基于隱式Adams方法的螺旋曲面銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性預(yù)測(cè)研究

楊赫然，耿超緒，孫興偉，董祉序

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

加工過(guò)程的振動(dòng)及抑制策略直接影響螺桿轉(zhuǎn)子銑削加工質(zhì)量和加工精度，并可對(duì)機(jī)床及刀具產(chǎn)生嚴(yán)重?fù)p害[1]。加工過(guò)程中的振動(dòng)形式主要有再生顫振和強(qiáng)迫振動(dòng)兩種[2]。再生顫振是一種強(qiáng)烈的自激振動(dòng)，亦是高性能機(jī)床在加工過(guò)程中必須控制的主要振動(dòng)形式[3]。按照產(chǎn)生機(jī)理[4]，顫振可以分為再生型顫振、振型耦合型顫振、摩擦型顫振、力-熱耦合型顫振等。

其中，再生型顫振往往先于其他形式發(fā)生，也是金屬切削過(guò)程中主要的顫振形式[5]。

為了防止螺旋曲面銑削加工過(guò)程中再生顫振對(duì)加工的影響，加工前有必要對(duì)螺旋曲面銑削穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)測(cè)，以保證加工時(shí)能夠延長(zhǎng)刀具的使用壽命并且獲得較高的表面質(zhì)量[6-7]。

針對(duì)再生型顫振對(duì)精工的影響，通常用線性時(shí)滯微分方程來(lái)表示再生型顫振影響的銑削加工動(dòng)力學(xué)模型[8]。所以如何能夠獲取時(shí)滯微分方程精確的解，且獲得穩(wěn)定性葉瓣圖，是預(yù)測(cè)螺旋曲面銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵。

到目前為止，預(yù)測(cè)銑削穩(wěn)定性的方法有很多種，主要分為時(shí)域法、頻域法和試驗(yàn)方法。

時(shí)域法包括半離散法、全離散法和時(shí)間有限元方法等。Insperger等[9-11]提出半離散法，該方法對(duì)時(shí)滯微分方程中的時(shí)滯項(xiàng)進(jìn)行離散，其算法的精度與離散步長(zhǎng)呈正相關(guān)，基于半離散法，又提出改進(jìn)半離散法以及高階半離散法。Niu等[12]提出基于Runge-Kutta的分析方法。Li等[13]提出了另一類(lèi)全離散法，該方法離散了所有時(shí)間相關(guān)項(xiàng)，利用數(shù)值迭代方法得到迭代公式，從而得到Floquet轉(zhuǎn)移矩陣。Ding等[14]基于時(shí)間有限元法，以積分方程技術(shù)求解銑削動(dòng)態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)，提出數(shù)值積分法，并將其發(fā)展為具有指數(shù)收斂階的譜方法和針對(duì)多時(shí)滯工況的變步長(zhǎng)法[15]。Ding等[16-17]提出全離散方法，包括一階全離散法和二階全離散法，一階全離散是通過(guò)線性插值對(duì)狀態(tài)項(xiàng)和時(shí)滯項(xiàng)進(jìn)行離散，二階全離散法是通過(guò)Lagrange插值對(duì)狀態(tài)項(xiàng)進(jìn)行離散，通過(guò)線性插值對(duì)時(shí)滯項(xiàng)進(jìn)行離散。Guo等[18]通過(guò)牛頓插值提出了三階全離散法，能夠得到更高的計(jì)算精度和更快的計(jì)算效率。Zhang等[19]基于Simpson公式提出了一種全新的方法預(yù)測(cè)銑削穩(wěn)定性。

頻域法一般為將顫振模型的時(shí)滯微分方程組利用傅里葉變換轉(zhuǎn)到頻域表示，基于控制理論，解析計(jì)算銑削穩(wěn)定邊界。Budak等[20-21]提出了頻域法求解銑削動(dòng)力學(xué)方程，但這種方法的計(jì)算精度無(wú)法滿足小徑向切深。Merdol等[22]提出了多頻率法，該方法考慮了定向因子的高次諧波，然而在計(jì)算過(guò)程中需要迭代搜索顫振頻率，需求解多個(gè)特征值。Bachrathy等[23]將多頻率法擴(kuò)展到適用于所有刀具結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性預(yù)測(cè)，包括可引入分布時(shí)滯的復(fù)雜刀具結(jié)構(gòu)，將擴(kuò)展多頻率法和多維二分法結(jié)合以提高計(jì)算效率，并證明了在所測(cè)頻響函數(shù)質(zhì)量較差的情況下，擴(kuò)展多頻率法依然可以得到可靠的穩(wěn)定預(yù)測(cè)結(jié)果。

綜上所述，眾多學(xué)者針對(duì)銑削加工過(guò)程的穩(wěn)定性預(yù)測(cè)進(jìn)行了較深入的研究，然而隨著新算法的涌現(xiàn)，在預(yù)測(cè)精度及速度上仍有較大的提升空間，且針對(duì)不同動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的適應(yīng)性有進(jìn)一步探究的必要。

Adams作為典型的線性多步法代表，當(dāng)插值區(qū)間較大，計(jì)算步數(shù)較多時(shí)，由于其參與運(yùn)算的函數(shù)個(gè)數(shù)較其他算法少，因此在計(jì)算效率方面具有明顯優(yōu)勢(shì)。智紅英等[24]針對(duì)單自由度及雙自由度高速銑削系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)研究，也表明該方法在效率及精度方面優(yōu)勢(shì)明顯。螺桿轉(zhuǎn)子銑削動(dòng)力學(xué)模型為三自由度動(dòng)力學(xué)模型，需要在保證預(yù)測(cè)精度的同時(shí)提高預(yù)測(cè)速度，因此，本文基于隱式Adams方法對(duì)螺旋曲面銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)測(cè)，探究隱式Adams方法對(duì)螺桿轉(zhuǎn)子銑削動(dòng)力學(xué)模型的適用性，為螺旋曲面銑削加工穩(wěn)定性預(yù)測(cè)提供理論依據(jù)。

1 動(dòng)力學(xué)模型建立

對(duì)于多自由度系統(tǒng)，預(yù)測(cè)銑削穩(wěn)定性的再生顫振動(dòng)力學(xué)模型，可以用時(shí)滯微分方程進(jìn)行表示，如式(1)所示

(1)

式中：M為模態(tài)質(zhì)量矩陣；C為模態(tài)阻尼矩陣；K為模態(tài)質(zhì)剛度矩陣；q(t)為模態(tài)坐標(biāo)矩陣；H(t)為周期系數(shù)矩陣；Tc為刀齒周期(時(shí)滯量)，Tc=60/(Nn)；N為刀具齒數(shù)；n為主軸轉(zhuǎn)速；ap為切削深度。

1.1 三維銑削力模型

在銑削螺桿轉(zhuǎn)子曲面時(shí)，由于數(shù)控系統(tǒng)中給出的進(jìn)給量沿著工件Zw軸方向，而刀具沿著Xc軸上下移動(dòng)，且刀具存在擺角，所以總的進(jìn)給量由Zw向及Xc軸復(fù)合而成。因此，首先要建立銑削力模型，如圖1所示[25]。

圖1 銑削力模型Fig.1 Milling force model

以瞬時(shí)剛性切削理論為依據(jù)，銑削過(guò)程中的瞬時(shí)切削厚度、切向銑削力，徑向銑削力、軸向銑削力的表達(dá)式如式(2)和式(3)所示

(2)

(3)

式中：ΔXc，ΔYc和ΔZc分別為Xc，Yc和Zc方向上盤(pán)銑刀銑削螺桿轉(zhuǎn)子曲面時(shí)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)位移；ft為橫向進(jìn)給率；fT為軸向進(jìn)給率。由于決定銑削穩(wěn)定性的是動(dòng)態(tài)銑削力，所以忽略靜態(tài)銑削力，將切向銑削力Ftl、徑向銑削力Frl和軸向銑削力Fal分別映射到刀具坐標(biāo)的Xc，Yc，Zc，可以得到三個(gè)方向的力如式(4)所示

(4)

1.2 三自由度動(dòng)力學(xué)模型

隨后在建立三自由度力學(xué)模型的-基礎(chǔ)上建立動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 三自由度動(dòng)態(tài)銑削動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Three-degree-of-freedom dynamic milling dynamic model

則銑削動(dòng)力學(xué)模型可以由下列方程進(jìn)行表示

(5)

式中：mtx，mty和mtz為刀具Xc，Yc和Zc方向的模態(tài)質(zhì)量；ξx，ξy和ξz為Xc，Yc和Zc方向的阻尼比；ωnx，ωny和ωnz為Xc，Yc和Zc方向的固有圓頻率。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：Kt為切向切削力系數(shù)；Kr為徑向切削力系數(shù)；Ka為軸向切削力系數(shù)；ωl(t)為第l個(gè)刀齒的位置角。

(15)

式中：ωst為刀具的切入角；ωex為刀具的切出角。對(duì)于順銑ωst=arccos(2b/D-1)，ωex=π；對(duì)于逆銑，ωst=0，ωex=arccos(1-2b/D)，其中b/D為徑向切深和直徑的比值。

(16)

其中，

(17)

(18)

2 參數(shù)識(shí)別

若要精確的求解動(dòng)力學(xué)模型，需要獲取盤(pán)銑刀的模態(tài)參數(shù)，介于盤(pán)銑刀結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，僅通過(guò)試驗(yàn)不易獲得三個(gè)方向的模態(tài)參數(shù)，因此本章采用模態(tài)試驗(yàn)與仿真結(jié)合的方法，獲取盤(pán)銑刀的模態(tài)參數(shù)。對(duì)裝配狀態(tài)下的盤(pán)銑刀進(jìn)行模態(tài)分析，獲得各階振型。

2.1 盤(pán)銑刀裝配狀態(tài)下的模態(tài)仿真分析

為精確分析盤(pán)銑刀動(dòng)態(tài)特性，采用有限元分析軟件對(duì)裝配狀態(tài)下的盤(pán)銑刀部件進(jìn)行模態(tài)分析，得到其前六階振型，其中前兩階如圖3所示。前六階振型的變形方向均圍繞Z軸，且X、Y、Z向模態(tài)參數(shù)相同。

圖3 裝配狀態(tài)下的盤(pán)銑刀前兩階模態(tài)振型Fig.3 Mode shape of disc milling cutter in assembly state

2.2 盤(pán)銑刀裝配狀態(tài)的諧響應(yīng)分析

在模態(tài)仿真分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行諧響應(yīng)分析可獲取其位移響應(yīng)所集中的位置，同時(shí)為模態(tài)試驗(yàn)提供支撐依據(jù)。根據(jù)振型圖，在盤(pán)銑刀形變位移最大的位置，選取三個(gè)位置分別施加300 N的簡(jiǎn)諧作用力，方向沿著刀具Z軸負(fù)方向。將諧響應(yīng)分析求解的最大頻率范圍設(shè)置為10 000 Hz，求解間隔設(shè)置為400，基于2.1節(jié)模態(tài)分析進(jìn)行求解，得到盤(pán)銑刀的時(shí)間位移響應(yīng)，如圖4所示。

通過(guò)圖4可知，Xc方向的響應(yīng)頻率峰值出現(xiàn)在1 725 Hz，3 925 Hz和4 400 Hz附近，Yc方向的響應(yīng)頻率峰值出現(xiàn)在1 725 Hz，1 800 Hz，3 925 Hz和4 400 Hz附近，Zc方向的響應(yīng)頻率峰值出現(xiàn)在1 725 Hz，3 925 Hz和4 400 Hz附近。由模態(tài)分析得到的盤(pán)銑刀裝配狀態(tài)下1階～6階的固有頻率分別為：1 724.9 Hz，1 725.9 Hz，1 788.7 Hz，3 919.6 Hz，4 430.5 Hz和4 432.2 Hz，由于盤(pán)銑刀存在重根模態(tài)的影響，故會(huì)出現(xiàn)重復(fù)頻率。因此在盤(pán)銑刀裝配狀態(tài)下諧響應(yīng)分析0～10 000 Hz頻率范圍內(nèi)，盤(pán)銑刀裝配狀態(tài)下1階～6階固有頻率容易激發(fā)。

圖4 Xc，Yc，Zc位移-頻率響應(yīng)曲線Fig.4 Frequency response curve in Xc,Yc and Zc directions of the assembled state of disc milling cutter

2.3 模態(tài)參數(shù)獲取試驗(yàn)

本次試驗(yàn)采用錘擊法獲取盤(pán)銑刀的刀尖頻響函數(shù)曲線，試驗(yàn)采用DEWEsoft公司的SIRIUS-ACC數(shù)據(jù)采集器，力錘和加速度傳感器采用IEPE型，試驗(yàn)過(guò)程采用移動(dòng)力錘法。根據(jù)模態(tài)仿真分析可知，盤(pán)銑刀在裝配狀態(tài)下前6階的模態(tài)振型不同且出現(xiàn)重根模態(tài)，根據(jù)模態(tài)振型位移最大位置布置傳感器。傳感器在盤(pán)銑刀的布置點(diǎn)以及試驗(yàn)臺(tái)布局分別如圖5和圖6所示。圖5中，按順時(shí)針?lè)较驅(qū)鞲衅鬟M(jìn)行編號(hào)分別為1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)和4號(hào)傳感器，根據(jù)傳感器布點(diǎn)位置，力錘敲擊產(chǎn)生振動(dòng)后即可獲得所關(guān)心頻率范圍內(nèi)的傳遞函數(shù)。

圖5 傳感器布置示意圖Fig.5 Schematic diagram of sensor arrangement

圖6 試驗(yàn)裝置示意圖Fig.6 Schematic diagram of experimental device

由頻響函數(shù)參數(shù)估計(jì)的基本方程中留數(shù)和模態(tài)振型之間的關(guān)系和模態(tài)振型矩陣的互易性可知，矩陣的每一列元素，都包含模態(tài)振型的信息，因此只要模態(tài)振型在Xc，Yc和Zc方向存在與參考自由度相關(guān)的振型，則測(cè)量數(shù)據(jù)就能觀察到模態(tài)信息。

每隔一個(gè)刀齒選取一個(gè)錘擊點(diǎn)，盡可能多的選取錘擊點(diǎn)數(shù)，試驗(yàn)采樣頻率設(shè)置為10 000 Hz，譜線數(shù)設(shè)置為8 192條，根據(jù)Nyquist理論，所能獲取的頻率窗口長(zhǎng)度為采樣頻率的一半，經(jīng)計(jì)算得采樣頻率的分辨率為0.61 Hz。根據(jù)傳感器布點(diǎn)，試驗(yàn)獲取的傳遞函數(shù)曲線及相干性曲線如圖7和圖8所示。通過(guò)圖7的幅頻特性曲線可以獲取模態(tài)的固有頻率以及阻尼比等模態(tài)參數(shù)信息。模態(tài)試驗(yàn)獲取的相干性曲線，反應(yīng)了響應(yīng)是否和激勵(lì)相關(guān)，當(dāng)響應(yīng)是由激勵(lì)引起時(shí)，相干性曲線的值接近1，則說(shuō)明兩者相關(guān)。反之，則不相關(guān)。

圖7 傳遞函數(shù)幅頻特性曲線Fig.7 Amplitude-frequency characteristic curve of transfer function

圖8 相干性曲線Fig.8 Coherence curve

根據(jù)模態(tài)仿真分析結(jié)果、模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及傳感器布點(diǎn)位置綜合分析可知，試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的一階頻率對(duì)應(yīng)模態(tài)仿真中的第三階固有頻率，其中的二階頻率對(duì)應(yīng)模態(tài)仿真分析中的第四階固有頻率。

除1號(hào)和2號(hào)傳感器測(cè)量的數(shù)據(jù)外，3號(hào)和4號(hào)傳感器的數(shù)據(jù)分別與1號(hào)和2號(hào)的數(shù)據(jù)非常接近，說(shuō)明盤(pán)銑刀具有良好的對(duì)稱性，但動(dòng)態(tài)特性又稍有區(qū)別，并非完全對(duì)稱。將試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模態(tài)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析可知，兩者的誤差均在10%以內(nèi)，如表1所示。由此可知仿真結(jié)果具有較高可信度。

表1 盤(pán)銑刀裝配狀態(tài)模態(tài)試驗(yàn)與模態(tài)仿真結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of assembly state modal experiment and simulation results of disc milling cutter

2.4 基于導(dǎo)納圓擬合法的模態(tài)參數(shù)識(shí)別

導(dǎo)納圓擬合法是一種比較直觀的方法，可以在數(shù)據(jù)質(zhì)量稍低時(shí)，在一定數(shù)據(jù)范圍內(nèi)搜索出峰值，擬合出峰值頻率。

根據(jù)傳遞函數(shù)幅頻特性曲線以及相干性曲線，可以判斷出本次試驗(yàn)數(shù)據(jù)良好。根據(jù)模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及導(dǎo)納圓擬合方法分析得到的數(shù)據(jù)如表2所示，表2中固有頻率、阻尼比、模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度對(duì)應(yīng)仿真數(shù)據(jù)中的第一、第二和第四階模態(tài)信息。由模態(tài)仿真分析可知，盤(pán)銑刀X、Y、Z三向的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼及模態(tài)剛度分別對(duì)應(yīng)相等，因此以表2中的一階模態(tài)參數(shù)作為后續(xù)穩(wěn)定性預(yù)測(cè)的計(jì)算數(shù)據(jù)。

表2 盤(pán)銑刀試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)Tab.2 Test modal parameters of disk milling cutter

2.5 平均切削力系數(shù)識(shí)別

刀齒在一個(gè)銑削周期的平均銑削力可以表示為

(19)

由于顫振和表面粗糙度等因素的影響，使刀具的每個(gè)旋轉(zhuǎn)周期測(cè)得的力都存在一定差值，因此選取刀具切削螺桿轉(zhuǎn)子1/5的切削力，即5頭螺桿切削過(guò)程的1/5部分所測(cè)得的瞬時(shí)銑削力數(shù)據(jù)的平均值作為平均銑削力，使用定積分計(jì)算不同的銑削加工參數(shù)下的平均銑削力數(shù)據(jù)，50 mm棒料作為試驗(yàn)材料，試驗(yàn)加工參數(shù)由正交試驗(yàn)法獲得，如表3所示。

表3 螺桿轉(zhuǎn)子曲面銑削試驗(yàn)方案Tab.3 Experimental plan for screw rotor milling

由正交試驗(yàn)表1可知，需進(jìn)行10組螺桿轉(zhuǎn)子銑削試驗(yàn)。其中：a為盤(pán)銑刀每加工一個(gè)截面沿工件Zw方向的位移量；n為盤(pán)銑刀轉(zhuǎn)速；F為加工倍率。根據(jù)試驗(yàn)方案，測(cè)得不同銑削參數(shù)下的銑削力試驗(yàn)數(shù)據(jù)，使用坐標(biāo)變換式將銑削力投影到刀具坐標(biāo)下，得到刀具坐標(biāo)系Oc-XcYcZc下三個(gè)方向所受的平均銑削力，如表4所示。

表4 刀具平均切削力Tab.4 Average cutting force of tool

將表4所示的平均銑削力帶代入式(19)中，分別計(jì)算出中各組銑削參數(shù)下的平均銑削力系數(shù)如表5所示,系數(shù)中的負(fù)號(hào)表示該方向的銑削力與文中規(guī)定的正方向相反。

表5 螺桿轉(zhuǎn)子平均銑削力系數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.5 Calculation result of average milling force coefficient of screw rotor

通過(guò)多元非線性回歸求得切向、徑向和軸向的模型，如式(20)、式(21)和式(22)所示

Kt=82 488.861+6 057.801a-745.850n-

1 552.520F-1 040.347a2+2.161n2+28.378F2

(20)

Kr=164 592.802+3 842.936a-1 717.104n-

1 184.012F-722.357a2+4.932n2+22.163F2

(21)

Ka=-84 180.568+995.286a+782.904n+

667.366F-5.972a2-2.212n2-11.324F2

(22)

3 數(shù)值求解

3.1 基于隱式Adams方法的數(shù)值分析

基于隱式Adams方法的穩(wěn)定性預(yù)測(cè)判斷流程如圖9所示。

圖9 穩(wěn)定性預(yù)測(cè)流程圖Fig.9 Flow chart of stability prediction

將式(1)進(jìn)行狀態(tài)空間變換，令初始時(shí)刻為t0，可以通過(guò)求解獲得

(23)

刀齒周期Tc可以分為兩個(gè)階段，自由振動(dòng)時(shí)間間隔tz和強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)間間隔Tc-tz。當(dāng)?shù)毒咛幱谧杂烧駝?dòng)時(shí)刻t，即t∈[t0,t0+tz]，則可以得到

x(t)=e(A(t-t0))x(t0)

(24)

加工過(guò)程中，當(dāng)?shù)毒咛幱趶?qiáng)迫振動(dòng)時(shí)刻t時(shí)，即t∈[t0+tz,Tc]，將強(qiáng)迫振動(dòng)的切削時(shí)間Tc-tz進(jìn)行離散，平均分成m個(gè)時(shí)間間隔，則每個(gè)時(shí)間間隔可以表示為h=(Tc-tz)/m，則相應(yīng)的離散點(diǎn)可以表示為

ti=t0+tz+(i-1)h,i=1,2,…,m+1

(25)

當(dāng)t∈[ti,ti+1]時(shí)，代入式(23)可以得到

(26)

當(dāng)i=1時(shí)，將式(25)代入式(24)可以得到狀態(tài)量x(t1)和時(shí)滯量x(tm+1-Tc)的關(guān)系，如式(27)所示

x(t1)=x(t0+tz)=e(Atz)x(t0)=

e(Atz)x(tm+1-Tc)

(27)

通過(guò)隱式Adams方法表示其他離散點(diǎn)，為了簡(jiǎn)化表達(dá)式，將B(ti)表示為Bi，將x(ti)表示為xi，x(ti-Tc)表示為xi-T。

19e(Ah)Bi(xi-xi-T)-5e(2Ah)Bi-1(xi-1-xi-1-T)+

e(3Ah)Bi-2(xi-2-xi-2-T)]

(28)

簡(jiǎn)化式(28)得到

Hi-2xi-2+Hi-1xi-1+(-e(Ah)+Hi)xi+(I+Hi+1)=
Hi-2xi-2-T+Hi-1xi-1-T+Hixi-T+Hi+1xi+1-T

(29)

聯(lián)立式(27)和式(29)可得

(30)

其中，

(31)

(32)

通過(guò)IAM法求得系統(tǒng)的狀態(tài)傳遞矩陣Φ為

Φ=M-1N

(33)

根據(jù)Floquet理論，當(dāng)傳遞矩陣Φ的特征值等于1時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界；當(dāng)傳遞矩陣Φ的特征值小于1時(shí)，系統(tǒng)處于漸進(jìn)穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)傳遞矩陣Φ的特征值大于1時(shí)，系統(tǒng)會(huì)進(jìn)入顫振狀態(tài)。

3.2 穩(wěn)定性分析

切向切削力系數(shù)、徑向切削力系數(shù)和軸向切削力系數(shù)可通過(guò)回歸模型式(20)、式(21)和式(22)計(jì)算得出。設(shè)置切向切削力系數(shù)Kt=10 499.441 N/m2，徑向切削力系數(shù)Kr=7 988.942 N/m2，軸向切削力系數(shù)Ka=-2 332.002 N/m2。將模態(tài)參數(shù)設(shè)置為表1中第一行參數(shù)，從安全性范圍考慮將主軸轉(zhuǎn)速范圍設(shè)置在常用的加工參數(shù)，主軸轉(zhuǎn)速n從150～230 r/min，并設(shè)置200個(gè)等間距的轉(zhuǎn)速；切削深度ap從0～4 mm，并設(shè)置200個(gè)等間距切削深度，穩(wěn)定性葉瓣圖構(gòu)成了200×200的網(wǎng)格。設(shè)置離散數(shù)m為40，使用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行數(shù)值仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10 螺桿轉(zhuǎn)子銑削穩(wěn)定性葉瓣圖Fig.10 Milling stability lobe diagram of screw rotor

如圖8所示，在穩(wěn)定性葉瓣圖中，曲線以下部分代表穩(wěn)定區(qū)域，即區(qū)域Ⅱ，在曲線以上的部分代表不穩(wěn)定區(qū)域，即區(qū)域Ⅰ。穩(wěn)定性葉瓣圖中存在多個(gè)葉瓣，所有葉瓣的最低點(diǎn)連成線所構(gòu)成的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)榻^對(duì)穩(wěn)定區(qū)域。可以為下一步的切削試驗(yàn)提供依據(jù)。

4 銑削試驗(yàn)

為驗(yàn)證本文提出的穩(wěn)定性預(yù)測(cè)方法，進(jìn)行螺桿轉(zhuǎn)子銑削試驗(yàn)。試驗(yàn)所用銑床為L(zhǎng)XK300G螺旋槽數(shù)控銑床，盤(pán)銑刀直徑為290 mm。被加工工件材料為45號(hào)鋼，直徑為50 mm，工件通過(guò)頂針和三爪卡盤(pán)固定，采用三個(gè)加速度傳感器多點(diǎn)布置，以保證采集振動(dòng)信號(hào)的質(zhì)量，如圖11所示。

圖11 試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)Fig.11 Test site

試驗(yàn)的加工參數(shù)為：螺桿為左旋，導(dǎo)程為400 mm，螺旋角為18.511°，出于安全性考慮，主軸轉(zhuǎn)速設(shè)定為160 r/min，170 r/min，180 r/min，190 r/min，200 r/min，210 r/min，Zc方向的間歇位移量為常用的加工范圍，將其設(shè)置為2.0 mm，2.5 mm，3.0 mm，3.5 mm，4.0 mm，4.5 mm，5.0 mm。將間歇位移量經(jīng)螺旋角轉(zhuǎn)換后得到切削深度如表6所示，將其反映到穩(wěn)定性葉瓣圖中，如圖12所示。

表6 銑削穩(wěn)定性試驗(yàn)參數(shù)Tab.6 Parameters for milling stability experiment

圖12 銑削穩(wěn)定性驗(yàn)證試驗(yàn)參數(shù)Fig.12 Experimental parameters for milling stability verification

選取不同的主軸轉(zhuǎn)速和切削深度進(jìn)行切削，利用DEWE Soft公司的SIRIUS-ACC數(shù)據(jù)采集器搜集振動(dòng)信號(hào)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論獲得不穩(wěn)定點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn)。穩(wěn)定點(diǎn)A的時(shí)域圖及頻譜圖如圖13所示。不穩(wěn)定點(diǎn)B的時(shí)域圖及頻譜圖如圖14所示。

圖13 穩(wěn)定點(diǎn)A的信號(hào)圖Fig.13 Signal diagram of stable point A

圖14 不穩(wěn)定點(diǎn)B的信號(hào)圖Fig.14 Signal diagram of unstable point B

由圖13和圖14可以看出，穩(wěn)定加工狀態(tài)和不穩(wěn)定加工狀態(tài)時(shí)域的振動(dòng)信號(hào)圖中幅值相差近200倍，點(diǎn)A和點(diǎn)B的頻域特征均存在振動(dòng)，該振動(dòng)信號(hào)是由于測(cè)點(diǎn)布置、工件之間結(jié)合部和加工過(guò)程盤(pán)銑刀徑向切入量的變化導(dǎo)致的，除穩(wěn)定點(diǎn)A和不穩(wěn)定點(diǎn)B的共同特征外，在不穩(wěn)定點(diǎn)B的頻域信號(hào)中存相似明顯的顫振頻率，表明在螺桿轉(zhuǎn)子銑削過(guò)程中存在顫振現(xiàn)象，與解析結(jié)果吻合良好。對(duì)其他組測(cè)試數(shù)據(jù)分析可以得到類(lèi)似結(jié)果。隱式Adams方法的計(jì)算機(jī)求解結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，且適用于三自由度螺旋曲面銑削系統(tǒng)，能夠準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)切削穩(wěn)定性。在計(jì)算效率方面，與全離散法進(jìn)行了對(duì)比，采用CPU為I5-4200U、內(nèi)存為12 G的便攜式計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，取離散度為40，全離散法耗時(shí)1 621.010 s，而隱式Adams方法耗時(shí)為682.128 s，耗時(shí)約為全離散方法的42%。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)螺旋曲面銑削系統(tǒng)在加工過(guò)程中產(chǎn)生的振動(dòng)現(xiàn)象，基于隱式Adams方法來(lái)預(yù)測(cè)螺旋曲面銑削加工過(guò)程的穩(wěn)定性，得到如下結(jié)論：

(1)通過(guò)分析螺旋曲面加工系統(tǒng)特性，建立了三自由度螺旋曲面銑削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。采用模態(tài)試驗(yàn)，利用錘擊法獲取傳遞函數(shù)幅頻特性曲線，并應(yīng)用導(dǎo)納圓擬合法提取穩(wěn)定性預(yù)測(cè)所需要的模態(tài)參數(shù)。

(2)提出基于隱式Adams的三自由度螺旋曲面銑削動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性預(yù)測(cè)方法，并通過(guò)銑削試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。試驗(yàn)結(jié)果表明，數(shù)值求解結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相吻合，即該方法適用于螺旋曲面銑削系統(tǒng)的穩(wěn)定性預(yù)測(cè)。