非線性表面波的二階微擾解及特性分析*

曾勝洋 賈璐 張書增? 李雄兵 王猛

1)(中南大學交通運輸工程學院,長沙 410075)

2)(清華大學航天航空學院,應用力學教育部重點實驗室,北京 100084)

3)(清華大學,柔性電子技術研究中心,北京 100084)

為解決非線性聲表面波的求解難題,本文從二階非線性各向同性介質的超彈性本構方程出發(fā),采用位移勢函數(shù)法,建立二維表面波的非線性勢函數(shù)控制方程;通過微擾法推導非線性表面波的準線性解和絕對非線性系數(shù),討論表面波二次諧波解的主要組成部分;并建立模擬非線性表面波傳播的有限元模型,位移幅值的仿真結果與理論符合良好,驗證了本文非線性表面波理論的準確性.根據(jù)微擾解的數(shù)值結果,探討了非線性表面波的傳播以及非線性系數(shù)的特性,結果表明: 表面波二次諧波由累積項及非累積項組成,前者與表面波縱波分量自相互作用相關,但當初始條件和傳播距離相同時,該部分諧波幅值比純縱波的二次諧波幅值大;此外,縱波和表面波的非線性系數(shù)存在正比關系,該比例關系由材料的二階彈性系數(shù)確定.本文探究的非線性表面波的傳播特性及其絕對非線性系數(shù)的定義表達式,對指導非線性表面波的實際應用具有一定意義.

1 引言

近年來,非線性超聲理論和技術得到了廣泛的研究,并在工業(yè)無損檢測領域開展了相關應用[1].材料的非線性系數(shù)對高階彈性常數(shù)變化和聲-微結構作用十分敏感,因此通過測量非線性超聲的高次諧波,可有效檢測和評價疲勞損傷、熱損傷、粘接分層和微裂紋等缺陷信息[2,3].當前非線性超聲檢測主要采用縱波[4]、表面波[5]、蘭姆波[6]以及導波[7]等波形,其中非線性表面波具有傳播距離遠、能量集中和單邊測量的特性,更適用于實際檢測應用,因此相關理論和實驗研究備受關注.

在非線性表面波的應用方面,國內外學者開展了一系列工作.例如,通過非線性表面波檢測玻璃的表面刮擦損傷,體現(xiàn)了其快速評價表面損傷的潛力[8];相關實驗表明非線性表面波系數(shù)與鈦合金的塑性形變程度呈正相關[9];此外,利用空耦探頭測量混凝土中的非線性表面波,可有效區(qū)分因堿硅反應導致的不同程度的損傷[10].然而,當前非線性表面波的實驗研究普遍測量損傷試塊的相對非線性系數(shù),并需要相同實驗條件下的初始試樣測量結果作基準,通過觀測該系數(shù)的變化做出相對性評價[11].相關研究表明,通過測量材料的絕對非線性系數(shù),不僅可以對材料彈性常數(shù)等特性進行評價,還能夠對材料的損傷狀態(tài)等進行定量或定性分析[3].因此利用絕對表面波非線性系數(shù)進行材料特性或損傷評價具有更大的優(yōu)勢,而研究非線性表面波的相關理論并提出對應測量方法是保證其應用的基礎.

縱波非線性特性已得到深入的研究和廣泛認知[12,13],但非線性表面波非線性的研究仍存在不同的認識,受當前相關理論差異的影響,難以實現(xiàn)表面波絕對非線性系數(shù)的計算和進一步的實驗測量.針對非線性聲波問題主要有兩類研究方法,一是數(shù)值法,以有限差分法或有限元法為代表[14],目前多用于復雜結構的聲信號模擬與定性分析[15];另一類是解析法,通?？梢越o出理想問題的準確解或近似解.前者先將聲波方程離散化,輸入相關材料參數(shù),再求解出瞬態(tài)聲場;雖可獲得特定復雜問題的數(shù)值解,但難以建立各物理參數(shù)之間的具體聯(lián)系,即探究相關問題的物理本質.相比之下,求非線性表面波問題的解析解,對于非線性表面波特性、計算乃至測量表面波絕對非線性系數(shù)具有更重要的意義.

針對利用解析法進行非線性表面波求解的難題,有學者通過能流密度[16]等方法進行推導,但重點研究的是表面波的諧波產生和波形演化等特性,研究中包含了多組表面波非線性系數(shù),且并未給出具體的檢測方法.Herrmann等[17]基于聲表面波的縱波分量推導出表面波非線性系數(shù),并給出該系數(shù)的測量表達式,在工程實踐中得到一定應用.但Masurkar和Tse[18]指出僅利用表面波縱波分量推導并不能得到真實的非線性系數(shù),他們認為橫波分量對表面波非線性存在貢獻且不容忽視,并提出一種基于測量諧波幅值的表面波非線性系數(shù),然而該方法與數(shù)值法類似,無法解釋諧波隨距離增加的累積效應,且不能描述表面波的諧波傳播特性.

針對當前研究中的不足,本文在準線性理論成立條件下開展非線性表面波傳播特性研究,并解決表面波非線性系數(shù)定義等問題.為了能夠應用解析法對非線性表面波方程進行求解,引入位移勢函數(shù)描述非線性表面波的波動控制方程,結合表面波的邊界條件和微擾法求得表面波基波和二次諧波解,進而研究表面波非線性系數(shù)的定義和測量表達式.為驗證理論求解的正確性,引入有限元模型仿真對非線性表面波的傳播進行模擬.通過數(shù)值計算分析表面波、縱波二次諧波的傳播特性并探究幾種非線性系數(shù)的聯(lián)系,為后續(xù)非線性表面波技術的發(fā)展和應用提供理論依據(jù).

2 理論

2.1 二階非線性表面波傳播的控制方程

本文主要研究在半無限大、各向同性的固體表面?zhèn)鞑サ淖畹湫偷穆暠砻娌?即瑞利波.如圖1 的笛卡爾坐標系所示,非線性表面波沿x1方向傳播,并在x3方向迅速衰減,忽略聲波傳播時衍射的影響,即各物理量不隨坐標x2變化.當該表面波傳播時滿足平面應變條件,質點的運動方程表示如下:

圖1 表面波傳播坐標系Fig.1.The coordinate for the propagation of the surface wave.

式中Pij,j表示?Pij/?xj,ui,tt表示?2ui/?t2(該 簡寫標記方式將貫穿本文);Pij為第一類皮奧拉-基爾霍夫應力(Piola-Kirchhoff stress,PK 應力),ui為xi方向的位移,t為時間,ρ0為材料密度;式中i,j滿足愛因斯坦求和約定.針對常見金屬材料的超彈性本構特性,采用Landau和Liftshitz[19]提出的應變能表達式來描述:

式中W是彈性體每單位質量比應變能;λ和μ是材料的拉梅常數(shù);A,B和C是材料的三階彈性常數(shù);e是格林應變張量.方程(1)中的PK 應力與應變能之間的關系為

式中F是變形梯度,Fijδij+ui,j.將方程(2)和方程(3)代入到方程(1),僅考慮到二階非線性項,可得非線性表面波質點位移的運動方程:

式中α=1,β=3 或α=3,β=1.方程(4)等號右側表示為非線性項,其中包含A,B和C的項體現(xiàn)了材料本構的非線性;包含λ和μ的項體現(xiàn)了應力應變關系的幾何非線性.當此項為0 時,方程(4)表示為線性表面波的質點位移運動方程.表面波在自由邊界傳播時,即在x30 處,其應力滿足:

式中P13和P33是應力分量,二者均包括線性項和非線性項,在方程中分別用上標L和NL 表示,具體表達式為

方程(4)—方程(10)構成了二維非線性表面波質點運動位移場問題的控制方程.

2.2 微擾法求解

引入位移勢函數(shù)和微擾法推導非線性表面波位移場的準線性解,即二次諧波幅值遠小于基波幅值,且諧波幅值處于累積范圍中.引入縱波勢φ和橫波勢?,他與位移有如下關系:

根據(jù)二階微擾近似法,將方程的解表示為線性解和二階非線性解部分,即??(1)+?(2),φφ(1)+φ(2),且?(2)??(1),φ(2)?φ(1),結合方程(4)—方程(11),可將描述質點位移的運動方程表示為

方程在x30 滿足的邊界條件為

同理,將方程(11)代入方程(8)和方程(10)可得應力分量非線性項的具體表達式:

方程(12)、方程(13)和方程(16)描述了線性表面波的位移運動方程和邊界條件問題,方程的解析解在相關文獻[20]中描述如下:

二次勢函數(shù)諧波分量是基波解的修正,即方程(14)、方程(15)和方程(17)的解.求解之前,首先需獲得僅含勢函數(shù)φ(2)和?(2)的解耦方程,可將線性表面波解方程(22)代入方程(14)和方程(15),接著方程(14)對x1求導,方程(15)對x3求導,二者相加得到方程(25);方程(14)對x3求導,方程(15)對x1求導,二者相減得到方程(26):

其中R1-R4表示如下:

其中,κcl/ct為縱橫波聲速比,βl-3-(2A+6B+2C)/(λ+2μ)為縱波非線性系數(shù),βt-(λ+2μ+A/2+B)/μ為橫波非線性系數(shù)[21].方程(25)和方程(26)為非齊次偏微分方程,可使用疊加原理[22]得到特解如下:

至此,方程(22)、方程(31)和方程(32)組成了非線性表面波傳播的準線性解,可見僅縱波位移勢φ(1)自諧振產生的二次分量(即平方項)具有累積效果,這一結論與非線性表面波超聲中可檢測的二次諧波來自于縱波分量的自相互作用[23]的認知相符合.

需要注意到前面求解線性問題時曾利用線性邊界條件方程(16)確定表面波聲速;而表面波在各向同性材料是非頻散波[16],且微擾法暗含瑞利波波速不變的假設,故不再對非線性邊界條件方程(17)進行研究.

2.3 基于微擾解的表面波非線性系數(shù)

忽略方程(4)含下標β的項并令α1 即可得到一維非線性縱波的質點位移運動方程如下:

因此,縱波非線性系數(shù)測量表達式為

通過對比縱波非線性系數(shù)的定義式及測量表達式,開展對表面波非線性系數(shù)的研究.在非線性表面波實驗中,測量信號一般是x30 表面的面外位移分量.結合方程(18)、方程(19)和方程(22)—(27),位移u3可采用縱波勢函數(shù)幅值Aφ表示:

式中,右邊第一部分A1代表基波,第二部分A2代表累積效應的二次諧波,第三部分代表無累積效應的二次諧波.其中Dconst表示如下:

在實際應用中,換能器的接收信號中二次諧波相對較弱,且二次以上的高次諧波更難獲得,所以求得的攝動解仍具有參考意義.此外,需要說明的是,本文僅考慮在一定的傳播距離內進行測量,即可檢測隨距離增加具有累積效應的二次諧波成分.因此可以參考方程(35)給出非線性表面波的測量表達式:

結合方程(27)、方程(36)和方程(38),可以得到非線性表面波實驗中測量的非線性系數(shù)(定義式)為

實際上,消去表達式中的波數(shù)kr,以及η和ξ中包含的角頻率ω和密度ρ0,可以看到方程(39)與縱波非線性系數(shù)βl相似,僅由材料的二、三階彈性常數(shù)確定.

3 仿真分析

本節(jié)基于COMSOL MultiphysicsR有限元軟件驗證第2 節(jié)中得到的非線性表面波解析解,主要應用該軟件中“Murnaghan material”材料模型探究材料非線性與聲學非線性問題.該模型需要指定材料二、三階彈性常數(shù)數(shù)值以確定材料應力應變關系,與前述理論推導得到非線性表面波僅由材料的二、三階彈性常數(shù)確定的結論相符,且已有研究證實了利用該軟件驗證非線性超聲理論問題的可行性[24].

3.1 表面波有限元模型

忽略表面波傳播過程中的衰減和衍射影響,即建立非衰減材料中的二維有限元模型,如圖2 所示,選用純鋁作為仿真對象,具體材料參數(shù)如表1 所列.為了增強非線性聲波的仿真效果,提高信噪比,仿真中將材料三階彈性常數(shù)設置為表1 中材料三階彈性常數(shù)的10倍[25](即βl173.699,βr292.197).根據(jù)方程(24)計算得到線性表面波聲速為2892.22 m/s,采用位移幅值為10 nm,頻率為2 MHz 的8 個周期正弦波信號作為點聲源.模型寬度為40 mm,點源設置在左端點10 mm 處,避免將邊界網格奇點作為激發(fā)源,同時降低反向傳播的聲波的干擾,且能保證足夠的正向傳播距離;模型厚度大于表面波傳播距離的2 倍,以消除反射的縱/橫波的影響.求解區(qū)域材料屬性設置為超彈性,采用直接求解器中速度最快的Pardiso 求解器求解.最后,在表面點源后以1 mm 間隔放置探針記錄x3方向位移,采用FFT 算法將記錄的時域位移信號轉換為頻域信號進行分析.

表1 純鋁和三種鋁合金的密度和彈性常數(shù)Table 1.Densities and elastic coefficients of pure aluminum and three aluminum alloys.

圖2 非線性表面波二維有限元模型示意圖Fig.2.Schematic diagram of two-dimensional (2D)finite element model for nonlinear surface wave.

為保證計算精度和可靠性,將近表面黃色區(qū)域(厚度大于4 倍波長)最大網格尺寸dmax設置為最大解析頻率4 MHz 時表面波波長的1/20,即3.615×10—2mm,最小網格尺寸dmin設置為dmax/2,其余區(qū)域劃分為預定義極細自由三角形網格.時間步長 Δt由關聯(lián)最小網格尺寸和時間步長的CFL參數(shù)確定:

CFL 一般取值0.2,則 Δt取值為1.25×10—9s.

3.2 有限元模型檢驗

為了驗證本文激勵信號波形、材料參數(shù)和網格時間步長設置的有效性,開展非線性縱波傳播數(shù)值模擬的預驗證實驗.采用線源和周期性邊界條件,使縱波能以平面波形式傳播.相關傳播模型如圖3 所示,試塊厚度設為1 個縱波波長以節(jié)省計算量.與3.1 節(jié)相比,仿真材料參數(shù)數(shù)值設置不變.時間步長不變,網格參數(shù)按照縱波波長做相應調整,探針布置在試塊中間記錄x1方向位移.

圖3 非線性縱波二維有限元模型示意圖Fig.3.Schematic diagram of 2D finite element model for the nonlinear longitudinal wave.

探針波形信號以及縱波中基波和二次諧波隨傳播距離的變化情況如圖4 所示.基波幅值在傳播過程保持不變,擬合幅值是10 nm,與所模擬縱波為平面波的設置相符;二次諧波幅值隨距離線性增加,需要說明的是,非0 截距來自數(shù)值離散誤差.

圖4 縱波仿真結果圖 (a)傳播距離15 mm 處探針的信號圖;(b)基波和二次諧波幅值隨距離變化圖,藍色點是仿真結果,黃色實線是線性擬合結果Fig.4.Simulation results for the nonlinear longitudinal wave: (a)Typical signal at 15 mm propagation distance;(b)plots of fundamental wave and second harmonic amplitude versus propagation distance,where blue points denote the simulation results,and the yellow solid line denotes the fitting line.

根據(jù)方程(34),二次波幅值-傳播距離的斜率理論系數(shù)應為利用仿真結果擬合值以及βl和kl的理論值可反算出基波幅值,再將其與仿真基波擬合幅值進行對比驗證.預測基波幅值為9.98 nm,而仿真結果為10 nm.縱波超聲非線性具有較為成熟的理論,仿真結果與理論一致,由此驗證了該仿真模型在非線性超聲波傳播特性模擬中的有效性.

3.3 非線性表面波仿真

本小節(jié)對非線性表面波進行仿真研究.仿真中得到的非線性表面波的典型波形信號,以及不同位置處基波和二次波面外分量幅值隨傳播距離的變化如圖5 所示,二次波幅值隨傳播距離增加近似線性增長.

圖5 表面波仿真結果 (a)傳播距離15 mm 處探針的信號圖;(b)基波和二次諧波幅值隨距離變化圖,藍色點是仿真結果,黃色實線是擬合結果Fig.5.Simulation results for the nonlinear surface wave: (a)Typical signal at 15 mm propagation distance;(b)plots of fundamental wave and second harmonic amplitude versus propagation distance,where blue points denote the simulation results,and the yellow solid line denotes the fitting line.

首先,根據(jù)方程(41)表示的波形重疊法確定不同距離點信號的傳播時間,計算得到非線性表面波聲速[29]:

其中,f1和f2是距離為d的兩個時域信號序列.計算得到非線性聲表面波速度為2892 m/s,驗證了2.2 節(jié)關于表面波傳播聲速不變的假設.同時,通過聲速可以確定圖5(a)所示波包為表面波.假設波包中的二次諧波僅源于縱波分量的純縱波非線性特性,根據(jù)3.2 節(jié)該條件下計算所得的二次諧波-距離斜率理論系數(shù)為0.121,與圖5(b)所示有明顯差異,表明該二次諧波應來自非線性表面波傳播特性,且該過程與純縱波非線性效應區(qū)別較大.最后,根據(jù)方程(38)和方程(39),二次波幅值-傳播距離斜率理論系數(shù)為據(jù)此反算出基波幅值為1.452 nm,與基波擬合幅值相比符合良好.綜上所述,有限元仿真結果驗證了本文提出的非線性表面波理論的準確性.

4 非線性表面波特性的數(shù)值計算與分析

4.1 諧波幅值的數(shù)值結果

首先利用微擾解的數(shù)值結果分析非線性表面波諧波傳播特性,并與非線性縱波諧波對比.根據(jù)方程(36)和方程(34),采用表1 中純鋁的材料參數(shù),分別計算不同初始條件和傳播距離的表面波面外分量,以及同等條件下縱波傳播時二次諧波幅值,結果如表2 所列.

表2 初始條件和傳播距離對面外分量和縱波二次諧波幅值的影響Table 2.The effects of initial conditions and propagation distance on the amplitudes of out-of-plane component and the second harmonic longitudinal wave.

由表2 可知,累積二次表面波幅值A2和縱波二次幅值均隨基波幅值、頻率或傳播距離的變化呈正相關,具有相同的傳播特性.然而,在相同條件下,由于表面波波數(shù)較大,A2幅值會比高一個數(shù)量級;在實際中,低衰減和能量集中等特性將使二次表面波可測量性更強.因此,非線性表面波技術相比縱波具有更高的信噪比.非積累二次諧波幅值幅值比A2小兩個數(shù)量級,且可能包含邊界耦合非線性[30]和微擾法誤差,因此實際測量中可以忽略.

4.2 非線性系數(shù)的數(shù)值結果

本小節(jié)將根據(jù)表1 中的材料參數(shù),計算縱波和表面波非線性系數(shù)數(shù)值結果并進行對比分析.在此之前,首先列出當前學界應用較多的幾種表面波非線性系數(shù)定義,并納入比較范圍.Herrmann等[17]基于非線性表面波縱波分量的近似推導得出:

結合方程(38),其定義的表面波非線性系數(shù)可表示為

Shull等[31]基于Zabolotskaya[16]的理論體系,以質點速度諧波幅值vn(n1,2,···)作為研究變量,參考流體情況,定義表面波非線性系數(shù)β11為

參數(shù)S11和ζ的詳細表達式見文獻[31],vn和有如下關系[16]:

Masurkar和Tse[18]對二階非線性應力應變關系做進一步近似,提出一種基于諧波實際測量幅值的歸一化非線性系數(shù)δR.該系數(shù)實際是將信號按基波幅值歸一化,表示如下:

式中F(kr,η,ξ)是特征函數(shù),具體表達式見文獻[18].

將表1 中4 種金屬的材料參數(shù)代入方程(39)、方程(43)、方程(46)和方程(47)中計算上述相關的非線性系數(shù),結果如表3 所列.

表3 表1 中4 種材料的非線性系數(shù)Table 3.Nonlinear parameters of four materials listed in Table 1.

由表3 可知,βr數(shù)值比βl大,而的數(shù)值最小.這是由于推導過程主要是基于的質點速度慢變幅值,且其推導中存在近似,不適用于實際測量對象是面外位移分量的情況.δR和βr數(shù)值相近,但對比方程(47)和方程(39),不考慮衰減和衍射效應時,δR值會隨初始條件和傳播距離的變化而變化;反之,當衰減或衍射影響成為主導因素時,其數(shù)值可能會出現(xiàn)單個或多個局部峰值,該現(xiàn)象還有待深入理論研究.此外,由方程(39)可知,表面波非線性系數(shù)與縱波非線性系數(shù)存在確定數(shù)值關系,與材料的二階彈性常數(shù)相關,隨材料變化而改變.綜上,結果表明,非線性表面波傳播特性與縱波相似,但在初始條件相同時表面波諧波幅值比縱波諧波幅值高,因此在實際測量中信噪比更高.

5 總結

本文首先采用微擾法研究了準線性條件下材料中的非線性表面波傳播特性,引入勢函數(shù)描述非線性表面波的波動控制方程,推導了基波和二次諧波解,并得到了表面波非線性系數(shù)定義式.結果顯示,由縱波位移勢自諧振產生的累積項幅值比縱波的二次諧波幅值大,而且具有能量集中、衰減低等特性,使非線性表面波檢測技術在實際應用中比非線性縱波具有更高的信噪比;由橫波分量引起的諧波項幅值沒有累積效應,因此對表面波二次諧波的影響可以忽略.二維表面波有限元模型位移幅值仿真結果與理論值符合良好,證實了本文理論推導過程的有效性以及所得諧波微擾解的準確性.最后,根據(jù)微擾解的數(shù)值結果探究了當前幾種表面波相關的非線性系數(shù)之間的聯(lián)系,對比計算結果可知表面波非線性系數(shù)和縱波非線性系數(shù)存在正比關系,并且該系數(shù)只與材料二次彈性常數(shù)有關.目前僅限于理論推導和數(shù)值模擬分析,后續(xù)將繼續(xù)研究實際測量相對于當前理想情況的修正理論,從而研發(fā)一套可靠的測量設備及方法,實現(xiàn)利用表面波絕對非線性系數(shù)評價材料狀態(tài).