基于Tube的撓性航天器模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制及主動(dòng)振動(dòng)控制

管 萍，吳希巖，戈新生

(北京信息科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192)

現(xiàn)代航天器常帶有太陽帆板、大型天線桁架等大型撓性附件，大型撓性結(jié)構(gòu)會(huì)加劇撓性附件振動(dòng)使得姿態(tài)控制問題難于處理。同時(shí)，重力梯度、太陽輻射、地球磁場(chǎng)等各種環(huán)境干擾力矩不斷影響著航天器的運(yùn)行過程。并且，隨著航天器的不斷發(fā)展，為確保航天器在性能極限下安全可靠地運(yùn)行，對(duì)于航天器在軌大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的控制精度要求也越來越高。所以，撓性航天器的高精度姿態(tài)控制以及有效的振動(dòng)抑制是目前仍在解決的難點(diǎn)問題[1]。

近幾年來，國內(nèi)外學(xué)者們將很多有效的控制方法應(yīng)用到航天器的姿態(tài)控制中，并取得了較好的控制效果。文獻(xiàn)[2]提出了一種自適應(yīng)模糊PID控制器，使航天器系統(tǒng)具有較好的控制性能。文獻(xiàn)[3]針對(duì)撓性航天器進(jìn)行大角度姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)中的姿態(tài)控制問題，設(shè)計(jì)了基于期望補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)魯棒姿態(tài)控制器。文獻(xiàn)[4]提出一種基于模糊控制原理的改進(jìn)型自抗擾控制方法，實(shí)現(xiàn)了撓性航天器較好的姿態(tài)控制。文獻(xiàn)[5]采用自適應(yīng)魯棒方法設(shè)計(jì)了姿態(tài)控制器，有效地降低了干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性對(duì)撓性航天器系統(tǒng)性能的影響。文獻(xiàn)[6]針對(duì)撓性航天器的姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)問題，設(shè)計(jì)了基于終端滑模的有限時(shí)間控制律。文獻(xiàn)[7]針對(duì)一種帶有撓性附件和液體晃動(dòng)的深空探測(cè)航天器姿態(tài)控制問題,提出了自抗擾控制律。然而在實(shí)際航天任務(wù)中，航天器常會(huì)受到如執(zhí)行器受限、燃料受限、以及躲避禁飛區(qū)時(shí)姿態(tài)角受限等系統(tǒng)的約束限制，上述控制器未考慮實(shí)際系統(tǒng)對(duì)控制力矩的約束，在實(shí)際運(yùn)行中會(huì)影響控制性能[8]。模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control,MPC)通過在線優(yōu)化求解控制律，在線優(yōu)化過程中，將各種約束條件進(jìn)行充分的考慮，從而得到最優(yōu)的性能指標(biāo)，并可滿足各種約束條件的控制算法[9]。MPC具有簡(jiǎn)單可重構(gòu)性、層次靈活性等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于航天控制中。文獻(xiàn)[10]將線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制應(yīng)用于欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星的姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)，使衛(wèi)星能夠以較高的精度達(dá)到期望角度。文獻(xiàn)[11]將線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制方法應(yīng)用于磁驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星的姿態(tài)控制中，得到了較好的控制效果。然而上述方法均將航天器預(yù)測(cè)模型進(jìn)行部分線性化，很難獲得較為滿意的控制效果。當(dāng)系統(tǒng)的實(shí)際模型為非線性時(shí)，采用非線性動(dòng)態(tài)模型作為預(yù)測(cè)模型會(huì)更加準(zhǔn)確，因此會(huì)得到較好的控制性能[12]。文獻(xiàn)[13]將非線性模型預(yù)測(cè)控制(nolinear model predictive control,NMPC)應(yīng)用于航天器交會(huì)和近距離機(jī)動(dòng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制問題中，快速準(zhǔn)確地進(jìn)行目標(biāo)控制，然而未考慮航天器存在擾動(dòng)的情況。文獻(xiàn)[14]針對(duì)敏捷小型衛(wèi)星設(shè)計(jì)了NMPC控制器，考慮了外部擾動(dòng)，使姿態(tài)角具有較高的控制精度和響應(yīng)速度。然而此方法未考慮撓性附件對(duì)中心剛體的影響，撓性附件振動(dòng)引起的擾動(dòng)會(huì)影響控制精度。所以在針對(duì)撓性航天器進(jìn)行姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)時(shí)，需考慮具有強(qiáng)抗干擾能力的控制器。其中，NMPC是有效的控制方法之一。而在具有擾動(dòng)的情況下，基于Tube的模型預(yù)測(cè)控制可使被控系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)保持在以標(biāo)稱軌跡為中心的Tube不變集內(nèi)。因此設(shè)計(jì)基于Tube的模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制器是處理撓性附件振動(dòng)引起擾動(dòng)的有效方法之一。然而文獻(xiàn)[15]僅將所設(shè)計(jì)的基于Tube的模型預(yù)測(cè)控制方法應(yīng)用于二階非線性系統(tǒng)中，其控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的詳細(xì)證明及其有限時(shí)間收斂性問題還有待于進(jìn)一步探究。

盡管上述方法可以增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性同時(shí)有效降低包括撓性振動(dòng)在內(nèi)的不確定性對(duì)系統(tǒng)的影響，但屬于集中控制，僅依靠姿態(tài)控制器去抑制撓性附件振動(dòng)很難得到滿意的效果[16]。因此有必要對(duì)撓性振動(dòng)問題設(shè)計(jì)主動(dòng)振動(dòng)控制器。文獻(xiàn)[17]與文獻(xiàn)[18]分別采用分力合成與輸入成型主動(dòng)振動(dòng)控制技術(shù)減少了撓性模態(tài)振動(dòng)。然而，分力合成與輸入成形主動(dòng)振動(dòng)控制方法均屬于前饋控制方法，系統(tǒng)中存在的干擾會(huì)影響控制效果。采用壓電智能材料的閉環(huán)反饋主動(dòng)振動(dòng)控制方法靈活性高，能夠有效應(yīng)對(duì)外部擾動(dòng)。其中滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性和抗干擾能力，可應(yīng)用于主動(dòng)振動(dòng)控制器設(shè)計(jì)中。然而傳統(tǒng)滑?？刂凭哂星袚Q項(xiàng)和指數(shù)趨近律，因此存在著抖振和收斂時(shí)間較長(zhǎng)的問題。終端滑模與傳統(tǒng)滑模相比具有有限時(shí)間收斂、穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差小等優(yōu)點(diǎn)，但仍存在著抖振和奇異性問題[19]。全階滑?？刂茖⒊Ｒ?guī)變結(jié)構(gòu)中的切換項(xiàng)通過微分環(huán)節(jié)構(gòu)成新的切換函數(shù)，在實(shí)現(xiàn)滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)具有連續(xù)性，有效的降低了抖振，且由于控制律中不再包含常規(guī)終端滑模中狀態(tài)變量的負(fù)指數(shù)項(xiàng)，所以避免了控制系統(tǒng)的奇異性[20]。因此設(shè)計(jì)全階滑模主動(dòng)振動(dòng)控制器可有效處理撓性附件引起的振動(dòng)。

本文針對(duì)具有控制力矩約束的撓性航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制這類高階非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于Tube的模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制器，給出了詳盡的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性證明，同時(shí)還證明了所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)可在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定。所設(shè)計(jì)的Tube-MPC姿態(tài)控制器既具有MPC良好的優(yōu)化能力，又能有效處理擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，使姿態(tài)角實(shí)現(xiàn)快速跟蹤。在撓性振動(dòng)抑制方面，設(shè)計(jì)了全階滑模主動(dòng)振動(dòng)控制器，全階滑?？刂撇粌H具有傳統(tǒng)滑?？刂启敯粜詮?qiáng)，參數(shù)變化不敏感等優(yōu)點(diǎn)且無奇異性問題，又能在有效消除抖振的同時(shí)使撓性振動(dòng)模態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)快速衰減。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的基于Tube的模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制器和全階滑模主動(dòng)振動(dòng)控制器能夠在撓性航天器大角度機(jī)動(dòng)時(shí)，使姿態(tài)角快速跟蹤期望角度，并且有效抑制了撓性模態(tài)振動(dòng)和外部擾動(dòng)。

1 撓性航天器的數(shù)學(xué)模型

以往常用歐拉角和四元數(shù)表示航天器的姿態(tài)參數(shù)，但歐拉角存在大角度奇異問題，四元數(shù)雖無奇異性，可存在冗余度，所以本文采用既無奇異性又無冗余度的修正的羅德里格斯參數(shù)MRPs(modified rodrigues parameters，MRPs)來表示姿態(tài)參數(shù)，MRPs定義為

(1)

式中：σ為航天器相對(duì)慣性坐標(biāo)系的MRPs姿態(tài)描述，σ=[σ1σ2σ3]T;p為歐拉主軸向量;θ為歐拉旋轉(zhuǎn)角。

姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(2)

(3)

采用壓電智能材料進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制的撓性航天器動(dòng)力學(xué)方程為[21]

(4)

(5)

式中:J為航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣;δ∈RN×3為航天器剛體與柔性附件的耦合矩陣;η∈RN×1為柔性附件的模態(tài)坐標(biāo)向量;u∈R3為控制輸入力矩;d∈R3為包括重力梯度、太陽輻射、地球磁場(chǎng)等各種環(huán)境干擾力矩;C=2ξΩ為阻尼矩陣;K=Ω2為剛度矩陣;ξ和Ω分別為振動(dòng)模態(tài)的阻尼比和自然頻率;δa∈RN×N為壓電作動(dòng)器與柔性附件的耦合矩陣;up∈RN×1為壓電作動(dòng)器的輸入電壓。

將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(式(2))和動(dòng)力學(xué)方程(式(4))共同構(gòu)成受擾動(dòng)的撓性航天器系統(tǒng)為

(6)

將連續(xù)時(shí)間的撓性航天器系統(tǒng)(式(6))離散化可表示為

x+=f(x,u)+Dk

(7)

系統(tǒng)所受控制力矩約束

u∈,?{u∈R3×1|-U≤ui≤U,i=1,2,3}(8)

對(duì)于系統(tǒng)(式(7))，如不考慮復(fù)合擾動(dòng)Dk，稱為標(biāo)稱系統(tǒng)

z+=f(z,v)

(9)

式中：z∈?R6×1為標(biāo)稱系統(tǒng)狀態(tài)，為標(biāo)稱系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的正不變集;z+為z的下一時(shí)刻狀態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)z=xd時(shí)，f(xd,ud)=xd為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。

標(biāo)稱系統(tǒng)控制輸入約束為

v∈?

(10)

定義

(11)

對(duì)式(11)求導(dǎo)，得到

(12)

將式(12)代入式(5)

(13)

將式(13)定義為

(14)

式中：g=-Cψ-Kη+Cδω;h=-δa。

本文的控制目標(biāo)為：針對(duì)撓性航天器(式(6))，設(shè)計(jì)滿足控制輸入約束的姿態(tài)控制器，有效處理擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，實(shí)現(xiàn)姿態(tài)角期望指令的快速精確跟蹤；為有效的抑制撓性附件引起的振動(dòng)，設(shè)計(jì)主動(dòng)振動(dòng)控制器，在有限時(shí)間內(nèi)，使撓性振動(dòng)衰減到零。

2 基于Tube的模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

基于Tube的模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制器的主要設(shè)計(jì)內(nèi)容為：設(shè)計(jì)對(duì)于原點(diǎn)穩(wěn)定的標(biāo)稱軌跡和輔助控制器，使得實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡在有限時(shí)間到達(dá)所設(shè)計(jì)的標(biāo)稱軌跡，并沿著標(biāo)稱軌跡快速收斂于原點(diǎn)。其中，標(biāo)稱軌跡由MPC作用下標(biāo)稱系統(tǒng)狀態(tài)從初始狀態(tài)到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)并最終穩(wěn)定于平衡點(diǎn)產(chǎn)生的；輔助控制器使實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)處于以標(biāo)稱軌跡為中心的Tube不變集中，并驅(qū)使實(shí)際系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)出發(fā)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)標(biāo)稱軌跡上，從而使實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)可以沿著標(biāo)稱軌跡最終收斂至原點(diǎn)。

2.1 標(biāo)稱軌跡

標(biāo)稱系統(tǒng)在模型預(yù)測(cè)控制律作用下從初始狀態(tài)到達(dá)平衡點(diǎn)產(chǎn)生標(biāo)稱軌跡，標(biāo)稱軌跡的優(yōu)化目標(biāo)為

則標(biāo)稱軌跡的優(yōu)化問題為

z0(z,xd)={z0(0;z,xd),z0(1;z,xd),…,z0(N;z,xd)}(18)

z*(z,xd)={z0(0;z,xd),z0(1;z,xd),z0(2;z,xd)，

…}?{z0(z,xd),xd,xd，…}

(19)

v*(z,xd)={v0(0;z,xd),v0(1;z,xd),v0(2;z,xd)，

…}?{v0(z,xd),ud,ud,…}

(20)

引理[22]：考慮系統(tǒng)z+=f(z,v)的狀態(tài)z∈?Rn，如果存在α1(·)，α2(·)，α3(·)函數(shù)，使得連續(xù)函數(shù)V∶Rn→R+滿足如下條件

V(z)≥α1(|z|)

(21)

V(z)≤α2(z)

(22)

V(z+)-V(z)≤-α3(|z|)

(23)

定理1：針對(duì)標(biāo)稱系統(tǒng)式(9)，采用所設(shè)計(jì)的MPC控制律式(17)，選取滿足優(yōu)化問題式(16)的正定權(quán)值矩陣，Q，R，Qf，則控制律式(17)可使標(biāo)稱系統(tǒng)式(9)在滿足控制輸入約束式(10)的條件下對(duì)于原點(diǎn)指數(shù)穩(wěn)定。

基于引理可推導(dǎo)出定理1，因定理1與定理2的證明過程相似，在此定理1的證明步驟可簡(jiǎn)要概述為：

(24)

(25)

如果終端代價(jià)函數(shù)Vf(·)∈f，那么可得到的遞減性

(26)

2.2 輔助控制器

輔助控制器的目的是使實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)處于以標(biāo)稱軌跡為中心的Tube內(nèi)，從而驅(qū)使實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)到達(dá)上述定義的標(biāo)稱軌跡上，抵消擾動(dòng)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的影響，并最終沿著標(biāo)稱軌跡收斂于原點(diǎn)。則輔助控制器的優(yōu)化問題為

(27)

(28)

求解PN(x,z)得到控制序列和對(duì)應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)序列為

u0(x,z)={KN(x,z),u0(1;x,z),…,u0(N-1;x,z)}(29)

x0(x,z)={x,x0(1;x,z),…,x0(N;x,z)}

(30)

式中，第一個(gè)元素KN=u0(0;x,z)為應(yīng)用于模型預(yù)測(cè)控制的控制律。

假設(shè)：在系統(tǒng)x+=f(x,u)中存在控制輸入u∈，終端代價(jià)函數(shù)Vf∈Xf，則存在

Vf(x+)-Vf(x)≤-l(x,u)

(31)

定理2：針對(duì)帶有擾動(dòng)的實(shí)際系統(tǒng)式(7)，采用所設(shè)計(jì)的輔助控制律式(29)，選取滿足優(yōu)化問題式(27)的正定權(quán)值矩陣，Q，R，Qf,則控制律式(29)可使實(shí)際系統(tǒng)式(7)在滿足控制輸入約束式(8)條件下有限時(shí)間內(nèi)趨于穩(wěn)定。

式中：c1>0;λmin{Q}為Q的最小特征值。

當(dāng)N=1時(shí)，由式(28)可得

(33)

(34)

(35)

(36)

當(dāng)N=j+1時(shí)，由式(28)可得

(37)

由于Kj不一定為Pj+1(x,z)的最優(yōu)解，那么可得

(38)

由式(36)可推出

(39)

因此,

(40)

式中:c2>c1>0;λmax{P}為P的最大特征值。

其中,

u0(x,z)=[u0(0;x,z),u0(1;x,z),…,u0(N-1;x,z)](42)

x0(x,z)=[x0(0;x,z),x0(1;x,z),…,x0(N;x,z)](43)

由式(41)可得

(44)

Vf[x+(N),z]

(45)

其中，

u0(x+,z)=[u0(0;x+,z),u0(1;x+,z),…,u0(N-1;x+,z)](46)

x0(x+,z)=[x0(0;x+,z),x0(1;x+,z),…,x0(N;x+,z)] (47)

(48)

則

l[x0(N)-z(N),u-v]+Vf[x+(N),z]

(50)

由式(31)可得

(51)

(3)有限時(shí)間穩(wěn)定性證明

由式(51)可得

(52)

通過不斷迭代式(52)可得

由式(32)、式(40)可得

(54)

根據(jù)上述設(shè)計(jì)的基于Tube的模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制器，基于Tube的模型預(yù)測(cè)控制算法可總結(jié)如下：

步驟2求解輔助控制器的優(yōu)化問題PN(式(27))得到當(dāng)前控制律u=KN。

步驟3將控制律u應(yīng)用到實(shí)際系統(tǒng)(式(6))中得到對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)。

3 主動(dòng)振動(dòng)控制器設(shè)計(jì)

為使撓性附件振動(dòng)進(jìn)一步得到抑制，將基于壓電智能材料的主動(dòng)振動(dòng)控制應(yīng)用于撓性航天器的振動(dòng)抑制中，從而提高撓性航天器快速機(jī)動(dòng)時(shí)的控制精度。本文采用在撓性航天器表面安裝壓電陶瓷作動(dòng)器的全階滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制器設(shè)計(jì)。

根據(jù)式(14)設(shè)計(jì)滑模面為

(55)

則

up=ueq+h-1un

(56)

(57)

(58)

m=-(kd+kT+n)sgns

(59)

式中：式(58)等價(jià)于一個(gè)低通濾波器；m為濾波器的輸入;un為濾波器的輸出;T為濾波器的帶寬;ueq為等效控制；un(0)=0;參數(shù)kT,kd,n和T均為正定的。

定理3：對(duì)于撓性系統(tǒng)式(14)，在全階滑?？刂坡墒?56)的作用下，選取合適的控制參數(shù)，那么在有限時(shí)間內(nèi)可以使撓性模態(tài)η收斂到零。

證明：將式(14)和式(56)代入式(55)，得到

將式(57)代入式(60)，得到

s=un

(61)

式(58)解為

un(t)=[un(t0)+(1/T)(kd+kT+n)sgns]et-t0-

(1/T)(kd+kT+n)sgns,T≠0

(62)

當(dāng)t0=0時(shí)，un(0)=0，由式(62)可得

(63)

將式(63)等式兩邊同時(shí)乘sT，得到

(64)

則

(65)

從而可得

(66)

取李雅普諾夫函數(shù)為

(67)

對(duì)式(67)求導(dǎo)

(68)

將式(59)代入式(68)，得到

(69)

因此

(70)

通過式(66)可得到

(71)

基于以上分析，本文的主要控制思想是首先求解標(biāo)稱模型預(yù)測(cè)控制問題(式(16))生成標(biāo)稱軌跡，再將通過輔助控制器得到的控制律(式(29))應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)得到實(shí)際狀態(tài)，使實(shí)際狀態(tài)保持在以標(biāo)稱軌跡為中心的Tube不變集內(nèi)，從而驅(qū)使實(shí)際軌跡態(tài)到達(dá)標(biāo)稱軌跡上，并最終收斂至原點(diǎn)，使姿態(tài)角快速穩(wěn)定地達(dá)到期望姿態(tài)且有效減少擾動(dòng)對(duì)姿態(tài)角的影響，同時(shí)利用全階滑模主動(dòng)振動(dòng)控制器(式(56))抑制撓性附件帶來的振動(dòng)，使撓性振動(dòng)模態(tài)衰減趨于零。

4 仿真研究

將本文提出的Tube-MPC姿態(tài)控制器和全階滑模主動(dòng)振動(dòng)控制器應(yīng)用于撓性航天器中，為驗(yàn)證控制器的有效性，進(jìn)行仿真驗(yàn)證與分析。選取文獻(xiàn)[24]的撓性航天器模型參數(shù)：

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為

撓性航天器的中心剛體和撓性附件間的耦合矩陣為

壓電作動(dòng)器與撓性附件間的耦合矩陣為

本章考慮具有四階撓性模態(tài)的情況，自然頻率為Ω1=0.768 1 rad/s，Ω2=1.103 8 rad/s，Ω3=1.873 3 rad/s，Ω4=2.549 6 rad/s，阻尼為ξ1=0.005 6，ξ2=0.008 6，ξ3=0.013 0，ξ4=0.025 0。

在仿真中，初始角速度的值為ω(0)=[0 0 0]Trad/s；期望值為ωd=[0 0 0]T;初始MRPs值為σ(0)=[-0.224 25 0.672 78 -0.448 52]T；期望值為σd=[0 0 0]T。

干擾力矩為

控制力矩受限為-30(Nm)≤u≤30(Nm)，預(yù)測(cè)時(shí)域N=5。

針對(duì)撓性航天器分為不采用主動(dòng)振動(dòng)控制器和采用主動(dòng)振動(dòng)控制器兩種情況進(jìn)行仿真研究。

當(dāng)不采用主動(dòng)振動(dòng)控制器時(shí)，為了加以比較，姿態(tài)控制器分別采用本文所設(shè)計(jì)的基于Tube的模型預(yù)測(cè)控制器和經(jīng)典的非線性模型預(yù)測(cè)控制器，對(duì)兩類控制系統(tǒng)做仿真研究，仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。在NMPC控制下的姿態(tài)角和角速度響應(yīng)時(shí)間在40 s左右，撓性附件振動(dòng)較大，從而使跟蹤精度較低，穩(wěn)態(tài)誤差較大；而在基于Tube的模型預(yù)測(cè)控制器下的姿態(tài)角和角速度響應(yīng)時(shí)間在30 s左右，撓性附件振動(dòng)較小，從而使跟蹤精度較高，穩(wěn)態(tài)誤差較小，系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)可快速跟蹤上標(biāo)稱軌跡的姿態(tài)，并最終收斂至原點(diǎn)，可有效降低擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。同時(shí)從圖4中可以看到，僅依靠基于Tube的模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制器，航天器的撓性模態(tài)也得到了較好的控制，但撓性振動(dòng)依然無法快速衰減。因此，有必要將主動(dòng)振動(dòng)控制器應(yīng)用到振動(dòng)抑制中。

圖1 姿態(tài)角變化曲線Fig.1 The response of MRPs

圖2 角速度變化曲線Fig.2 The response of angular velocity

圖3 控制輸入變化曲線Fig.3 The response of control torque

圖4 撓性模態(tài)變化曲線Fig.4 The response of vibration displacements

當(dāng)采用主動(dòng)振動(dòng)控制器時(shí)，為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的全階滑模振動(dòng)控制器的有效性，主動(dòng)振動(dòng)控制器分別采用本文所設(shè)計(jì)的全階滑?？刂破骱统Ｓ玫哪B(tài)速率反饋(modal velocity feedback，MVF)控制器(文獻(xiàn)[25])，而姿態(tài)控制器均采用NMPC控制器。對(duì)這兩類控制系統(tǒng)做仿真研究，仿真結(jié)果如圖5～圖9所示。在MVF控制下的撓性附件振動(dòng)較大，撓性模態(tài)在25 s左右衰減至零，導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的姿態(tài)角和角速度收斂較慢；在全階滑?？刂葡碌膿闲愿郊駝?dòng)較小，撓性模態(tài)均在15 s內(nèi)快速衰減至零，從而使對(duì)應(yīng)的姿態(tài)角和角速度收斂速度較快，可有效抑制撓性模態(tài)抖振，具有良好的振動(dòng)抑制效果。故在姿態(tài)控制器均采用NMPC控制器時(shí)，主動(dòng)振動(dòng)控制采用全階滑?？刂破骺墒箵闲阅B(tài)快速收斂至零，從而使姿態(tài)角和角速度比采用MVF主動(dòng)振動(dòng)控制時(shí)的收斂速度更快，跟蹤精度更高。

圖5 姿態(tài)角變化曲線Fig.5 The response of MRPs

圖6 角速度變化曲線Fig.6 The response of angular velocity

圖7 控制力矩變化曲線Fig.7 The response of control torque

圖8 撓性模態(tài)變化曲線Fig.8 The response of vibration displacements

圖9 控制電壓變化曲線Fig.9 The response of input voltage

為進(jìn)一步驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的Tube-MPC姿態(tài)控制器與全階滑模振動(dòng)控制器相結(jié)合對(duì)撓性航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制的有效性，姿態(tài)控制器分別采用基于Tube的模型預(yù)測(cè)控制器和NMPC控制器，主動(dòng)振動(dòng)控制器均采用全階滑?？刂破鳎瑢?duì)這兩類控制系統(tǒng)做仿真研究，仿真結(jié)果如圖10～圖14所示。在NMPC和全階滑模振動(dòng)控制下，初始階段的前四階撓性振動(dòng)模態(tài)最大值分別為0.20，0.17，0.08，0.05，撓性模態(tài)在15 s左右衰減至零，對(duì)應(yīng)的姿態(tài)角和角速度收斂時(shí)間約為30 s；在基于Tube的模型預(yù)測(cè)控制和全階滑模振動(dòng)控制下，初始階段的前四階撓性振動(dòng)模態(tài)最大值分別為0.080，0.050，0.015，0.010，撓性模態(tài)在5 s內(nèi)快速衰減至零，對(duì)應(yīng)的姿態(tài)角和角速度收斂時(shí)間約為20 s。故從仿真結(jié)果圖10～圖14可看出，所設(shè)計(jì)的基于Tube的模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制和全階滑模振動(dòng)控制，可有效抑制撓性模態(tài)抖振，具有更好的振動(dòng)抑制效果，從而使姿態(tài)角和角速度收斂速度更快，跟蹤精度更高。

圖10 姿態(tài)角變化曲線Fig.10 The response of MRPs

圖11 角速度變化曲線Fig.11 The response of angular velocity

圖12 控制力矩變化曲線Fig.12 The response of control torque

圖13 撓性模態(tài)變化曲線Fig.13 The response of vibration displacements

圖14 控制電壓變化曲線Fig.14 The response of input voltage

由上述仿真結(jié)果可看出，在具有撓性附件振動(dòng)和外部擾動(dòng)作用時(shí)，基于Tube的模型預(yù)測(cè)控制可使實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)保持在以標(biāo)稱軌跡為中心的Tube內(nèi)，抗干擾能力較強(qiáng)，且實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)可快速到達(dá)標(biāo)稱軌跡上，并最終收斂至原點(diǎn)，故基于Tube的模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制系統(tǒng)的響應(yīng)快，穩(wěn)態(tài)誤差小，得到比NMPC作用下更好的控制效果。而本文所設(shè)計(jì)的全階滑模主動(dòng)振動(dòng)控制器，在有效抑制傳統(tǒng)滑模抖振的同時(shí)使撓性振動(dòng)模態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)快速衰減為零。因此本文所提出的控制方法在具有基于Tube的模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制器的優(yōu)勢(shì)下，結(jié)合全階滑模主動(dòng)振動(dòng)控制器，能更有效地抑制撓性附件振動(dòng)，從而使姿態(tài)控制系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間更短，跟蹤精度更高，且撓性振動(dòng)衰減更快，具有較好的動(dòng)、穩(wěn)態(tài)特性。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)撓性航天器大角度姿態(tài)控制問題，將Tube-MPC控制理論、全階滑?？刂评碚摗⒅鲃?dòng)振動(dòng)控制技術(shù)結(jié)合應(yīng)用于撓性航天器系統(tǒng)。在有撓性附件振動(dòng)和外部擾動(dòng)作用時(shí)，基于 Tube的模型預(yù)測(cè)姿態(tài)控制器可使實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)保持在以標(biāo)稱軌跡為中心的Tube不變集中，并驅(qū)使實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)標(biāo)稱軌跡上，從而沿著標(biāo)稱軌跡最終收斂至原點(diǎn)，抗干擾能力較強(qiáng)，使姿態(tài)角實(shí)現(xiàn)快速跟蹤。同時(shí)設(shè)計(jì)了全階滑模主動(dòng)振動(dòng)控制器，全階滑模有效減少了撓性附件的振動(dòng)。仿真結(jié)果表明，所提出的Tube-MPC姿態(tài)控制系統(tǒng)，可確保振動(dòng)模態(tài)快速收斂到零，既能快速而穩(wěn)定的跟蹤期望指令，又能保證良好的控制精度。