數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)涵、價(jià)值及教學(xué)策略

福建省寧德市東僑經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第二小學(xué) 肖麗梅

一、數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)涵

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)量關(guān)系常擴(kuò)展為抽象的、形式化的數(shù)學(xué)對(duì)象，如數(shù)、式、方程等，我們稱之為“數(shù)”；空間形式常擴(kuò)展為有形的、可視的數(shù)學(xué)對(duì)象，如圖形、圖像、曲線等，我們稱之為“形”?！皵?shù)”構(gòu)成了數(shù)學(xué)抽象化的符號(hào)語言，“形”構(gòu)成了數(shù)學(xué)直觀化的圖形語言，各有各的優(yōu)勢(shì)?！皵?shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最基本的研究對(duì)象，它們是有聯(lián)系的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。把數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來考察，根據(jù)解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)際需要，可以把“數(shù)”問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題去討論，或者把“形”的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題來研究，利用數(shù)形相互轉(zhuǎn)化、取長補(bǔ)短，這就是“數(shù)形結(jié)合思想”。它既是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，也是一種有效的教學(xué)方法。它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用一般可分為兩種情形：一是借助數(shù)的精確性、程序性和可操作性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；二是借助形的幾何直觀性來闡明某些概念及數(shù)之間的關(guān)系，即“以形助數(shù)”。兩者相輔相成、揚(yáng)長避短。正如數(shù)學(xué)家華羅庚說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。

二、數(shù)形結(jié)合思想方法在計(jì)算教學(xué)中的價(jià)值

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是小學(xué)生必須掌握的基本技能。運(yùn)算能力在2011版課程標(biāo)準(zhǔn)中作為十大核心詞之一被提出，更是凸顯計(jì)算教學(xué)的重要性。近年來，隨著計(jì)算教學(xué)理念的不斷更新，越來越多的一線教師注重引導(dǎo)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上歸納算法，實(shí)現(xiàn)算理與算法的和諧統(tǒng)一。如何有效讓學(xué)生理解運(yùn)算背后的道理，筆者認(rèn)為運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的第二種情形，即“以形助數(shù)”，借助小棒圖、點(diǎn)子圖、方格圖等具體可感的圖形可以幫助學(xué)生理解算理。其本質(zhì)就是用直觀的幾何圖形呈現(xiàn)抽象的算理，從而把學(xué)生的抽象思維和形象思維有機(jī)地融合起來。這樣，學(xué)生理解算理就言之有物、有跡可循了。從而使學(xué)生在掌握單一的計(jì)算方法、技能的基礎(chǔ)上感悟數(shù)學(xué)思想，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律和本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，更好地將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法在計(jì)算教學(xué)中的策略

（一）在低年級(jí)計(jì)算教學(xué)中利用小棒圖以形助數(shù)，直觀理解算理

縱觀蘇教版低年級(jí)的數(shù)學(xué)教材，小棒無疑是重要的學(xué)具之一，用小棒有結(jié)構(gòu)地表示數(shù)，能形象表達(dá)數(shù)的組成，有助于學(xué)生感受數(shù)值。計(jì)算教學(xué)中經(jīng)常采用擺小棒，能把抽象的數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成直觀的物化動(dòng)作，不但能得到計(jì)算結(jié)果，也蘊(yùn)含了計(jì)算的過程與方法。教師在教學(xué)過程中要善于引導(dǎo)學(xué)生把小棒用好用活，利用小棒呈現(xiàn)計(jì)算過程，借助小棒圖的圖形語言來突破重難點(diǎn)，將有助于學(xué)生直觀理解計(jì)算的原理。

例如蘇教版一年級(jí)下冊(cè)《100以內(nèi)的加法和減法（二）》，這個(gè)單元中加法里的進(jìn)位和減法里的退位都是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的計(jì)數(shù)規(guī)則在計(jì)算時(shí)的具體應(yīng)用。學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，必須理解其進(jìn)位和退位原理，懂得為什么“個(gè)位滿10要向十位進(jìn)1”，為什么“十位退1到個(gè)位要作10”。這既是本單元教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。教學(xué)時(shí)有效進(jìn)行小棒的操作，可以引導(dǎo)學(xué)生從形象到抽象地理解進(jìn)位和退位。如教學(xué)例1：24+6時(shí)，學(xué)生會(huì)根據(jù)已有的兩位數(shù)加一位數(shù)的口算思路，很自然地先算4加6得10。這時(shí)該怎么辦？讓他們擺小棒激活“10根小棒應(yīng)該捆成一捆”的經(jīng)驗(yàn)（如圖1），形象地看出以后，再算20+10=30。這就在不進(jìn)位的兩位數(shù)加一位數(shù)的基礎(chǔ)上，凸顯了進(jìn)位加法的特點(diǎn)，既加強(qiáng)了口算的基本思路，又解決了第一步計(jì)算的得數(shù)滿10的矛盾。教學(xué)例2 ：30-8時(shí)，學(xué)生看到算式也打算像不退位減法那樣計(jì)算，但不知道先算幾減幾。這時(shí)也讓學(xué)生擺小棒計(jì)算，要想從3捆中拿走8根，必須拆開1捆變成10根，從中再拿走8根（如圖2），這里的拆一捆變10根就是退位減法中借1當(dāng)十的直觀詮釋。教學(xué)兩道例題都重在引導(dǎo)學(xué)生擺小棒，既用了教學(xué)口算時(shí)的方法，又能直觀形象地表現(xiàn)出為什么進(jìn)位或退位，與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)比較接近。這樣，進(jìn)位和退位的算理更加深入人心，重難點(diǎn)的突破就水到渠成了。

圖1

圖2

又如教授蘇教版二年級(jí)《乘法的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把相同加數(shù)連加的算式改寫成乘法算式，絕大數(shù)學(xué)生能把加法“3+3+3+3+3”改寫成乘法算式“5×3”或“3×5”，也能把加法算式“5+5+5”改寫成乘法算式“5×3”或“3×5”，但是學(xué)生不能理解其中的道理。對(duì)此會(huì)有困惑：不同的加法算式怎么可以改寫成相同的乘法算式呢？借“形”助“數(shù)”，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以幫助學(xué)生深刻理解現(xiàn)象背后的道理。教師可以出示一組小棒圖，每行5根，擺3行。引導(dǎo)學(xué)生豎著看，每列3根小棒，用加法算式是“3+3+3+3+3”，表示的是5個(gè)3相加；橫著看，每行5根，用加法算式是“5+5+5”，表示的是3個(gè)5相加。所以它們都可以用相同的算式“3x5”或“5x3”來表示。這是一組簡單的小棒圖，但可以幫助學(xué)生直觀地理解乘法算式的意義，加深學(xué)生對(duì)乘法概念的理解，促進(jìn)學(xué)生深度思考。

（二）在中年級(jí)計(jì)算教學(xué)中利用點(diǎn)子圖以形助數(shù)，溝通理解算理

中年級(jí)計(jì)算教學(xué)主要以整數(shù)乘、除法為主。教材除了兩位數(shù)乘或除以一位數(shù)依然沿用小棒圖來幫助學(xué)生理解算理外，更多的例題是引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系中理解算理、感悟算法。對(duì)于思維水平還處在具體運(yùn)算階段的中年級(jí)學(xué)生來說，如果能在分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上也用圖形語言來幫助理解算理，無疑是錦上添花的教學(xué)。

如教授蘇教版三年級(jí)下冊(cè)《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》，這節(jié)課是整數(shù)乘法學(xué)習(xí)過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，具有很強(qiáng)的基礎(chǔ)性。例3的教學(xué)重在意義建構(gòu)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的豎式，理解為什么分兩步乘，以及每一步乘的結(jié)果為什么要寫在規(guī)定的位置上。教學(xué)時(shí)首先讓學(xué)生想辦法解決實(shí)際問題，收集能夠建構(gòu)豎式的解法。兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，其本質(zhì)是應(yīng)用乘法分配律，把兩位數(shù)乘兩位數(shù)分解成兩位數(shù)乘十位數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)，并把兩部分的結(jié)果相加。三年級(jí)學(xué)生沒有學(xué)過乘法分配律，不可能聯(lián)系運(yùn)算律來理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，只能聯(lián)系實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系來感悟算法。例題已知每箱南瓜24個(gè)，12箱一共有多少個(gè)？列出算式24×12后，交流算法時(shí)應(yīng)突出“蘿卜”卡通的想法，即結(jié)合情境圖給的啟發(fā)：已經(jīng)搬來10箱，還有2箱正在搬，可以先求10箱和2箱各有多少個(gè)，再合起來。接著利用這種算法構(gòu)建乘法豎式，聯(lián)系解決實(shí)際問題的步驟，具體講述豎式的結(jié)構(gòu)及其原理，有序展示豎式的形成過程（如下圖）。

教學(xué)不該到此為止，教師還需思考如何運(yùn)用圖形語言溝通豎式計(jì)算的算理，讓學(xué)生體驗(yàn)由算理直觀化到算法抽象化的過程，巧妙運(yùn)用點(diǎn)子圖來探索可將這一過程具體形象地表現(xiàn)出來。出示點(diǎn)子圖，引導(dǎo)學(xué)生在圖中圈出點(diǎn)子表示豎式計(jì)算的過程（如圖3），這樣就將學(xué)生抽象的思路外顯化。指 出24×2=48、24×10=240、48＋240=288 分別在圖的哪里？針對(duì)教學(xué)中的難點(diǎn)“240 中的 4 為什么要寫在十位上，1 為什么寫在百位上，能在點(diǎn)子圖上找到它的位置嗎？ ”用問題串充分勾連了點(diǎn)子圖與豎式之間的聯(lián)系引發(fā)學(xué)生深度思考。

圖3

在此基礎(chǔ)上提煉出豎式的計(jì)算步驟與每一步的計(jì)算內(nèi)容，從而歸納算法，可以將豎式過程修改如下：

這樣將點(diǎn)子圖的圈一圈與乘法豎式計(jì)算一一對(duì)應(yīng)，溝通了直觀操作與抽象算理之間的聯(lián)系，使“先分后合”與乘法豎式計(jì)算的基本思路融為一體，讓學(xué)生明確了筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)就是用第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位和十位的數(shù)依次與第一個(gè)乘數(shù)相乘，然后再把積相加。正因?yàn)橥ㄟ^點(diǎn)子圖把數(shù)形結(jié)合思想巧妙滲透，它就像一座橋梁，把“冰冷”的口算和“神秘”的豎式算理緊密地聯(lián)系起來， 使學(xué)生在不知不覺中知其然更知其所以然。

（三）在高年級(jí)計(jì)算教學(xué)中利用方格圖以形助數(shù)，深化理解算理

高年級(jí)的計(jì)算教學(xué)主要以小數(shù)和分?jǐn)?shù)為主，其中小數(shù)的計(jì)算是建立在整數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，它們的計(jì)算原理有很大的相似性。而在有關(guān)分?jǐn)?shù)計(jì)算的教學(xué)中，我們通常會(huì)利用畫方格圖來引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，從中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的聯(lián)系、規(guī)律，從而既直觀又深刻地理解計(jì)算的原理，提高計(jì)算的能力。例如蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》這節(jié)課，教學(xué)時(shí)先出示例4，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“看圖—寫式—求積”的過程，感受“分子相乘、分母相乘”的可能性。接著出示例5，引導(dǎo)學(xué)生通過“看式—畫圖—求積”體驗(yàn)“分子相乘、分母相乘”的合理性。

圖4

總之，在計(jì)算教學(xué)中，利用數(shù)形結(jié)合思想可將復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，是教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法。適當(dāng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)幫助學(xué)生理解算理、掌握算法有著舉足輕重的作用。在計(jì)算教學(xué)中，充分挖掘計(jì)算教學(xué)的核心內(nèi)容， 將數(shù)形結(jié)合思想滲透于具體的數(shù)學(xué)問題中，在讓學(xué)生解決問題中正確理解算理，掌握算法，幫助學(xué)生積累用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，組織引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以形助數(shù)的簡潔性進(jìn)行評(píng)估反思，不斷優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。都說“授之以魚 ，不如授之以漁”，方法的掌握、思想的形成 ，才能最終使學(xué)生受益終生。讓我們每一位教師都能巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生順利走進(jìn)數(shù)學(xué)的神奇殿堂。