一道伊朗競(jìng)賽題的背景、證明、變式與拓展探究

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 廣州大學(xué)計(jì)算科技研究院(510006)廣州市第二中學(xué)(510530) 程漢波

深圳中學(xué)(518000) 朱華偉

1. 背景與證明

此題最初由寧波大學(xué)陳計(jì)教授提出并刊登在《Crux Mathematicorum》雜志1994 年第108 頁(yè)上作為數(shù)學(xué)問題1940,波蘭解題高手Marcin E.Kuczma(Erdos 獎(jiǎng)獲得者)曾在該刊1995 年第107 頁(yè)發(fā)表一個(gè)“簡(jiǎn)單”的證法,但隨后便發(fā)現(xiàn)存在問題并致歉. 之后香港Kee-Wai Lan 在第206-207 頁(yè)發(fā)表了一個(gè)較長(zhǎng)證明,其中動(dòng)用了導(dǎo)數(shù),雜志編輯還特別提到希望看到該問題簡(jiǎn)潔的證法,然而四、五年內(nèi)并未收到令大家都滿意的證法. 因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)甚至包括現(xiàn)在,很多不等式愛好者都追求簡(jiǎn)潔漂亮的證法(不用微積分、不用復(fù)雜展開計(jì)算、不要難以理解、不要太長(zhǎng)過程等).

伊朗人還是不滿足當(dāng)前復(fù)雜的證法,特別期待簡(jiǎn)潔的證法,于是把該題作為1996 年數(shù)學(xué)奧林匹克試題,試圖借此引起不等式高手們的關(guān)注以尋求簡(jiǎn)單證法,可是二十余年過去了,結(jié)果卻不盡人意,有不等式愛好者收集整理了21 種不同的證明方法(見文“伊朗96 不等式的21 種證明”),而每種證法均沒有擺脫復(fù)雜且技巧性較強(qiáng)的代數(shù)變形,與問題的簡(jiǎn)潔形成了鮮明的對(duì)比.

陳計(jì)教授曾利用Schur 不等式和Muirhead 不等式給出過如下大約只有一行的證明方法,但其高超的技巧性與缺乏配湊緣由的神秘,似乎并不能令大家滿意.

2. 變式

3. 拓展