美國數(shù)學(xué)月刊第12154 號問題的加強(qiáng)與反向不等式

福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 楊標(biāo)桂 （郵編：350117）

關(guān)鍵字 幾何不等式；美國數(shù)學(xué)月刊；旁切圓半徑

1 問題的提出

Martin Lukarevski[1]在《美國數(shù)學(xué)月刊》的2020年第1 期提出了如下問題:

定理1(12154號問題)設(shè)ra、rb、rc、R、r分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對的旁切圓半徑,外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑,則有

其中∑ 表示循環(huán)和.

本文給出不等式①的加強(qiáng)及反向不等式:

定理2設(shè)ra、rb、rc、R、r分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對的旁切圓半徑,外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑,則有

2 幾個引理

為了證明定理2,我們給出一些關(guān)于三角形的各種半徑和半周長的恒等式與不等式:

引理1設(shè)ra、rb、rc、R、r、s分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對的旁切圓半徑,外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑與半周長,則有

其中∏f(a,b,c)表示循環(huán)積.

證明③～⑥是熟知的結(jié)論.令∑ra=ra+rb+rc=4R+r=X,于是

引理2設(shè)ra、rb、rc、R、r、s分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對的旁切圓半徑,外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑與半周長,則有

證明令∑ra=ra+rb+rc=4R+r=X,由引理的③～⑦，可得

因此,引理2 得證.

下面在給出一個關(guān)于三角形的半周長的雙向不等式:

引理3設(shè)R、r、s分別是△ABC的外接圓半徑,內(nèi)切圓半徑與半周長,則有

⑨的右邊不等式就是著名的Kooi 不等式.

3 定理的證明

定理2 的證明由恒等式⑧和不等式⑨,有

最后一個不等號利用了Euler 不等式.

最后一個不等號利用了Euler 不等式,因此定理2 獲證.

類似地,還可以得到一個簡單的不等式: