二元復(fù)合材料板的自由振動(dòng):半解析法1)

薛 堅(jiān) 牛牧青 張文勇 陳立群

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) (深圳)理學(xué)院,廣東深圳 518055)

引言

板結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用在航空、航天、航海以及建筑工程等領(lǐng)域[1-3].由于薄板結(jié)構(gòu)“輕”和“薄”的特性,其相對(duì)其他構(gòu)件來說更易產(chǎn)生振動(dòng)[4].結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶來的危害不容忽視.在交通運(yùn)輸領(lǐng)域,振動(dòng)會(huì)降低結(jié)構(gòu)的安全度和乘客的舒適度[5].在航空航天領(lǐng)域,振動(dòng)會(huì)影響航天器的工作性能,甚至引發(fā)安全事故.比如,有些火箭發(fā)射失利是由于振動(dòng)引發(fā)的故障.在工程實(shí)踐中,當(dāng)外激勵(lì)頻率接近板結(jié)構(gòu)的固有頻率時(shí),會(huì)出現(xiàn)共振現(xiàn)象.因此在板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)期間應(yīng)考慮的重要因素之一是它們的振動(dòng)特性[6-9].研究板結(jié)構(gòu)固有頻率和振型等振動(dòng)特性,對(duì)結(jié)構(gòu)安全有效地運(yùn)行具有重要的意義.

超材料中可調(diào)控的振動(dòng)帶隙為結(jié)構(gòu)的減振提供了新思路[10-12].從實(shí)際材料和結(jié)構(gòu)出發(fā),通過對(duì)結(jié)構(gòu)自身結(jié)構(gòu)形式和材料進(jìn)行合理設(shè)計(jì),可以得到低頻的局域共振帶隙[13-16].相對(duì)于超材料結(jié)構(gòu),二維的二元或三元周期結(jié)構(gòu)不需要附加其他構(gòu)件,也不影響與其他結(jié)構(gòu)的連通性.通過改變二元板結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)和幾何構(gòu)型可以調(diào)整帶隙位置和帶寬.目前針對(duì)二元或三元超材料板的研究工作主要集中在振動(dòng)帶隙的計(jì)算和分析上[17-18],研究的方法目前主要有平面波展開法[19-20]、有限元法[15]、有限差分法[21]等數(shù)值方法.而探究超材料板中局域共振單元的固有頻率和振型,能清晰、直觀地了解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性,為結(jié)構(gòu)和材料的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù).

二復(fù)合材料板一般由材料參數(shù)差異較大的硬材料和軟材料構(gòu)成.通過設(shè)計(jì)復(fù)合材料在板面內(nèi)的分布,可以改善結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性.然而,這種非均勻設(shè)計(jì)也增大了板結(jié)構(gòu)分析的困難.在分析梁板結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)問題的方法中,比較常見的有改進(jìn)傅里葉法、伽遼金法、區(qū)域分解法、里茲法等等.里茲法是一種基于能量變分的近似方法,在研究結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性方面表現(xiàn)出高效,易實(shí)施等特點(diǎn)[22-23].近幾年來,研究者們利用里茲法對(duì)各種非均勻板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究,例如階梯/加筋板[24-26]、帶孔板[27-28]、裂紋板[29-33].在Ritz 法實(shí)施過程中,最關(guān)鍵的一步是構(gòu)造能合理描述結(jié)構(gòu)特性且滿足邊界條件的試函數(shù).Gao等[25]將雅克比正交多項(xiàng)式和三角級(jí)數(shù)作為位移場(chǎng)的試函數(shù),并利用雅克比-里茲法研究了階梯環(huán)形和圓形板的振動(dòng)響應(yīng).Chan 和Tai[26]基于里茲法對(duì)階梯Mindlin 板進(jìn)行建模,利用分層高階梁?jiǎn)卧@得位移場(chǎng)的試函數(shù),得到的結(jié)果比使用均勻梁函數(shù)的精度更高.Deng 等[27]以雅克比多項(xiàng)式作為試函數(shù),在Ritz 法的框架下建立了聲學(xué)黑洞壓電懸臂梁的半解析模型.Huang 等[29]將裂紋函數(shù)和多項(xiàng)式組合成裂紋板位移場(chǎng)的試函數(shù),并利用帶特殊試函數(shù)的Ritz法研究了含裂紋功能梯度板的自由振動(dòng).Xue 和Wang[30]構(gòu)造了含裂紋加筋板位移場(chǎng)的試函數(shù),并研究了裂紋參數(shù)和筋條參數(shù)耦合作用下對(duì)結(jié)構(gòu)頻率和振型的影響規(guī)律.據(jù)作者所知,迄今為止沒有可用的解析模型可以分析二元復(fù)合材料板的自由振動(dòng).由于硬材料和軟材料在板平面內(nèi)的非均勻分布,直接使用帶有傳統(tǒng)全局試函數(shù)的Ritz 方法來研究該結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性可能會(huì)遇到收斂性和計(jì)算效率方面的問題.

本文針對(duì)含有方形嵌入體二元復(fù)合材料板的自由振動(dòng)問題,建立結(jié)構(gòu)的半解析模型,分析幾何構(gòu)型對(duì)板振動(dòng)特性的影響規(guī)律.根據(jù)二元材料的分布,將二維平板分解成兩個(gè)區(qū)域,分別構(gòu)建各區(qū)域的動(dòng)能和勢(shì)能.通過在板位移場(chǎng)中附加區(qū)域試函數(shù),來合理描述板內(nèi)材料參數(shù)巨大差異導(dǎo)致的局部位移非光滑性.基于兩區(qū)域的邊界條件,構(gòu)造位移場(chǎng)的試函數(shù).利用里茲法求得不同嵌入體尺寸和位置下板的固有頻率和振型.

1 理論建模

1.1 模型描述

通過在剛度較大的矩形基體板中嵌入一個(gè)低剛度矩形子板,得到二元復(fù)合材料板(如圖1 所示).根據(jù)材料參數(shù)的不同,將基體和嵌入體定義為板的兩個(gè)子區(qū)域①和②.將笛卡爾坐標(biāo)系的原點(diǎn)o建立在二元復(fù)合材料板的中點(diǎn).板在x和y方向的尺寸分別為a和b,矩形嵌入體在x和y方向的尺寸分別為a1+a2和b1+b2.

圖1 二元復(fù)合材料板的幾何形狀和尺寸Fig.1 Geometry and dimension of binary composite plates

1.2 結(jié)構(gòu)勢(shì)能和動(dòng)能

在自由振動(dòng)的分析中,存儲(chǔ)在體積為V的彈性體內(nèi)應(yīng)變能為

其中 εx,εy,εz,εxy,εxz,εyz是應(yīng)變分量,σx,σy,σz,σxy,σxz,σyz是應(yīng)力分量.

基于薄板理論,板的應(yīng)變能為

根據(jù)本構(gòu)關(guān)系,對(duì)式(2)在厚度z方向上積分,二元復(fù)合材料板兩個(gè)子區(qū)域的勢(shì)能可表示成與橫向位移w(k)(x,y)相關(guān)的函數(shù)

其中,Ak表示子區(qū)的中面,D(k)=E(k)h3/[12(1-v(k))2]是抗彎剛度,E(k)是子區(qū)材料的彈性模量,v(k)是泊松比,h是板的厚度.

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)假設(shè),密度為 ρ 物體的動(dòng)能為

其中,ρ(k)是每個(gè)子區(qū)的材料密度;分別表示板面內(nèi)位移和橫向位移對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù);對(duì)于橫向振動(dòng)的板,式中的=0.在厚度z方向積分之后,式(4)退化成

二元復(fù)合材料板各子區(qū)的動(dòng)能可表示成

1.3 邊界條件和振型函數(shù)

根據(jù)兩子區(qū)連接處的變形協(xié)調(diào)條件構(gòu)造位移場(chǎng)的振型函數(shù)是本文研究的關(guān)鍵步驟之一.對(duì)于均質(zhì)材料板,假設(shè)的振型函數(shù)只要線性無關(guān)且滿足基本邊界條件即可.而二元復(fù)合材料板中兩子區(qū)的材料參數(shù)具有數(shù)量級(jí)差異.傳統(tǒng)振型函數(shù)中多項(xiàng)式組合很難模擬剛度突變引起局部位移的非光滑性.本研究基于兩子區(qū)的邊界條件,通過在振型函數(shù)中附加區(qū)域試函數(shù),來描述板內(nèi)材料參數(shù)差異性導(dǎo)致位移或轉(zhuǎn)角的突變.

本文所提出方法適用于簡(jiǎn)支、懸臂和自由等多種邊界條件.為簡(jiǎn)明起見,選取最常見的四邊簡(jiǎn)支(SSSS)作為板的邊界條件.

對(duì)于SSSS 矩形板,其位移邊界條件為

兩子區(qū)在連接處的位移和轉(zhuǎn)角協(xié)調(diào)條件為

后文的Ritz 法求解需要選擇合適的線性無關(guān)且滿足本質(zhì)邊界條件位移場(chǎng)試函數(shù),以保證解的精度.綜合考慮計(jì)算的穩(wěn)定性、效率和結(jié)果的收斂速度等方面,本文選取切比雪夫多項(xiàng)式作為振型函數(shù)的基函數(shù)來計(jì)算二元復(fù)合材料板的固有頻率和振型.

切比雪夫多項(xiàng)式是正交多項(xiàng)式中比較常用的一種,一維切比雪夫多項(xiàng)式可以表示為

這里的 ψ(ζ)是與邊界條件相關(guān)的函數(shù),使得每個(gè)多項(xiàng)式 Ψi(ζ)都滿足任意的邊界條件;pi(ζ)是基函數(shù),其表達(dá)式為

令式子中的 ζ 等于2x/a,即可得到x方向的基函數(shù)

同理,令 ζ=2y/b就得到y(tǒng)方向的基函數(shù)

各個(gè)子區(qū)的橫向位移可以假設(shè)成

其中 ψ(x,y)和χ(x,y)分別是和邊界條件和變形協(xié)調(diào)條件相關(guān)的函數(shù).χ(x,y)具體表達(dá)式為

ψ(x,y)在不同的邊界條件下有不同的表達(dá)式,在SSSS 的邊界條件下,其表達(dá)式為

1.4 里茲法

本研究應(yīng)用Ritz 法來計(jì)算板的固有頻率和模態(tài).二元復(fù)合材料板的總能量為

將振型函數(shù)式(16)和式(17)代入到勢(shì)能式(3)和動(dòng)能式(6)之后再代入到板的總能量(18)中,然后分別對(duì)每一個(gè)待定系數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)得到相應(yīng)的方程組

這里將振型函數(shù)里所有的待定系數(shù)組成一個(gè)向量,向量的維數(shù)等于所有待定系數(shù)的總數(shù)=I×J+M×N,且q=.方程組(19)可以轉(zhuǎn)換成

從而導(dǎo)出一個(gè)特征值問題

其中K和M的元素可表示為

通過求解方程(21)得到的特征值和特征向量分別對(duì)應(yīng)的就是板的固有頻率和模態(tài).

2 結(jié)果分析

利用前文提出的方法,可計(jì)算不同邊界條件下任意兩種材料組成的二元復(fù)合材料板的固有頻率和振型.通過參數(shù)分析,研究嵌入體的幾何構(gòu)型和材料參數(shù)對(duì)板振動(dòng)特性的影響規(guī)律.本文分別選取彈性模量較小的環(huán)氧樹脂和彈性模量較大的Al2O3作為嵌入體和基體.具體材料參數(shù)為:E(1)=403 GPa,ρ(1)=3986 kg/m3,υ(1)=0.23,E(2)=4.35 GPa,ρ(2)=1180 kg/m3,υ(2)=0.37.

2.1 收斂分析及有限元驗(yàn)證

在Ritz 法中,隨著試函數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加,所得到的結(jié)果越來越接近于精確解.表1 通過改變式(14)和式(15)中全局試函數(shù)I和J以及區(qū)域試函數(shù)M和N的值,并求解方程(21)得到二元復(fù)合材料板固有頻率(l表示階數(shù)),來驗(yàn)證本文提出方法的收斂性和準(zhǔn)確性.其中,全局試函數(shù)里的I和J均取10,12,14,15 或16 而區(qū)域試函數(shù)M和N均取0,2,3,4,5 或6,M×N取0 表示沒有附加區(qū)域試函數(shù).板中嵌入體的幾何尺寸為:a1=a2=0.2a,b1=b2=0.2b.為對(duì)比起見,采用ABAQUS 里的S4 R 殼單元建立了二元復(fù)合材料板的有限元模型,并共劃分了2511 個(gè)網(wǎng)格.

根據(jù)表1,當(dāng)附加函數(shù)項(xiàng)數(shù)M=N=0 時(shí),隨著全局試函數(shù)I和J的增加,前五階固有頻率逐漸收斂到一個(gè)穩(wěn)定值.當(dāng)I×J分別取15×15 和16×16 時(shí),第一階和第四階頻率已經(jīng)分別穩(wěn)定在87.54和329.8,其他階的頻率變化不超過0.5%.值得注意的是:盡管傳統(tǒng)的全局試函數(shù)展現(xiàn)出一定的收斂性,但是收斂到的結(jié)果不一定是正確的;尤其是第四階頻率,使用全局試函數(shù)(I和J均取15 或16)得到的結(jié)果與有限元仿真結(jié)果差異極大(大于30%);然而,附加區(qū)域試函數(shù)可以大大提高計(jì)算效率和結(jié)果準(zhǔn)確性,I×J和M×M分別取15×15 和4×4 時(shí),結(jié)果與有限元結(jié)果的誤差幾乎等于0.從表1 中可以看出:區(qū)域試函數(shù)M=N=2 時(shí),第四階和第五階固有頻率快速降低,并且已經(jīng)收斂于精確解;而且隨著附加區(qū)域試函數(shù)項(xiàng)數(shù)M×N增加到4×4 時(shí),各階頻率都收斂到一個(gè)穩(wěn)定的值.通過與Abaqus 仿真結(jié)果對(duì)比,理論解與有限元法結(jié)果非常吻合,前五階頻率中最大誤差為3.6%,從而驗(yàn)證了本文所提出方法的正確性.

表1 二元復(fù)合材料板固有頻率的收斂性分析Table 1 Convergence of natural frequencies for the binary composite plates

圖2 給出了表1 中前五階固有頻率對(duì)應(yīng)的振型圖.將本文方法得到的振型圖與有限元結(jié)果進(jìn)行比較,兩者吻合良好.從圖中可以看出,第四階振型出現(xiàn)了明顯的振動(dòng)局部化,即嵌入體部分的位移較大,而基體板的位移非常小.這是因?yàn)榛w板的剛度遠(yuǎn)大于嵌入體的剛度導(dǎo)致的.此外,前面表1 中的收斂分析可知,僅使用全局試函數(shù)得到的第四階固有頻率無法收斂到一個(gè)準(zhǔn)確的結(jié)果.這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的全局試函數(shù)很難描述復(fù)合材料板面內(nèi)剛度突變以及振動(dòng)局部化問題.而附加區(qū)域試函數(shù)則是解決該問題的一個(gè)非常有效的途徑.

圖2 二元復(fù)合材料板前五階振型圖Fig.2 First five modes of binary composite plates

2.2 幾何尺寸分析

圖3 考察了嵌入體尺寸為a1=a2=0.25a,b1=b2=0.25b時(shí)板前兩階橫向位移和轉(zhuǎn)角的振型圖,圖中同時(shí)給出了振型的二維和三維視圖.和圖2 中的振型對(duì)比可以看出:隨著嵌入體面內(nèi)幾何尺寸增大,其固有頻率減小,局部振動(dòng)振型從第四階變成第二階,振動(dòng)局部化的區(qū)域也增大了.實(shí)際上二元復(fù)合材料板的振型可以看成是基板和嵌入體振型的耦合.而具有明顯振動(dòng)局域化的振型以及對(duì)應(yīng)的頻率主要和嵌入體的幾何尺寸和材料參數(shù)有關(guān).對(duì)單個(gè)矩形板來說,它的長(zhǎng)寬和固有頻率是直接成反比的.因此,嵌入體面內(nèi)幾何尺寸增大會(huì)顯著降低局域共振發(fā)生的頻率,所對(duì)應(yīng)的振型階數(shù)也會(huì)發(fā)生改變.圖4 給出了一階振型(w)、轉(zhuǎn)角(w,x)以及應(yīng)變(w,xx)在x=0處的截面圖.從圖4 和圖3 中轉(zhuǎn)角三維振型圖可以看出,在基體和嵌入體的連接處出現(xiàn)了明顯的非光滑現(xiàn)象,尤其是應(yīng)變?cè)趛/b=0.25 處發(fā)生了突變.兩種不同嵌入體尺寸板的前兩階振型截面圖(x=0)在圖5 中給出.從圖5 可以看出嵌入體尺寸越大,各階振型中局部的不光滑性就越明顯.

圖3 二元復(fù)合材料板振型圖Fig.3 Modes of binary composite plates

圖4 位移、轉(zhuǎn)角和應(yīng)變的截面圖(x=0)Fig.4 Sectional view of displacement,rotation and strain (x=0)

圖5 不同嵌入體尺寸下板振型截面圖(x=0)Fig.5 Cross-sectional views of the modes of the plates with different inlay sizes (x=0)

2.3 嵌入體位置研究

圖6 和圖7 分別考察了不同嵌入體位置下二元復(fù)合材料板的固有頻率和振型.case A 表示嵌入體的中心與板的中心重合,其幾何尺寸與2.1 中的算例保持一致.case B 和case C 中嵌入體的幾何尺寸分別為a1=0.3a,a2=0.1a,b1=0.1b,b2=0.3b和a1=0.2a,a2=0.2a,b1=0.1b,b2=0.3b.從固有頻率對(duì)比(如圖6)可以看出:嵌入體位置對(duì)低階頻率的影響比高階頻率要小,嵌入體位置在一定范圍內(nèi)的變化對(duì)一階固有頻率的影響可以忽略不計(jì).這是因?yàn)榍度塍w位置的變化不會(huì)影響二元復(fù)合材料板整體的剛度,因此對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率影響較小.結(jié)合圖2 和圖7,通過對(duì)比三種情況下板的振型,可以得出嵌入體的位置對(duì)振型影響比對(duì)固有頻率的影響更明顯,尤其是第二階振型.因?yàn)閷?duì)基體板而言,嵌入體的剛度非常小,因此嵌入體所在的位置更容易出現(xiàn)較大的位移.將三種情況下的第二階和第四階振型對(duì)比發(fā)現(xiàn):嵌入體的位置決定了振動(dòng)模態(tài)中振動(dòng)節(jié)線和位移最高點(diǎn)的分布,即可以通過改變嵌入體的位置調(diào)整振動(dòng)局部化的位置.

圖6 不同嵌入體位置下二元復(fù)合材料板固有頻率Fig.6 Frequencies of the plate with different inlay locations

圖7 不同嵌入體位置下二元復(fù)合材料板的振型Fig.7 Modes of the plate with different inlay locations

3 結(jié)論

本文建立了二元復(fù)合材料板自由振動(dòng)的半解析模型,并通過有限元分析驗(yàn)證了理論方法與結(jié)果的正確性.通過參數(shù)分析,探究了嵌入體幾何尺寸和位置對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的影響規(guī)律,并得到以下結(jié)論.

(1)通過在位移的振型函數(shù)中附加區(qū)域試函數(shù),可以合理描述復(fù)合材料板面內(nèi)剛度突變引起局部位移、轉(zhuǎn)角和應(yīng)變的非光滑性.

(2)在利用里茲法分析具有振動(dòng)局部化的模態(tài)時(shí),使用全局試函數(shù)會(huì)得到不準(zhǔn)確的結(jié)果,而附加區(qū)域試函數(shù)可以顯著提高收斂速度以及結(jié)果的準(zhǔn)確性.

(3)嵌入體和基體材料參數(shù)的差異性會(huì)導(dǎo)致二元復(fù)合材料板出現(xiàn)明顯的振動(dòng)局部化.振型中振動(dòng)局部化的位置由嵌入體的位置決定.具有該現(xiàn)象振型階數(shù)隨著嵌入體尺寸的增大而減小,即振動(dòng)局部化振型可以通過增大嵌入體的尺寸向低頻移動(dòng).