上海市高考中的絕對值問題

華東師范大學第二附屬中學(201203) 戴中元

上海高考中有許多有趣的絕對值問題,如2020 年的壓軸題,它們和函數(shù)、數(shù)列的單調(diào)性密切相關(guān). 解決絕對值問題最基本的方法是根據(jù)絕對值內(nèi)函數(shù)的零點來進行分情況討論,但有時也可以先將絕對值符號打開,然后填上正負號來處理. 本文就以筆者在2020 年命制的兩道上海市浦東新區(qū)高考模擬題為例,來分析解決這類絕對值問題的思路和方法,并將這種方法用于解答向量中的絕對值問題.

解法2 利用絕對值不等式,由作差法可知f(a,b,c,d)-f(a,c,b,d) =|a-b| +|c-d|-|a-c|-|b-d|, 由a ＞b ＞c或a ＜b ＜c, 知|a-b|-|a-c| =-|b-c|, 故|c-d|-|b-d|≤|b-c|,所以f(a,b,c,d)-f(a,c,b,d)≤0,即f(a,b,c,d)≤f(a,c,b,d). 并且當b ＞c時,d≥b可以取等號,當c ＞b時,若d≤b可以取等號,所以等號可以取到.

(3)分析: 若求波動強度的最小值,設其中最大項為ai,最小項為aj,不妨設i ＜j,則

f(a1,a2,··· ,an)

=|a1-a2|+|a2-a3|+···+|an-1-an|

≥|ai-ai+1|+|ai+1-ai+2|+···+|aj-1-aj|

≥|(ai-ai+1)+(ai+1-ai+2)+···+(aj-1-aj)|

=|ai-aj|=ai-aj,

由不等式取等條件可知當數(shù)列{an}從小到大或從大到小排列時波動強度最小,此時的波動強度為最大值減去最小值.

如果要求波動強度的最大值,根據(jù)(2)的結(jié)論可知若有相鄰三項成單調(diào)數(shù)列,那么可以調(diào)整其中兩項的順序(可以從左向右調(diào)整,也可以從右向左調(diào)整),此時波動強度不會減小, 最終可以調(diào)整為任意相鄰三項都不是單調(diào)數(shù)列的情況,要求波動強度的最大值只需考慮這樣的數(shù)列. 例如1,3,4,2可以調(diào)整為1,4,3,2,再調(diào)整為1,4,2,3,如圖1.

圖1

圖2

分析 因為內(nèi)積的結(jié)果是實數(shù), 所以式子|a·e| +2|b·e| + 3|c·e| 中的“||”符號是絕對值, 所以可以將|a·e| + 2|b·e| + 3|c·e| 的絕對值符號去掉, 添上±, 變?yōu)椤繿·e±2b·e±3c·e,原式的取值便是這8 種情況中的1種,要求±a·e±2b·e±3c·e=(±a±2b±3c)·e的最大值,也就是要求|±a±2b±3c|的最大值,而|a+2b-3c|=|-a-2b+3c|,所以8 種情況本質(zhì)上只有4 種,所以只需求出|±a±2b+3c|的最大值.