霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束設(shè)計及微粒操縱（特邀）

李新忠，朱劉昊，樊海豪，魏文軍，馬鑫，秦雪云，胡華杰，臺玉萍

（河南科技大學(xué)物理工程學(xué)院，河南洛陽 471023）

0 引言

霍曼轉(zhuǎn)移是1925 年德國工程師WALTER Hohmann 博士推導(dǎo)出在兩條傾角相同、高度相異的圓形軌道間轉(zhuǎn)移衛(wèi)星的最小能量方法［1］，在航天領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛［2-3］。但其實微觀世界中也存在有軌道運動，且微觀運動是否可以適用霍曼轉(zhuǎn)移尚未經(jīng)過探索。光鑷作為一種無接觸、無傷害的微操縱工具已經(jīng)廣泛應(yīng)用于微操縱領(lǐng)域，在細胞生物學(xué)［4-9］、材料組裝［10］、光物質(zhì)相互作用物理和化學(xué)［11-12］等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。

1992 年ALLEN L 發(fā)現(xiàn)了軌道角動量［13］，這就直接賦予了光鑷一個橫向的扳手力。這個扳手力的來源就是光子繞著光軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的軌道角動量。在對軌道角動量的研究中已經(jīng)產(chǎn)生了許多應(yīng)用，如2004 年KOSTA Ladavac 就提出使用光渦旋陣列組裝和驅(qū)動光機械泵［14］，2012 年WU Tao 提出光子驅(qū)動的微電機可以誘導(dǎo)神經(jīng)纖維生長［15］，2015 年YAN Zijie 利用光鑷的相位梯度制備銀納米粒子的材料組裝［16］，2020 年，RODRIGO J A 通過定制光學(xué)推進力用于控制共振金納米粒子和相關(guān)的熱對流流體的傳輸［17］，之后2021 年他又提出使用全光控制金屬納米粒子，并可以自由的定制三維軌跡［18］。但不論光的結(jié)構(gòu)被如何改變，由于軌道角動量的性質(zhì)，其結(jié)構(gòu)光束在具體的應(yīng)用中都會使粒子始終沿著一個既定的軌道進行運動。而粒子的實時變軌運動則沒有被考慮。因此目前亟需一種與以往的單一軌道角動量相比具有更加豐富的模式可以同時存在多種不同軌道角動量并實時調(diào)控粒子運動軌道的光束。

為了打破這一現(xiàn)狀，本文通過研究霍曼轉(zhuǎn)移的原理，并通過結(jié)合光束塑形技術(shù)、坐標變換技術(shù)、傅里葉相移定理將其融合到結(jié)構(gòu)光場中，提出了一種霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束。該光束具有非常豐富的調(diào)控方式，并且其相位梯度分布可以使粒子從停泊軌道轉(zhuǎn)移至同步軌道。之后通過調(diào)整參數(shù)成功生成了復(fù)雜霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束，可使粒子進行多次變軌運動。最后搭建了實驗光路并使用聚苯乙烯進行了光鑷實驗，實驗結(jié)果與理論相符，證明了其可行性。該研究成功的將霍曼轉(zhuǎn)移應(yīng)用至微操縱領(lǐng)域，對光鑷的發(fā)展具有重要意義。

1 霍曼轉(zhuǎn)移軌道及其結(jié)構(gòu)光產(chǎn)生原理及調(diào)控

1.1 霍曼轉(zhuǎn)移軌道及其結(jié)構(gòu)光產(chǎn)生

要想在光場中生成對應(yīng)于霍曼轉(zhuǎn)移軌道原理的結(jié)構(gòu)光束，首先需要剖析霍曼轉(zhuǎn)移軌道的原理。如圖1（a）所示，霍曼轉(zhuǎn)移軌道由三個子軌道組成，分別是黃色的停泊軌道Q1，綠色的轉(zhuǎn)移軌道Q2，藍色的同步軌道Q3，其中停泊軌道Q1 和同步軌道Q3 為圓形軌道，轉(zhuǎn)移軌道Q2 為橢圓形軌道，且r1，r3分別是軌道Q1和軌道Q3 的半徑，r2是軌道Q2 的半長軸。它們之間的關(guān)系滿足r3=nr1，r2=（r3+r1）/2，其中n為該停泊軌道和同步軌道的比值，圖1（a）中n=3。圖中Q1 和Q3 都是圓形，光強相同，而Q2 是一個橢圓，光強相對較弱。這是由于在對圓形變成橢圓的過程中結(jié)合了坐標拉伸技術(shù)，所以Q2 的光強相比于Q1 和Q3 較弱。需要注意的是，停泊軌道Q1 和同步軌道Q3 的圓心是重合的，但轉(zhuǎn)移軌道Q2 的圓心與他們二者并不重合，兩個圓心之間的間距為r1。并且，轉(zhuǎn)移軌道Q2 的橢圓率e是一個自由參數(shù)，可以根據(jù)實際需要進行調(diào)整，比如當(dāng)需要繞過特定的障礙物時。

圖1 霍曼轉(zhuǎn)移軌道Fig.1 Hohmann transfer orbit

若要在光場中相應(yīng)的實現(xiàn)以上功能，需要使用光束塑形技術(shù)。但目前存在的大多結(jié)構(gòu)光塑形技術(shù)非常依賴于參數(shù)方程［19-20］，只能產(chǎn)生已經(jīng)明確具有參數(shù)方程的形狀。但霍曼轉(zhuǎn)移軌道并不存在相應(yīng)的參數(shù)方程，因此無法直接實現(xiàn)。因此在普通的光束塑形基礎(chǔ)上需要結(jié)合其他技術(shù)得到可以實現(xiàn)霍曼轉(zhuǎn)移軌道的結(jié)構(gòu)光束。

首先簡單介紹一下本文中所使用到的塑形技術(shù)［21］，該光束的表達式為

式中，（ξ，η）是傅里葉變換后的坐標系，Hi（x，y）是計算全息圖的透過率函數(shù)，可以表示為

式中，|c'2（t）|=［x'0（t）2+y'0（t）2］1/2，t∈［0，Ti］，x0（t）和y0（t）是曲線的參數(shù)方程，決定著曲線的形狀，φi（x，y，t）是相位項，具體可以表示為

σ是一個用來控制沿著曲線相位梯度也即拓撲荷值的自由參數(shù)。ω0是光束的束腰寬度。為了得到霍曼轉(zhuǎn)移軌道，首先需要單獨的生成三個軌道。由于停泊軌道Q1 和同步軌道Q3 是圓心重合，半徑不同的兩個圓，因此它們參數(shù)方程分別為

若此時Ti=2π，則可以組成兩個空心圓環(huán)。但在霍曼轉(zhuǎn)移軌道中所需要的是兩個半圓環(huán)。因此此處需要使Ti=π，將式（4）代入式（2）即可得到生成停泊軌道Q1 和同步軌道Q3 所需要的全息圖透過率函數(shù)H1（x，y）和H3（x，y），之后再帶入式（1）即可得到該光束的復(fù)振幅E1（ξ，η），E3（ξ，η）。不同的是，轉(zhuǎn)移軌道Q2是一個橢圓軌道，而且圓心與停泊軌道和同步軌道并不重合，因此這里需要使用坐標變換技術(shù)和傅里葉相移定理［22-23］，所以其參數(shù)方程可以使用圓形的參數(shù)方程，即x2=r2cost，y2=r2sint，之后在帶入式（2）的過程中，對其坐標系進行拉伸處理，其坐標系變?yōu)閤0=x，y0=αy，其中α為拉伸系數(shù)，它與離心率e之間的關(guān)系為e=sqrt（1-α2），之后得到其全息圖透過率函數(shù)H2（x0，y0）。最后再代入式（1）對其進行相移處理，并得到其光束的表達式為

式中，ξ0=ξ-u，η0=η-v，u，v是偏移量。此時偏移量等于r1，之后將三者相加即可得到霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的計算全息圖透過率函數(shù)Htotal（x，y）和Etotal（ξ，η）。至此已經(jīng)完成了對霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的理論描述，之后選用r1=0.3 mm，拓撲荷值分別為m1=20，m2=20，m3=40 對光束進行模擬產(chǎn)生。其光強Itotal=|Etotal（ξ，η）|2如圖1（b）所示，其相位如圖1（c）所示，從圖1 中可以明顯的觀察到光束分為Q1、Q2、Q3 三個軌道，其相位梯度沿著軌道均勻分布。

1.2 霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的調(diào)控

依據(jù)霍曼轉(zhuǎn)移軌道建立的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束，通過適當(dāng)?shù)恼{(diào)控，可以令其具有比霍曼轉(zhuǎn)移軌道更加豐富的性質(zhì)，首先由于霍曼轉(zhuǎn)移軌道中三個子軌道的大小是互相聯(lián)系的，如圖2（a）所示，圖中停泊軌道Q1與同步軌道Q3 的比值n=3 時，意味著不論停泊軌道大小如何，在粒子經(jīng)過轉(zhuǎn)移軌道后，會被轉(zhuǎn)移到一個三倍于停泊軌道半徑的同步軌道上。因此整個系統(tǒng)通過改變停泊軌道Q1 的半徑就可以改變整個系統(tǒng)的大小，圖2（a）為半徑改變之后的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的光強分布。同時，如圖2（b）為相對應(yīng)于圖2（a）霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的相位分布，由于依托于塑形技術(shù)所得到的光束具有“完美性”，因此可以限定其半徑不隨拓撲荷值改變。這樣在操縱粒子時就可以自由的控制粒子運動的速度，從而應(yīng)對不同情景下的應(yīng)用需求。

圖2 不同半徑停泊軌道Fig.2 Parking orbit with different radius

更進一步地，通過繼續(xù)附加額外的轉(zhuǎn)移軌道以達到多次變軌的需求。接下來將對復(fù)雜霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束進行模擬生成及性質(zhì)研究。為了更方便的觀察效果，其參數(shù)設(shè)置為：停泊軌道半徑r1=0.1 mm，m1=2，n=2，若設(shè)j=1，2，3，…為軌道后續(xù)依次排序的編號。則其后續(xù)所有軌道的半徑需符合r2=1.5r1，r3=2r1，r4=1.5r3，r5=2r3，r6=1.5r5，r7=2r5，r8=1.5r7，r9=2r7，…，以達到變軌的目的，拓撲荷值設(shè)定服從mj=（rj/r1）m1以達到相位分布均勻的目的。以此方式生成的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束計算全息圖透過率函數(shù)和光束表達式可以表示為

最終得到的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的光強如圖3（a）所示，每當(dāng)增加一次轉(zhuǎn)移軌道，上一次的同步軌道便會成為第二次的停泊軌道。以此類推即可得到復(fù)雜的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束。同時相位圖如圖3（b）所示，可以明顯的觀察到，相位呈現(xiàn)均勻分布，這樣在微粒操縱時可以給予粒子均勻的相位梯度力。

圖3 不同軌道數(shù)量Fig.3 Different number of orbits

2 微粒操縱實驗驗證

2.1 實驗裝置及微粒介紹

在模擬生成相應(yīng)的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束之后，需要對其在實驗中生成并進行微粒操縱的驗證。首先搭建一個實驗光路，本文使用的光路圖如圖4 所示，其中激光器（532 nm，0～5 W 可調(diào)）輸出的光經(jīng)過透鏡L1 和透鏡L2 所組成的擴束系統(tǒng)進行擴束并調(diào)整為平行光，之后經(jīng)由偏振片P1 轉(zhuǎn)換為線偏振光輸入到空間光調(diào)制器（SLM，HOLOEYE PLUTO-VIS-016，像素尺寸為8 μm×8 μm）上，之后經(jīng)過透鏡L3 和透鏡L4 組成4F 濾波系統(tǒng)進行濾波得到SLM 衍射出來的+1 級衍射光。+1 級衍射光最后經(jīng)由透鏡L5 耦合進入顯微物鏡MO1（100×，oil，NA=1.2）中，被顯微物鏡聚焦至樣品室的粒子上。照明光路中的LED 光（波長620±20 nm）經(jīng)由顯微物鏡MO2（40×，NA=0.4）聚焦至樣品室進行照明，之后照明光經(jīng)過二向色鏡（反綠光透紅光）輸入到CCD（BasleracA1600-60gc 型彩色相機，分辨率為1 600 pixel×1 200 pixel，像素尺寸為4.5 μm×4.5 μm）上被計算機記錄下來。同時偏振片P2 可以用來去除二向色鏡反射不完全的綠光。本次實驗中所使用的粒子為3 μm 的聚苯乙烯粒子，溶劑為蒸餾水。圖4（b）為本次實驗中輸入到SLM 的掩模板，其表達式為T=exp｛i［angle（Etotal（ξ，η）+2πx/d］｝，其中angle（）為相位函數(shù)，d為閃耀光柵的周期。圖4（c）為本次實驗中的光束，可以看到其光強分布與模擬結(jié)果基本相同。

圖4 實驗裝置及掩模板和實驗光強圖Fig.4 Experimental setup，phase mask and experimental intensity

2.2 實驗結(jié)果與討論

為了證明霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束的優(yōu)越性，設(shè)計兩個實驗進行驗證。第一個實驗使用如圖4（c）中的光束照射粒子，使粒子從停泊軌道轉(zhuǎn)移到同步軌道。由于實驗中的光束經(jīng)過一系列反射，會導(dǎo)致反向，因此，實驗中所使用的光束參數(shù)為r1=0.3 mm，n=3，m1=-40，m2=-40，m3=-60。最終的實驗結(jié)果如圖5 所示，可以看到粒子沿著既定的軌道，從小的圓軌道成功轉(zhuǎn)移至目標大圓軌道。該實驗驗證了上文的理論預(yù)測，實現(xiàn)了變軌運動。

圖5 霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束微粒操縱實驗結(jié)果圖Fig.5 Experimental results of Hohmann transfer structure beam particle manipulation

第二個實驗使用動態(tài)切換SLM 上掩模板的方式，由于SLM 可以實時切換掩模板，因此先分別生成三個完整軌道的掩模板，即Ti全部等于2π。之后使粒子分別在停泊軌道旋轉(zhuǎn)一周半之后，選擇合適時機切換轉(zhuǎn)移軌道掩模板，再旋轉(zhuǎn)一周半之后，轉(zhuǎn)移至同步軌道并在同步軌道旋轉(zhuǎn)一周。以此來證明在微觀世界使粒子在運動中切換軌道的可能性。最終的實驗結(jié)果圖6。從圖中可以清楚的看到，粒子從較小的黃色軌道，之后變軌至綠色橢圓軌道，最后變軌至更大藍色的同步軌道上。值得注意的是，三條軌道周長不相等，并且每條軌道攜帶的拓撲荷不相等，相位梯度不相同。并且，在軌道變換時激光器的能量是保持不變的，因此軌道上的光子分布也變得更加稀疏，最終導(dǎo)致粒子在三條軌道上的運動速度不同。如果需要，可以通過改變光束參數(shù)和調(diào)整激光器能量來得到穩(wěn)定的勻速運動。

圖6 SLM 動態(tài)變化掩模板使粒子變換軌道Fig.6 Particle change the orbit via SLM dynamically changes the phase mask

3 結(jié)論

結(jié)合光束塑形、坐標變換、傅里葉相移技術(shù)成功的將霍曼轉(zhuǎn)移應(yīng)用至結(jié)構(gòu)光中，提出了一種模式豐富可調(diào)的霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)構(gòu)光束。該光束的大小，相位梯度分布均可任意調(diào)制，并且理論上允許粒子從停泊軌道轉(zhuǎn)移至同步軌道。最后在實驗中對其進行了驗證?？深A(yù)見地，該光束可以通過改變拓撲荷值的正負，來反轉(zhuǎn)停泊軌道和同步軌道，或者通過分別調(diào)整各個軌道的拓撲荷值來控制粒子在各個軌道之間運動的速度，或者通過整體旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)光束來控制粒子轉(zhuǎn)移的方式。該研究充分證明了霍曼轉(zhuǎn)移在微觀世界中的可行性，在光學(xué)微操作領(lǐng)域具有重大意義。