基于循環(huán)相關(guān)的相干信源角度估計(jì)

金芳曉，孫元峰

(1． 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所，合肥 230088；2． 汽車智能網(wǎng)聯(lián)與主動(dòng)安全技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程研究中心，合肥 230088)

0 引 言

研究表明，許多人造和自然界中的信號(hào)都是由周期現(xiàn)象產(chǎn)生，雖然這些信號(hào)不是時(shí)間的周期過(guò)程，但其統(tǒng)計(jì)特征隨時(shí)間呈現(xiàn)周期性變化，被稱為廣義循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程[1]，已廣泛用于通信、雷達(dá)、無(wú)線電等領(lǐng)域?；谛盘?hào)循環(huán)平穩(wěn)特性的選擇性測(cè)向算法，如Cyclic MUSIC、SC-SSF、Cyclic ESPRIT等，由于其能夠提高信號(hào)檢測(cè)能力，在雷達(dá)和通信系統(tǒng)中得到了廣泛關(guān)注[2-4]。此外，循環(huán)平穩(wěn)類DOA估計(jì)算法只要求在特定感興趣循環(huán)頻率下的信源數(shù)少于陣元數(shù)，因此，即使總信源數(shù)大于陣元數(shù)，算法也能正確估計(jì)出期待信號(hào)角度。也就是說(shuō)，基于此類DOA估計(jì)算法可以提高陣列自由度，已成為陣列信號(hào)處理的研究熱點(diǎn)之一。

建立在子空間上的MUSIC、ESPRIT等DOA估計(jì)算法不適用于存在同頻干擾的情況，此外還有一個(gè)很大的局限性：在實(shí)際環(huán)境中多徑效應(yīng)或人為設(shè)置干擾等導(dǎo)致的一種相干環(huán)境下的DOA估計(jì)問(wèn)題。對(duì)于傳統(tǒng)超分辨算法，當(dāng)接收信號(hào)存在相干性時(shí)，子空間特征值分解后無(wú)法得到與信號(hào)源對(duì)應(yīng)的特征向量。這也是超分辨的重點(diǎn)研究對(duì)象之一。為了準(zhǔn)確分辨相干信號(hào)，主要采用子空間擬合法、空間平滑法、奇異值分解法、矩陣分解法等幾種解決方法。改進(jìn)的MUSIC算法[5-6]采用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣做變換處理，使其相關(guān)協(xié)方差矩陣秩個(gè)數(shù)與相干信號(hào)源個(gè)數(shù)相等，進(jìn)而分辨相干信號(hào)的來(lái)波方向。為了進(jìn)一步提高抗噪性，文獻(xiàn)[7]、[8]基于壓縮感知理論，提出了幾種稀疏重構(gòu)的DOA估計(jì)算法，利用空域的稀疏特性重構(gòu)空間譜，不受信號(hào)相干性的影響。這類算法普遍存在初始參數(shù)難以設(shè)置和計(jì)算量較大的問(wèn)題，一定程度上限制了其應(yīng)用。

針對(duì)同頻干擾和相干信號(hào)同時(shí)存在的復(fù)雜環(huán)境，本文利用信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)特性解決相干信號(hào)DOA估計(jì)問(wèn)題，提出一種基于循環(huán)相關(guān)的相干信源角度估計(jì)算法，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其有效性。

1 信號(hào)模型

1.1 循環(huán)相關(guān)函數(shù)

循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程是一類特殊的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其統(tǒng)計(jì)函數(shù)隨時(shí)間呈現(xiàn)周期變化，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、無(wú)線電、遙感等領(lǐng)域。依據(jù)期望信號(hào)和同頻干擾往往具有不同的循環(huán)頻率這一特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾信號(hào)的抑制。

對(duì)于一個(gè)具有二階周期特性的非平穩(wěn)信號(hào)x(t)，其時(shí)變自相關(guān)函數(shù)可表示為[9]

為避免隨機(jī)性，令N趨于無(wú)窮，可以得到

(2)

進(jìn)一步將rx(t,τ)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的形式：

(3)

(4)

將式(2)代入式(4)，有

=〈x(t+τ/2)x*(t-τ/2)e-j2πmt/T0〉t

(5)

設(shè)信號(hào)x(t)包含多個(gè)互不可約的周期信號(hào)，則式(3)和式(5)可分別表示為

(6)

=〈x(t+τ/2)x*(t-τ/2)e-j2πεt〉t

(7)

1.2 陣列模型

假設(shè)K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶期待信號(hào)和干擾信號(hào)xk(t),k∈{1,…,K}，入射到均勻線陣上，其中Kε≤K個(gè)信號(hào)為期待信號(hào)，具有相同的循環(huán)頻率ε，且期待信號(hào)間存在相干性。均勻線陣由M個(gè)陣元組成，相鄰陣元間距D，則在t時(shí)刻陣列接收數(shù)據(jù)表示為

(8)

(9)

式中，υmk為第k個(gè)信號(hào)到達(dá)第m個(gè)陣元相對(duì)于參考陣元的時(shí)延，且υmk=(m-1)Dsinθk/c，θk為第k個(gè)信號(hào)的方向角，c為波速；nm(t)為第m個(gè)陣元在t時(shí)刻的噪聲，該噪聲為獨(dú)立源，且與信號(hào)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

1.3 相干信源的信號(hào)模型

傳統(tǒng)的超分辨算法僅能估計(jì)非相關(guān)信號(hào)源，且隨信號(hào)源間相關(guān)性(或相關(guān)系數(shù))的增加，其性能逐漸惡化，直至失效。在實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中，很可能存在多徑反射或人為設(shè)置導(dǎo)致的相干信號(hào)。對(duì)于兩個(gè)平穩(wěn)信號(hào)s1(t)和s2(t)，其相關(guān)系數(shù)可以表示為

(10)

對(duì)于不同信號(hào)的關(guān)系可以做出如下定義：

(11)

因此，當(dāng)兩個(gè)信號(hào)相干時(shí)，兩者的區(qū)別僅僅是差一個(gè)常復(fù)數(shù)。

2 相干信源角度估計(jì)算法研究

2.1 線性預(yù)測(cè)模型

從式(9)可以看出，第M個(gè)陣元的接收信號(hào)可看作是由其他M-1個(gè)陣元接收信號(hào)的相移組合而成，即

(12)

式中，βi=(i-1)Dsinθk/c；eM(t)為預(yù)測(cè)誤差。

基于式(12)求取yM(t)的循環(huán)相關(guān)函數(shù)，可得LP模型如下：

(13)

進(jìn)一步，可將式(13)表示為向量形式：

(14)

式中，

在有限快拍數(shù)下，假設(shè)陣列接收信號(hào)y(t)的離散表示形式為y(n)，且陣列信號(hào)的快拍數(shù)為N，可以得到各陣元的離散循環(huán)相關(guān)函數(shù)：

m=1,…,M

(15)

式中，a=(ε/fs)N∈[0,fs]為數(shù)字循環(huán)頻率；e-jπ/Nal為校正因子；l=0,1,…,L-1為數(shù)字時(shí)延，且L≤N。

令l=0,1,…,L-1，從而得到信號(hào)模型的離散循環(huán)相關(guān)熵矩陣：

r=Φq

(16)

式中，

2.2 相干信號(hào)角度估計(jì)

由于矩陣q中包含角度信息，問(wèn)題便轉(zhuǎn)為對(duì)矩陣q的估計(jì)問(wèn)題。為此，求解式(15)矩陣Φ的協(xié)方差矩陣：

Σφ=ΦHΦ

(17)

由于接收到的不同方向陣列信號(hào)存在相干性，相干信號(hào)導(dǎo)致協(xié)方差矩陣的秩虧缺。為此，利用Toeplitz矩陣的性質(zhì)[10]修正矩陣Σφ，可以得到Σφ的Toeplitz協(xié)方差矩陣估計(jì)值：

Σ=Σφ+IvΣφIv

(18)

再對(duì)該無(wú)偏估計(jì)Σ進(jìn)行特征值分解，有

Σ=UΛUH

(19)

由于期待信號(hào)個(gè)數(shù)是Kε，所以取前Kε個(gè)特征值對(duì)式(16)中的矩陣q進(jìn)行求解：

(20)

最終，所要求的期望信源的DOA估計(jì)值便為下面預(yù)測(cè)多項(xiàng)式(21)所對(duì)應(yīng)的譜峰位置：

(21)

式中，w=ej2πεDsinθ/c。

算法的整體步驟如下：

步驟2：根據(jù)式(17)計(jì)算Φ的協(xié)方差矩陣Σφ；

步驟3：根據(jù)式(18)計(jì)算Σφ無(wú)偏估計(jì)矩陣Σ；

步驟5：根據(jù)式(20)計(jì)算目標(biāo)矩陣q；

步驟6：利用式(21)求解空間譜P(θ)，進(jìn)而采用譜峰搜索的方式求得期望信號(hào)DOA估計(jì)值。

3 仿 真

計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)采用10陣元均勻線陣，陣元間距為c/2ε，ε為入射信號(hào)的循環(huán)頻率。設(shè)定存在3個(gè)期待信號(hào)和1個(gè)同頻干擾，其中3個(gè)期待信號(hào)中有2個(gè)為遠(yuǎn)場(chǎng)BPSK相干信號(hào)，且與第3個(gè)信號(hào)不相干；2個(gè)相干信號(hào)入射角度分別為19°和52°，另一個(gè)不相干信號(hào)入射角度為32°。陣列中還存在同載頻的AM干擾信號(hào)，其入射角為40°。信號(hào)的采樣頻率為fs=500 MHz，快拍數(shù)N=500，信噪比SNR=0 dB。

實(shí)驗(yàn)中采用L1-SVD和SC-SSF兩種算法與本文算法進(jìn)行對(duì)比，以檢測(cè)DOA估計(jì)的性能：L1-SVD算法采用壓縮感知重構(gòu)思想對(duì)角度進(jìn)行估計(jì)，對(duì)各個(gè)方向的入射信號(hào)進(jìn)行稀疏重構(gòu)，可較好地解決相干問(wèn)題，對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)，但該算法同樣對(duì)同頻干擾的影響也較大；SC-SSF對(duì)比算法采用循環(huán)頻率構(gòu)建線性模型進(jìn)行角度估計(jì)，可以抵抗同頻干擾的影響，但是不具有解相干的能力。

在上述同頻干擾和相干信號(hào)共存的條件下，實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果如圖1所示?？梢钥闯觯琇1-SVD算法雖然很好地解決了相干信號(hào)問(wèn)題，但是受同頻干擾影響，在干擾的入射方向旁瓣抬高；本文算法和SC-SSF算法利用兩個(gè)期望信號(hào)與干擾源信號(hào)具有不同的循環(huán)頻率這一循環(huán)平穩(wěn)特性，較好地抑制了同頻干擾信號(hào)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)期待信號(hào)來(lái)波方向的估計(jì)； SC-SSF算法由于不具有解相干，無(wú)法估計(jì)相干信號(hào)的角度。綜合來(lái)看，本文算法較好地抑制了同頻干擾，且受相干信號(hào)影響較小，很好地估計(jì)出了3個(gè)期待信號(hào)的來(lái)波方向。

圖1 3種算法DOA估計(jì)空間譜對(duì)比圖

DOA估計(jì)中的信噪比是影響算法性能的重要因素。為此，本文進(jìn)一步就信噪比對(duì)DOA估計(jì)的影響做了仿真實(shí)驗(yàn)，信噪比-10～10 dB，其他條件不變。由于在上述仿真條件下，SC-SSF算法無(wú)法估計(jì)出具有相干性的2個(gè)信號(hào)，因此在信噪比實(shí)驗(yàn)中，僅對(duì)比本文算法和L1-SVD算法的估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化情況，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)100次，仿真結(jié)果如圖2所示。可以看出，L1-SVD算法受同頻干擾的影響，在低信噪比下DOA估計(jì)誤差較大。隨著信噪比的提高，2種算法的估計(jì)誤差均在減小，且在信噪比大于5 dB后，算法性能都趨于穩(wěn)定。而且，L1-SVD算法由于采用稀疏重構(gòu)，在高信噪比條件下估計(jì)誤差要略小于本文算法。

圖2 均方誤差隨信噪比變化

4 結(jié)束語(yǔ)

為抑制同頻干擾，本文基于陣列接收通道間的線性關(guān)系，構(gòu)建信號(hào)接收循環(huán)相關(guān)矩陣模型，采用最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。同時(shí)，將陣列接收循環(huán)相關(guān)協(xié)方差矩陣的無(wú)偏估計(jì)納入所提LP模型中，解決了循環(huán)平穩(wěn)相干信號(hào)的高分辨角度估計(jì)問(wèn)題。仿真實(shí)驗(yàn)表明，在受同頻信號(hào)干擾且信噪比較低的情況下，本文算法性能更好，且受相干信號(hào)的影響較小。