2 是否存在這樣的拋物線

變式7：已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，P(2，0)為定點，若動圓M過點P，且圓心M在拋物線C上運動.點A,B是圓M與y軸的兩交點，試推斷：是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？若存在，求出這個定值；若不存在，說明理由.

【解析】設圓心M(a,b)(a≥0)，點A(0,y1),B(0,y2).

因為圓M過點P(2,0)，可設圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=(a-2)2+b2,

令x=0，得y2-2by+4a-4=0，所以y1+y2=2b,y1y2=4a-4,

設拋物線方程為y2=mx(m≠0)，因為圓心M在拋物線C上，則b2=ma,

故存在一條拋物線y2=4x，使|AB|為定值4.

評注：本題涉及的問題較多，既有拋物線的存在性問題，又有線段的定值問題，具有較高的抽象性和綜合性,問題的求解對學生的思維能力、分析和解決問題的能力要求比較高.本題的求解過程并不復雜，解答長度也不長，但很多學生找不到解決問題的切入口.解決本題首先根據(jù)題意設圓的方程和拋物線方程，再結(jié)合圓的性質(zhì)和拋物線定義列相關方程，最后通過解方程解決問題.