巧用“四同法”與單位圓分析波形圖像與振動圖像

四川 尹愛國

機(jī)械振動與機(jī)械波相關(guān)知識都涉及描述質(zhì)點振動的方向。通過兩種圖像的共同性找到相互關(guān)聯(lián)的信息，巧妙地應(yīng)用“四同法”與單位圓確定質(zhì)點的位置和相位，用“相鄰法”“同側(cè)法”判斷質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向，就能準(zhǔn)確而快速地分析機(jī)械振動與機(jī)械波的相關(guān)問題。

機(jī)械振動在介質(zhì)中傳播，形成了機(jī)械波。機(jī)械波的頻率等于其波源振動的頻率，將質(zhì)點的振動與波的傳播緊密聯(lián)系，往往會衍生出復(fù)雜多變的問題。

機(jī)械振動的圖像描述某個質(zhì)點在一段時間內(nèi)的位移變化，不能表示機(jī)械波的傳播距離。機(jī)械波的圖像表示某一時刻機(jī)械波上各質(zhì)點的位移。兩個圖像都涉及質(zhì)點的位移與時刻，兩者如何關(guān)聯(lián)呢？我們可以用“四同法”進(jìn)行關(guān)聯(lián)，即同一時刻、同一位置、同一質(zhì)點、同一運動。

“同一時刻”指波形圖像和振動圖像的相同時刻；“同一位置”指特定質(zhì)點在波形圖像和振動圖像的位移相同；“同一質(zhì)點”指波形圖像和振動圖像研究的對象相同；“同一運動”指同一質(zhì)點在波形圖像和振動圖像中的振動方向相同。

為了更好地理解和應(yīng)用“四同法”，需要熟悉機(jī)械波的傳播與機(jī)械振動的相關(guān)知識。先回顧一下振動圖像和波形圖像如何表示質(zhì)點振動或波的傳播方向。

一、“相鄰法”與“同側(cè)法”

振動圖像中質(zhì)點振動方向的判斷可用“相鄰法”：某質(zhì)點振動方向從當(dāng)前時刻位置指向相鄰下一時刻的位置，如圖1中的A點和B點，tA時刻質(zhì)點在yA位置，相鄰的tB時刻質(zhì)點在yB位置，該點振動方向就是由yA指向yB的方向，即該質(zhì)點tA時刻時沿y軸正方向振動。

圖1

通過波形圖像判斷機(jī)械波的傳播方向和質(zhì)點的振動方向可用“同側(cè)法”：在研究的某一點上畫兩個箭頭，這兩個箭頭的箭尾在同一點，兩個箭頭在波形曲線的同一側(cè)，使與x軸平行的箭頭指向波的傳播方向，則與y軸平行的箭頭表示質(zhì)點的振動方向。如圖2所示，在C、D兩點上分別畫出箭頭，b、c兩個箭頭與x軸平行指向波的傳播方向，a、d兩個箭頭與y軸平行，表示質(zhì)點的振動方向，C點的a、b兩個箭頭在波形曲線的同側(cè)，D點的c、d兩個箭頭在波形曲線的同側(cè)。

D

圖2

二、“四同法”的具體分析

如圖3所示，圖像甲是一簡諧橫波在t=0.6 s時刻的波形圖像，圖像乙是該波上某質(zhì)點的振動圖像。“同一時刻”是指t=0.6 s時刻；“同一位置”是指該時刻質(zhì)點在兩圖像之中都應(yīng)處在平衡位置；“同一質(zhì)點”，題干設(shè)置了不確定的多解性，可以是平衡位置的所有質(zhì)點，即5 m、10 m等處的質(zhì)點；“同一運動”是指這些質(zhì)點都沿y軸負(fù)方向振動。

甲

甲

通常情況下，往往需要將機(jī)械振動與機(jī)械波結(jié)合在一起進(jìn)行分析，具體應(yīng)用情境如下。

三、由波形圖像畫出振動圖像

從波形圖像可以找到某個質(zhì)點的振動方向及具體位置，由此可畫出該質(zhì)點的振動圖像，確定周期與時間的關(guān)系。

【例1】(多選)手持較長軟繩端點O以周期T在豎直方向做簡諧運動，帶動繩上的其他質(zhì)點振動形成簡諧波沿繩水平方向傳播，如圖5所示。繩上有另一質(zhì)點P，且O、P的平衡位置間距為L，t=0時，O點位于最高點，P點的位移恰好為零，速度方向豎直向上，下列判斷正確的是

圖5

( )

A.該簡諧波是橫波

B.該簡諧波的最大波長為3L

B

【思路】本題已知兩點的特征位置及距離、振動方向，分析波長需要畫出波形圖像；分析指定時刻的振動物理量，需要畫出振動圖像及單位圓確定質(zhì)點的具體位置及振動情況。

圖6

甲

【答案】AC

C

A

四、由振動圖像畫出波形圖像

由振動圖像可以找到指定時刻、指定位置、相應(yīng)質(zhì)點的運動方向，畫出與題設(shè)對應(yīng)特征的波形圖像，確定空間與波長的關(guān)系。

【例2】一個機(jī)械波的波源以坐標(biāo)原點O為中心位置在y軸上做簡諧運動，其振動圖像如圖8所示，振動在介質(zhì)中產(chǎn)生的簡諧橫波沿x軸負(fù)方向傳播，波速為5 m/s，波源振動0.6 s后立即停止運動，再經(jīng)過0.4 s后的波形圖像為

圖8

( )

【思路】已知波源的振動圖像、波速和時間，分析波形圖像。先計算傳播距離，再根據(jù)波的傳播方向及質(zhì)點的振動方向畫出特征位置，進(jìn)一步畫出實際的波形圖像。

圖9

機(jī)械波在介質(zhì)中傳播的時間為t=0.6 s+0.4 s=1 s，傳播距離x=vt=5 m，波沿x軸負(fù)方向傳播，波形最前端由x=0 m傳播到x=-5米的位置，正確答案為A。

【答案】A

五、根據(jù)文字畫出振動圖像與波形圖像

由文字信息畫出滿足題設(shè)特定條件的振動圖像和波形圖像，分析時間與周期、空間與波長的關(guān)系。

【例3】平衡位置位于原點O的波源發(fā)出的簡諧橫波在均勻介質(zhì)中沿水平x軸傳播，P、Q為x軸上的兩個點(均位于x軸正方向)，P與O的距離為22 cm，此距離介于二倍波長與三倍波長之間。已知波源自t=0時由平衡位置開始向下振動，周期T=4 s。當(dāng)波傳到P點時，波源恰好處于波峰位置；此后再經(jīng)過21 s，平衡位置在Q處的質(zhì)點第一次處于波峰位置。求P、Q間的距離。

【思路】本題沒有圖像且文字較長，需要認(rèn)真閱讀抓住要點，根據(jù)空間關(guān)系及指定點的特征，畫出波形圖像確定波長，結(jié)合已知求出波速；指定點出現(xiàn)指定波形所需的時間，等于波傳播到指定點的時間，加上指定點振動的時間，根據(jù)速度和時間就可以求出距離；通過振動圖像分析Q點的運動有助于求出波形由P傳到Q的時間。

圖11

六、根據(jù)已知信息分析已知振動圖像和波形圖像以外的圖像

根據(jù)機(jī)械振動與機(jī)械波的相關(guān)規(guī)律分析指定質(zhì)點以外的其他質(zhì)點，或者指定時刻以外的其他時刻的相關(guān)振動圖像與波形圖像。

【例4】(多選)一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，t時刻波形圖像如圖12實線所示，此時波剛好傳到P點，t+6 s時刻的波形圖像如圖12中虛線所示，a、b、c、P、Q點是介質(zhì)中的質(zhì)點，則下列說法正確的是

圖12

( )

A.這列波的波速一定是5 m/s

C.質(zhì)點c在這段時間內(nèi)通過的路程可能為80 cm

D.若周期T=8 s，則在t+8 s時刻，質(zhì)點Q的勢能最大

【思路】本題已知兩個不同時刻的波形圖像，實線中的P點剛起振，虛線中的Q點已經(jīng)振動，但是否為起振題目未說明，這里設(shè)置了一個陷阱。首先由波形圖像讀出波長，再通過兩時刻的空間關(guān)系找到時間關(guān)系，繼而進(jìn)一步找到周期的表達(dá)式，有了波長和周期可分析波速；a在不同時刻的位置可由振動圖像和單位圓進(jìn)行判斷和計算；c點傳到Q點的運動參數(shù)可以由振動圖像分析得出。

甲

圖14

【答案】BD

綜上可以看出，機(jī)械振動和機(jī)械波涉及的知識面廣、信息容量大。波形圖像和振動圖像從不同的方面對質(zhì)點的運動信息做了描述。要快速準(zhǔn)確分析質(zhì)點的運動及波的傳播，一定要與時間、空間圖像緊密結(jié)合。分析空間與波長的關(guān)系，一定要畫波形圖像；分析質(zhì)點所在位置的位移、速度、加速度、動能、勢能要結(jié)合振動圖像、單位圓圖像、振動方程、波的方程；時間與空間的聯(lián)系，振動一個周期時，機(jī)械波在介質(zhì)中傳播的距離是一個波長；空間某個點一定時間內(nèi)的運動情況往往要分析由波源傳遞到該點的時間和該點振動的時間。

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