非互易Aubry-André 模型的經(jīng)典電路模擬*

成恩宏 郎利君2)?

1)(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院,廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

2)(華南師范大學(xué)量子物質(zhì)研究院,廣東省核物質(zhì)科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

非厄米的引入擴(kuò)展了傳統(tǒng)厄米量子系統(tǒng)中的概念并誘導(dǎo)出許多新奇的物理現(xiàn)象,比如非厄米系統(tǒng)所獨(dú)有的非厄米趨膚效應(yīng),這使得對非厄米量子模型的模擬成為大家關(guān)注的熱點(diǎn).相比于量子平臺,經(jīng)典系統(tǒng)具有成本低廉、技術(shù)成熟、室溫條件等優(yōu)勢,而其中的經(jīng)典電路系統(tǒng)則更加靈活,原則上可以模擬任意維度、任意格點(diǎn)間躍遷、任意邊界條件下的量子緊束縛模型,已經(jīng)成為模擬量子物態(tài)的有力平臺.本文利用經(jīng)典電路通過SPICE 成功模擬了一個(gè)重要的非厄米量子模型——非互易Aubry-André 模型——的穩(wěn)態(tài)性質(zhì),此模型同時(shí)具有非互易的格點(diǎn)躍遷和準(zhǔn)周期的格點(diǎn)在位勢.以此為例,詳細(xì)介紹了如何建立經(jīng)典電路的拉普拉辛形式與量子緊束縛模型哈密頓矩陣在不同邊界條件下的映射,尤其是如何利用電流型負(fù)阻抗變換器構(gòu)建模型的非互易性.然后,根據(jù)電路的格林函數(shù),通過AC 電流驅(qū)動(dòng)并測量電壓響應(yīng)的方式,用SPICE 模擬了周期邊界條件下的復(fù)能譜和相應(yīng)的能譜纏繞數(shù),以及開邊界條件下的趨膚與局域模式的競爭.其中,為了使電路的響應(yīng)不發(fā)散,本文還解析地給出輔助元件的設(shè)置原則.結(jié)果顯示,SPICE 模擬與理論計(jì)算很好地符合,為進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)提供了詳細(xì)的指導(dǎo).由于本文電路設(shè)計(jì)與測量方案的普適性,原則上可以直接應(yīng)用于其他非厄米量子模型的電路模擬.

1 引言

近些年,非厄米物理[1]引起了物理學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的廣泛關(guān)注,它除了傳統(tǒng)上可以描述經(jīng)典系統(tǒng)中增益損耗帶來的現(xiàn)象,還被用來描述量子開放系統(tǒng)的性質(zhì)[2].不同于封閉系統(tǒng)的厄米哈密頓量,非厄米的引入擴(kuò)展了傳統(tǒng)量子力學(xué)的范式[3],如復(fù)數(shù)能譜、雙正交基等,這誘導(dǎo)出許多新奇現(xiàn)象: 手征-時(shí)間反演對稱性(PT 對稱性)的破缺[4-9]、非厄米簡并點(diǎn)[10,11]、模式轉(zhuǎn)換(mode switching)[12]等.非厄米性同樣擴(kuò)展了大家對拓?fù)鋺B(tài)的理解.一個(gè)典型的反常是,在厄米拓?fù)湎到y(tǒng)中作為基本原則的體-邊對應(yīng)關(guān)系在非厄米系統(tǒng)中不總是適用[13-26],而僅在非厄米系統(tǒng)中存在的非厄米趨膚效應(yīng)[16,23]被認(rèn)為是此原則失效的一個(gè)重要原因.非厄米趨膚效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了對傳統(tǒng)的厄米量子效應(yīng)與其競爭關(guān)系的廣泛研究,如與安德森局域化的競爭[27-33]和與Hubbard相互作用的競爭[34-39]等.

鑒于非厄米物理的重要性,在實(shí)驗(yàn)上模擬非厄米模型及其獨(dú)有的新奇現(xiàn)象就顯得格外重要.相比傳統(tǒng)的量子平臺(如冷原子系統(tǒng)[8,9,40]),經(jīng)典系統(tǒng)對于模擬非厄米模型有著天然的優(yōu)勢,除了成本低廉、技術(shù)成熟等特點(diǎn),它可以非常直接地利用自身的增益和損耗實(shí)現(xiàn)非厄米性,并已成為模擬非厄米系統(tǒng)的有力平臺,如光學(xué)系統(tǒng)[7,41-45]和機(jī)械系統(tǒng)[46,47]等.其中,經(jīng)典電路系統(tǒng)因其不受限的網(wǎng)絡(luò)形式和高度的調(diào)控自由度,原則上可以模擬任意維度、任意格點(diǎn)間躍遷、任意邊界條件下的量子緊束縛模型,成為量子系統(tǒng)模擬的有力競爭者.目前在電路系統(tǒng)下已經(jīng)成功實(shí)現(xiàn)了很多非厄米的量子模型及其現(xiàn)象,如PT 對稱性破缺[48,49]、非互易Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型[50,51]、二維非互易陳絕緣體[52,53]、非互易高維模型[54,55]、非互易狄拉克模型[56]及非厄米異常線[57]等.

對于非厄米趨膚效應(yīng)與準(zhǔn)無序的競爭關(guān)系,文獻(xiàn)[27]提出了非互易(non-reciprocal)Aubry-André(AA)模型:

其中,κe±α描述最近鄰格點(diǎn)間的躍遷強(qiáng)度,如0表示前后兩方向的躍遷強(qiáng)度不相等,即躍遷具有非互易性;vn2λcos(2πβn)表示在位的準(zhǔn)周期/無序勢,λ表示無序強(qiáng)度,β一般取無理數(shù).對于有限尺寸的系統(tǒng),可以取格點(diǎn)數(shù)NFs且βFs-1/Fs以保證準(zhǔn)周期勢的周期與格點(diǎn)的周期在系統(tǒng)尺寸內(nèi)不匹配,其中Fs表示斐波那契數(shù)列的第s個(gè)值.為清楚表示有限尺寸下的邊界條件,在(1)式中特別將首尾之間的躍遷項(xiàng)顯示寫出(第二個(gè)圓括號內(nèi)),并且可以表示在整個(gè)一維環(huán)中間加入磁通Φ后的哈密頓量(取特定規(guī)范后).為方便后面的電路模擬,以格點(diǎn)態(tài){|n〉}為基矢寫出哈密頓量的矩陣形式:

此模型的非厄米拓?fù)湫再|(zhì)以及趨膚效應(yīng)與局域化的競爭關(guān)系,文獻(xiàn)[27]已經(jīng)在理論上詳細(xì)討論,這里簡單回顧下主要結(jié)論: 在周期邊界條件下,準(zhǔn)無序強(qiáng)度較弱(λ＜max{eα,e-α}≡λc)時(shí),系統(tǒng)的本征態(tài)為擴(kuò)展態(tài),其本征能譜在復(fù)平面上為繞原點(diǎn)的圈,表明處于非厄米拓?fù)湎?可由能量纏繞數(shù)ν±1 表征;隨著準(zhǔn)無序強(qiáng)度的增強(qiáng),當(dāng)λ＞λc時(shí),系統(tǒng)的本征態(tài)經(jīng)歷從擴(kuò)展態(tài)到局域態(tài)的轉(zhuǎn)變,與此同時(shí),本征能譜收縮成實(shí)軸上的一條線,表明處于拓?fù)淦接瓜?相應(yīng)的能量纏繞數(shù)ν0 .有趣的是,拓?fù)湎嘧兣c局域相變點(diǎn)完全一致,這是由于局域化改變了系統(tǒng)的本征能譜在復(fù)平面的分布,進(jìn)而影響了能量纏繞數(shù).相應(yīng)地,在開邊界條件下,因?yàn)榫钟虻霓D(zhuǎn)變使系統(tǒng)對邊界不再敏感,系統(tǒng)具有同樣的相變點(diǎn),區(qū)別只是拓?fù)湎鄥^(qū)的本征態(tài)由于趨膚效應(yīng)變?yōu)橼呄蚰骋贿吘?由α的正負(fù)決定哪個(gè)邊緣),且本征能譜變?yōu)閷?shí)數(shù);局域相區(qū)的本征態(tài)兩邊的衰減長度變得不同.

本文的主要目的是通過對非互易AA 量子模型的經(jīng)典電路模擬,詳細(xì)介紹如何用電路的拉普拉辛形式模擬量子緊束縛模型,便于感興趣的讀者利用類似方法模擬其他量子模型,以及為實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)提供詳細(xì)指引.剩下的內(nèi)容安排如下: 第2 節(jié)詳細(xì)介紹如何構(gòu)建經(jīng)典電路的拉普拉辛形式與量子緊束縛模型的映射,第3 節(jié)具體給出實(shí)現(xiàn)不同邊界條件下非互易AA 模型的電路設(shè)計(jì)方案,第4 節(jié)和第5 節(jié)利用SPICE 分別模擬非互易AA 模型在周期邊界條件下的能譜和能量纏繞數(shù)以及在開邊界條件下趨膚與局域模式的競爭,最后一節(jié)進(jìn)行總結(jié).

2 經(jīng)典電路的拉普拉辛形式與緊束縛模型的對應(yīng)

任意經(jīng)典電路組成的網(wǎng)絡(luò)都可以用一個(gè)圖(graph)來表示,其節(jié)點(diǎn)和邊分別對應(yīng)電路的連接點(diǎn)和元件[48,58,59].如由電阻、電感和電容(RLC)等被動(dòng)元件組成的電路,元件各自的物性方程為

這里的V和I分別表示元件兩端的電壓差和通過元件的電流,(R,L,C)分別為元件的電阻、電感和電容.根據(jù)基爾霍夫電流定律,利用以上物性方程,可以得到圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)于時(shí)間t的微分方程:

其中,In(t)和Vn(t)分別代表電路節(jié)點(diǎn)n的外界輸入電流和對地電壓,這里用 (Rnm,Lnm,Cnm)分別表示從節(jié)點(diǎn)n到節(jié)點(diǎn)m(下標(biāo) g 代表接地)的等效電阻、等效電感和等效電容,以便描述更一般的具有非互易特性的元件,通常的被動(dòng)RLC 元件為互易的,即RnmRmn ≡R,LnmLmn ≡L,CnmCmn ≡C.上述方程可以寫成更緊湊的矩陣形式:

其中,I(t)和V(t)分別表示節(jié)點(diǎn)輸入電流和對地電壓的列矢量,(R,L,C)分別為等效電阻、等效電感和等效電容構(gòu)成的系數(shù)矩陣,矩陣元分別為

對于微分方程(5),考慮具有固定頻率ω的AC電流源I(t)及其電壓響應(yīng)V(t),其形式為

將它們代入方程(5),得到不含時(shí)的矩陣方程:

這里定義的J(ω)被稱為電路的拉普拉辛矩陣或基爾霍夫矩陣[48],具有導(dǎo)納的量綱,其矩陣元一般為復(fù)數(shù),并且依賴于驅(qū)動(dòng)頻率ω.如果沒有外界電流輸入,即J(ω)V0,則 detJ(ωc)0 決定了電路的本征頻率譜{ωc}.另外,也可以將(8)式的兩邊求逆,得

其中,G(ω)≡J-1(ω)被稱為電路格林函數(shù),具有阻抗的量綱.

實(shí)際上,對于具有(7)式形式的穩(wěn)態(tài)解,任意電路網(wǎng)絡(luò)都可以表示為拉普拉辛的形式,如包含放大器的主動(dòng)電路[49,50,53]和具有非線性元件的非線性電路[60,61]等.

為了利用經(jīng)典電路系統(tǒng)模擬量子緊束縛模型,可以將電路拉普拉辛矩陣J(ω)直接與緊束縛模型在實(shí)空間的哈密頓量矩陣H相對應(yīng)[59],且拉普拉辛J(ω)的本征方程

可以直接對應(yīng)哈密頓量矩陣的定態(tài)薛定諤方程.這里,jn(ω)為拉普拉辛矩陣的第n個(gè)本征值,構(gòu)成本征導(dǎo)納譜,可以完整模擬H的能譜.特別地,由detJ(ωc)0 可知,本征頻率ωc使至少一個(gè)本征導(dǎo)納為零,即jn(ωc)0 .由于J(ω)一般為非厄米矩陣,即J?(ω)(ω),相應(yīng)的本征矢通常包含本征右矢和本征左矢利用電路的交流分析,可以得到J(ω)的右本征模式從而模擬H的右本征態(tài);左本征態(tài)可以用J?(ω)模擬.通過元件以及驅(qū)動(dòng)頻率的設(shè)計(jì)和調(diào)節(jié),J(ω)具有高度可控性,原則上可以模擬任意維度、任意邊界條件、非線性和非厄米等非常廣泛的量子模型的穩(wěn)態(tài)性質(zhì).

接下來,應(yīng)用以上電路的拉普拉辛形式構(gòu)建J(ω)與非互易AA 模型哈密頓量矩陣H的對應(yīng)關(guān)系,從而對其穩(wěn)態(tài)性質(zhì)進(jìn)行模擬,包括周期邊界條件下的能譜和纏繞數(shù)以及開邊界條件下趨膚和局域模式的競爭.

3 非互易AA 模型的電路拉普拉辛

在交流驅(qū)動(dòng)下,被動(dòng)元件往往呈現(xiàn)出互易性,這是由最基本的基爾霍夫電流定律決定的,如電容與電感的導(dǎo)納JC(ω)iωC和JL(ω)1/(iωL)均不依賴于正向或反向測量即可表征.而根據(jù)(8)式的描述,要實(shí)現(xiàn)拉普拉辛矩陣的非互易性Jmn(ω)(ω),則需要電路中某一元件的導(dǎo)納值依賴于測量的方式,這通常需要引入主動(dòng)元件,如電流型負(fù)阻抗變換器(INIC)[53].如圖1(b)所示的INIC由放大器和若干線性元件構(gòu)成,根據(jù)基爾霍夫電流定律,容易得出兩端的輸入電流分別為

圖1 (a)上圖: 非互易AA 模型的電路模擬示意圖,包含 N 個(gè)有效電壓節(jié)點(diǎn) Vn (n=1,···,N),節(jié)點(diǎn)間元件 C0和I NIC(b) 模擬格點(diǎn)間的耦合,其中 I NIC(b) 用于實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵的非互易耦合,其定義見圖(b);接地元件 (L0,R0,C0,r,n)模擬格點(diǎn)的在位勢;X相關(guān)模塊和開關(guān)控制對不同邊界條件的模擬.下圖: X相關(guān)模塊的定義.(b)I NIC 元件的內(nèi)部電路圖,由理想放大器、阻抗 Z±和目標(biāo)元件 CI (沒有 Xb )構(gòu)成,可以實(shí)現(xiàn) Vl,r 兩端不同方向的導(dǎo)納不同;I NICb 僅需將INIC 中的目標(biāo)元件 CI 再并聯(lián)一個(gè) Xb 即可.(c)負(fù)阻抗模塊[49],左右圖分別實(shí)現(xiàn)對地單端口和自由兩端口間的等效負(fù)阻抗 -Z,其中理想放大器上的標(biāo)記表示輸出電壓與輸入電壓的關(guān)系.各元件的具體功能描述詳見正文.Fig.1.(a)Upper panel: Sketch of an electrical circuit simulating the nonreciprocal AA model.It includes N voltage nodes Vn (n=1,···,N)with elements C0 and I NIC(b) simulating the intersite couplings,where I NIC(b) defined in panel (b)is the key element to realize the nonrecprocity,and the grounded elements (L0,R0,C0,r,n)simulating the on-site potentials;X modules and the switches control the simulation of boundary conditions.Lower panel: Definitions of X modules.(b)The internal circuit of the INIC,constructed by the ideal operational amplifier (opamp),impedance elements Z±,and the targeted element CI (without Xb),which can realize unequal effective input inductances from the two different ports Vl,r;I NICb is defined by adding an extraXb module in parallel with CI in INIC.(c)Modules of negative impedance[49].The internal circuits of the grounded one-port and the floated two-port negative impedances -Z for the left and right panels,respectively,where the labels of the ideal opamps represent the relation of the output voltage to the input voltages.See relevant texts for the detailed description of each element.

這表明一般情況下INIC 兩端不同方向的導(dǎo)納不相等:

為方便起見,理論上選取INIC 中的阻抗?jié)M足Z+Z-,使得元件兩端流向放大器的電流大小相同方向相反,即IlIr,從而得到兩個(gè)方向符號相反的導(dǎo)納:Jl(ω)-Jr(ω).

另外,這里會(huì)用到具有負(fù)值的元件(如負(fù)電阻等),其兩種實(shí)現(xiàn)形式如圖1(c)所示[49],它們通過放大器分別實(shí)現(xiàn)了對地單端口和自由兩端口的等效負(fù)阻抗(導(dǎo)納).根據(jù)基爾霍夫定律,可得對地單端口電路(圖1(c)左圖)的輸入阻抗為

類似地,自由端口電路(圖1(c)右圖)兩端的輸入阻抗分別為

即,ZjiZij-Z.

利用以上關(guān)鍵元件,在由電感L0和電容C0組成的左手傳輸線離散模型(lumped-element circuit model for a left-handed transmission line)[62]的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了如圖1(a)所示的非互易AA 模型的電路模擬示意圖,由RLC和INIC 等元件組成,包含有N個(gè)有效電壓節(jié)點(diǎn),對應(yīng)模擬模型的N個(gè)格點(diǎn).根據(jù)方程(8),容易寫出此電路的拉普拉辛矩陣:

其中,

電容Cn,I、電感La,b、電阻Ra,b和R0在圖1 中定義,E為單位矩陣;邊界條件由圖1(a)中 X相關(guān)模塊與開關(guān)控制: 當(dāng)兩端的開關(guān)同時(shí)接入端口 o 并且 X相關(guān)模塊(Xa,b和Xl,r)均開路時(shí),系統(tǒng)對應(yīng)于開邊界條件;當(dāng)兩端的開關(guān)同時(shí)接入端口 p 時(shí),下文中將會(huì)看到,通過 X相關(guān)模塊參數(shù)的調(diào)節(jié)可以模擬具有磁通的周期邊界條件.

將此電路的拉普拉辛矩陣(15)與非互易AA模型的哈密頓量矩陣(2)相比較,可以建立除D(正比于單位矩陣E)外兩者間的映射A ?H,并利用對應(yīng)的無量綱化參數(shù)得到如下等式關(guān)系.

對于電路的主體部分(不包含邊界),由

可得

這里將C0作為參考電容.由此可以理解電路主體各元件的作用: (C0,Cr,L0)構(gòu)成緊束縛模型的整體參考勢((15)式中的D部分),C0還承擔(dān)格點(diǎn)間互易耦合的作用,非互易耦合和變化的在位勢由INIC 中的電容CI和接地電容Cn分別實(shí)現(xiàn);隨后可以看到,電阻R0和電容Cr的引入是為了使電路的響應(yīng)不發(fā)散,它們僅使導(dǎo)納譜在復(fù)平面內(nèi)作整體平移.需注意的是,Cn隨著節(jié)點(diǎn)n的變化會(huì)被要求為負(fù)數(shù),等效負(fù)電容可以使用圖1(c)的方案實(shí)現(xiàn).

對于邊界部分,同樣利用對應(yīng)的無量綱化參數(shù)關(guān)系

可得

4 周期邊界條件下能譜和纏繞數(shù)的模擬

眾所周知,即使在周期邊界條件下,無序系統(tǒng)也不再具有平移不變性,因而無法通過將哈密頓量變換到動(dòng)量空間的方法計(jì)算系統(tǒng)的纏繞數(shù),而通常的辦法是在鏈環(huán)中心加入磁通量為Φ的磁場,此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)棣档闹芷诤瘮?shù)(周期為 2π),從而進(jìn)行計(jì)算.對于非厄米系統(tǒng),由于能量一般為復(fù)數(shù),可以定義復(fù)能量在復(fù)平面的纏繞數(shù)來刻畫非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湎郲17,27]:

其中,θ(Φ)是detH(Φ)的幅角.對于非互易AA 模型,由文獻(xiàn)[27]可知,不同的纏繞數(shù)表示不同的拓?fù)湎? 在周期邊界條件下,ν0 表示拓?fù)淦接沟木钟蛳?ν±1 表示兩種拓?fù)浞瞧接沟臄U(kuò)展相.

為了通過電路模擬并測量非互易AA 模型的纏繞數(shù)ν,利用兩者的對應(yīng)關(guān)系可以將定義(21)式中的H用拉普拉辛矩陣(15)中的A/C0替換(這里除以C0是為了保證 ln 等函數(shù)的作用對象是無量綱的,整體的倍數(shù)并不會(huì)影響ν的結(jié)果).因此,只要能從實(shí)驗(yàn)上測量出不同Φ下的A(Φ)矩陣,即可計(jì)算出相應(yīng)的纏繞數(shù).

本文利用電路的格林函數(shù)形式(9)進(jìn)行SPICE模擬.對于具有周期邊界(將圖1 所示電路兩端的開關(guān)均置到 p 端口)的電路,僅在第n節(jié)點(diǎn)接入頻率為ω的AC 電流源,測量所有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓響應(yīng),并除以輸入電流強(qiáng)度,即可得到電路的格林函數(shù)矩陣G(ω)的第n列矩陣元;每個(gè)節(jié)點(diǎn)均操作一次,便可得到整個(gè)電路的格林函數(shù)矩陣.然后根據(jù)關(guān)系J(ω)G-1(ω)得出拉普拉辛矩陣以及相應(yīng)的矩陣A[63].得到實(shí)驗(yàn)測量的拉普拉辛矩陣J(ω),就可以計(jì)算其導(dǎo)納譜及相應(yīng)的左/右本征矢量,以及由此定義的一切物理量,從而和理論相比較.

需要注意的是,上述分析是基于電路系統(tǒng)在AC 電流驅(qū)動(dòng)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),即(7)式.而事實(shí)上,在驅(qū)動(dòng)頻率接近本征頻率時(shí),除了會(huì)產(chǎn)生明顯的共振響應(yīng)外,還會(huì)激發(fā)電路系統(tǒng)的其他本征模式,這類響應(yīng)通常被稱為暫態(tài)響應(yīng).實(shí)驗(yàn)上獲得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的方法一般是進(jìn)行延時(shí)測量,待暫態(tài)響應(yīng)消逝后再使用鎖相放大器實(shí)現(xiàn)對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號的捕捉.而在周期邊界條件下,非互易AA模型的本征能量會(huì)出現(xiàn)復(fù)數(shù),相應(yīng)地,此電路的本征頻率ωc一般也為復(fù)數(shù)(圖2(b)、2(c)左圖),這就意味著此頻率下的暫態(tài)響應(yīng)會(huì)隨著時(shí)間發(fā)散 (I m[ωc]＜0)或衰減(I m[ωc]＞0 ).對于以頻率ω∈R 為驅(qū)動(dòng)頻率的系統(tǒng),發(fā)散的產(chǎn)生不利于系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)定,因此必須考慮對暫態(tài)響應(yīng)的抑制,這里通過選取合適的R0達(dá)到此目的.

可以采用無磁通(Φ0 )的電路(此時(shí)的A與ω?zé)o關(guān))計(jì)算本征頻率的虛部,從而估算出所需要的R0.將公式J(ωc)V0 寫成本征方程的形式:

可以求出本征頻率ωc滿足

其中,rCr/C0;an表示矩陣A/C0的第n個(gè)本征值,在周期邊界條件下一般為復(fù)數(shù)[27].因此,只要選取合適的R0以及Cr使所有本征頻率的虛部都不小于0,即 m inn(Im[ωc,n])≥0,則系統(tǒng)的響應(yīng)不會(huì)隨時(shí)間發(fā)散.當(dāng)系統(tǒng)以特定頻率ω驅(qū)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)定響應(yīng)將以ω模式為主[27].根據(jù)附錄的推導(dǎo),可以得出使電路響應(yīng)不發(fā)散的條件為

另外,為了盡可能多地誘導(dǎo)出本征模式,驅(qū)動(dòng)頻率需要處于本征譜中間.由于非互易AA 模型H的能譜分布于復(fù)平面的原點(diǎn)附近,相應(yīng)地,矩陣A(Φ0)/C0的本征值an也具有同樣的特點(diǎn),所以根據(jù)(23)式,設(shè)γan0 可以得到合適的驅(qū)動(dòng)頻率這樣的取值同時(shí)可以保證(15)式中D盡可能簡潔.除特別說明外,以下計(jì)算保持ω的取值.

利用SPICE 模擬周期邊界條件下含有N21個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路(圖1(a)),基本的元件取值為(L0,C0,R0,Cr)(10μH,0.4μF,5 Ω,1.6μF),即ω00.5MHz和(r,γ)(4,1),驅(qū)動(dòng)頻率選為ω0.2 MHz,其他元件的取值(CI,Cn,La,b,Ra,b)根據(jù)(18)式和(20)式由模型參數(shù)確定,準(zhǔn)周期勢的周期參數(shù)選為β13/21 .利用以上方案,對理論相圖(圖2(a))中的3 個(gè)典型區(qū)域進(jìn)行SPICE 模擬.在ν±1的拓?fù)鋮^(qū),模擬的A/C0本征譜在復(fù)平面內(nèi)是繞原點(diǎn)的圈(圖2(b)右圖),而在纏繞數(shù)ν0的局域區(qū),則變成了實(shí)軸上的直線(圖2(c)右圖);用模擬得到的A(Φ)/C0計(jì)算相位θ(Φ)detA(Φ)/C0隨Φ的變化(圖2(d)),可以得到相應(yīng)纏繞數(shù)的模擬值.結(jié)果顯示,模擬結(jié)果與理論結(jié)果符合得很好.

5 開邊界條件下趨膚與局域模式競爭的模擬

文獻(xiàn)[27]里證明了非互易AA 模型在開邊界與周期邊界條件下的相圖一致,只是拓?fù)湎鄥^(qū)的態(tài)在開邊界條件下表現(xiàn)出趨膚態(tài),而在周期邊界條件下表現(xiàn)為擴(kuò)展態(tài).本節(jié)將同樣利用電路的拉普拉辛方法模擬開邊界條件下趨膚與局域模式的競爭.

在電路的設(shè)計(jì)上,只需要將圖1(a)中兩端的開關(guān)同時(shí)接入端口 o 并且令 X相關(guān)模塊均開路,即可實(shí)現(xiàn)開邊界條件.同樣地,可以利用與第4 節(jié)周期邊界條件類似的方法,通過SPICE 模擬重構(gòu)出開邊界條件下的電路拉普拉辛矩陣以及相應(yīng)的矩陣A/C0,然后用此矩陣計(jì)算出相應(yīng)的本征左/右矢,即可看到趨膚和局域模式在不同參數(shù)下的競爭關(guān)系.這里將采用一個(gè)相對簡單的方法,無須將AC 電流源依次接入每個(gè)節(jié)點(diǎn)也可以達(dá)到此目的.

電路的格林函數(shù)形式(9)可以用拉普拉辛的本征左/右矢表示為這里,趨膚或局域模式表現(xiàn)為本征左/右矢矩陣元的分布是趨向于一端還是局域在某個(gè)中間位置.可以簡單地在單一節(jié)點(diǎn)接入AC 電流源,測量相應(yīng)的電壓響應(yīng),根據(jù)(25)式可知,此電壓響應(yīng)是同一相區(qū)下所有本征右矢按系數(shù)線性疊加的結(jié)果,所以必然表現(xiàn)為趨膚或局域效應(yīng).

取與周期邊界條件時(shí)相同的元件參數(shù),除了γ0 (即R0開路),這是因?yàn)殚_邊界條件下所有的本征頻率都是實(shí)數(shù),如圖2(b)和圖2(c)所示,不存在響應(yīng)發(fā)散的問題,所以不需要用電阻抑制發(fā)散.另外,需要拉普拉辛矩陣中的D(ω)0,否則當(dāng)此項(xiàng)很大時(shí),所有本征值jn(ω)趨向于常數(shù)j,由(25)式可知V →j-1I,其正比于輸入電流,無法反映出競爭關(guān)系,這也是取γ0 的一個(gè)原因.

用SPICE 同樣模擬了開邊界條件下N21個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路系統(tǒng),在節(jié)點(diǎn)ni11接入頻率為ω的AC電流源,然后測量每個(gè)節(jié)點(diǎn)頻率為ω的電壓幅值,得到如圖3(a)和圖3(b)所示結(jié)果,可以清楚地看出,在拓?fù)湎鄥^(qū)時(shí),響應(yīng)電壓分布在右/左邊界附近,表現(xiàn)為右/左趨膚態(tài);在非拓?fù)湎鄥^(qū)時(shí),響應(yīng)電壓始終分布在驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)附近,表現(xiàn)為局域態(tài).為了表征相應(yīng)電壓的局域化程度,定義倒參與率(inverse participation ratio,IPR):

圖3(c)和圖3(d)顯示IPR 最低的點(diǎn)與理論相變點(diǎn)很接近,因?yàn)橼吥w和局域態(tài)都有較大的局域性,對應(yīng)較大的IPR 值,而相變點(diǎn)附近擴(kuò)展性最強(qiáng),對應(yīng)的IPR 值都很小.在左右趨膚的相邊界(即ν±1之間的邊界),對應(yīng)于互易模型,因?yàn)橼吥w效應(yīng)消失,所以其本征態(tài)為擴(kuò)展態(tài);在趨膚與局域的相邊界(即ν±1 與ν0 之間的邊界),對應(yīng)于趨膚與局域競爭的平衡,同樣為擴(kuò)展態(tài).

圖3 (a),(b)由SPICE模擬得到的電壓響應(yīng)(已經(jīng)歸一化)在節(jié)點(diǎn)上的分布,分別對應(yīng)圖2(a)中α=0.5和λ=0.5的兩條虛線.頻率為ω=ω0/的AC電流源接在第11個(gè)節(jié)點(diǎn)上.(c),(d)分別為由圖(a)和(b)中的電壓分布根據(jù)(26)式計(jì)算的IPR,其中菱形為模擬值,虛線為理論值,箭頭指的是最小模擬值,虛線標(biāo)出的是理論相變值.Fig.3.(a),(b)Node distributions of voltages (normalized)simulated by SPICE along dashed lines of α=0.5 and λ=0.5 in Fig.2(a),respectively.The AC current source with ω=ω0/ is connected to the 11 th node.(c),(d)IPRs of the voltage distributions in panels (a)and (b),respectively,calculated by Eq.(26),where diamonds (dashed lines)are the simulation (theoretical)results.The arrows indicate the minima of simulated IPRs,while the dashed lines indicate the phase transition points in theory.

6 結(jié)論

本文通過構(gòu)建經(jīng)典電路,將其拉普拉辛矩陣與非互易AA 模型的哈密頓量矩陣對應(yīng),利用SPICE成功模擬了非互易AA 模型重要的穩(wěn)態(tài)性質(zhì),包括周期邊界條件下體現(xiàn)系統(tǒng)非厄米拓?fù)湫再|(zhì)的復(fù)能譜和能譜纏繞數(shù),以及開邊界下非厄米趨膚效應(yīng)與準(zhǔn)無序局域化的競爭.其中,詳細(xì)討論了電路參數(shù)的設(shè)置原則和理論依據(jù),為進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)提供了具體的指導(dǎo)方案.由于方案的普適性,本文所討論的設(shè)計(jì)原則和理論可以直接應(yīng)用于其他量子緊束縛模型的模擬和實(shí)驗(yàn),如文獻(xiàn)[27]中提到的非互易AA模型的對偶模型,僅需將圖1 中的電路方案適當(dāng)修改,去除節(jié)點(diǎn)間的INIC 元件以實(shí)現(xiàn)互易躍遷,并調(diào)節(jié)相應(yīng)的接地元件以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)周期復(fù)在位勢即可.

本文中的SPICE 模擬使用了LTspice 軟件.為了更接近于理論結(jié)果,采用的電容、電感和電阻均為理想線性器件,并且將INIC 中放大器的開環(huán)增益倍數(shù)與輸入阻抗分別設(shè)置為 500 G和500 G Ω用于模擬理想放大器.由于實(shí)際器件的非理想性,模擬或者實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能會(huì)有一定偏差,需要根據(jù)情況具體分析.

本文只涉及對量子緊束縛模型穩(wěn)態(tài)性質(zhì)的模擬,實(shí)際上,經(jīng)典電路也可以用于對動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的模擬.對于非互易AA 模型,文獻(xiàn)[27]已有討論.另外,由于電路元件的豐富特性,同樣可以利用非線性的電路元件實(shí)現(xiàn)對非線性量子系統(tǒng)的模擬[64].所以,對于模擬量子系統(tǒng)而言,經(jīng)典電路是一個(gè)成本低廉、技術(shù)成熟、模擬范圍廣的有力平臺.

附錄

根據(jù)本征頻率的表達(dá)式(23),如使電路響應(yīng)不發(fā)散,需要滿足≥0,即

兩邊再平方并化簡,得

由于不等式右方為非負(fù)數(shù),所以必須要求

且

因?yàn)樾璞ＷC所有本征頻率都滿足以上條件,所以要求