用相容的Riccati方程展開法構(gòu)造的KdV方程的相互作用解*①

劉 宇，譚志云

(1.貴州師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550001；2.遵義師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州 遵義 563006)

0 引言

非線性波動(dòng)方程是描述非線性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，在物理學(xué)、數(shù)學(xué)、化學(xué)和生物學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，尋找其精確解一直是非線性科學(xué)中的一個(gè)研究熱點(diǎn)[1].一般情況下，使用線性疊加原理無(wú)法求出非線性波動(dòng)方程的一般解，只能得到其中一類或者幾類方程的特解.到目前為止，研究者提出了B?cklund變換法[2]、Darboux變換法[3]、Hirota雙線性算子法[4]、Panlevé截?cái)喾╗5]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[6]、平衡截?cái)喾╗7]、Tanh函數(shù)展開法[8]等方法求解非線性波動(dòng)方程的精確解.

KdV方程是一類基本的非線性波動(dòng)方程，它是荷蘭科學(xué)家特韋格(Korteweg)和德弗里斯(de Vries)在研究淺水波運(yùn)動(dòng)時(shí)提出的一種偏微分方程[9].近年來(lái)，許多學(xué)者都對(duì)該方程的求解進(jìn)行了研究，并且得到了較為豐富的行波解[10-15].文獻(xiàn)[15]運(yùn)用相容的Riccati方程展開法構(gòu)造了正向展開的形式解進(jìn)行求解，但漏掉了一些特解.本文運(yùn)用CRE方法，通過(guò)齊次平衡法構(gòu)造了KdV方程含有Riccati函數(shù)正負(fù)展開項(xiàng)的形式解.通過(guò)符號(hào)計(jì)算，我們得到了四種情況下KdV方程的單孤子解、孤立波和橢圓周期波相互作用解.當(dāng)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)時(shí)，KdV方程會(huì)出現(xiàn)新的精確解形式，這些解有助于研究KdV方程孤立波和橢圓周期波的相互作用結(jié)構(gòu)以及它們的動(dòng)力學(xué)演化行為.

1 CRE方法

2015年樓森岳提出了相容的Riccati方程展開法，即CRE方法[16].該方法是基于Riccati方程的孤立波解，構(gòu)造相容性方程并進(jìn)行求解，由此得到孤子波與其他形式的波的相互作用.

考慮非線性波動(dòng)方程

P(t,x1,x2,…,xn,u)=0.

(1)

設(shè)它的形式解為

(2)

其中u和ω均為關(guān)于x,t的函數(shù)；N為正整數(shù)，其值由平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)決定；R(ω)滿足Riccati方程

(3)

其中σ，p，q為任意常數(shù).將(2)和(3)代入方程(1)，可以得到一個(gè)關(guān)于R(ω)的方程.令R(ω)的各次冪的系數(shù)為0，可解出ui的關(guān)系式，將ui代入(2)中便可得到方程(1)的解.在令R(ω)的各次冪的系數(shù)為0的過(guò)程中，往往會(huì)出現(xiàn)方程的個(gè)數(shù)多于未知數(shù)個(gè)數(shù)的情況，即代數(shù)方程組是一個(gè)超定方程組，這樣便產(chǎn)生了方程(1)的相容性條件

F(ω)=0.

(4)

如果方程(4)有解ω(x,t),將它代入(2)，便能得到方程(1)的解.

2 KdV方程的相互作用解

考慮如下的KdV方程[16]：

ut-6u2ux+uxxx=0.

(5)

通過(guò)平衡方程(5)的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)可得N=1.

設(shè)方程(5)的截?cái)嘟鉃?/p>

(6)

將(6)代入(5)并結(jié)合式(3)，得到方程E(詳見附錄).

由E可以看出，正負(fù)展開后，指數(shù)互為相反數(shù)的兩項(xiàng)的系數(shù)之間存在關(guān)聯(lián).要令各項(xiàng)系數(shù)為0，則正負(fù)展開相對(duì)應(yīng)的項(xiàng)須同時(shí)為0，因此所需要的限定條件比文獻(xiàn)[9,16]中的單純正向展開要多，且u2，u1，σ，p，q，ωxx中的任意一項(xiàng)須為0，各項(xiàng)系數(shù)為0才有解.當(dāng)u2=0時(shí)，結(jié)果退化為文獻(xiàn)[16]的正向展開；當(dāng)q=0時(shí)，Riccati方程無(wú)孤子解，不予考慮.當(dāng)u1=0時(shí)，結(jié)果變?yōu)樨?fù)向展開.

2.1 負(fù)向展開的情況

令方程E中R4和R-4的系數(shù)同時(shí)為0，解得

u1=0,u2=-σωx.

(7)

當(dāng)u1=0時(shí)Ri的系數(shù)均為0，i=1,2,3,4.

令方程E中R-3的系數(shù)為0，解得

(8)

令方程E中R-2的系數(shù)為0，解得

(9)

將方程(7)、(8)、9)代入E中，驗(yàn)證所有系數(shù)都為0，即可判定(9)為方程(5)的相容性條件.

由此可判斷，當(dāng)ω(x,t)滿足方程(9)時(shí)，方程(5)有解

(10)

假定方程(9)有形式解

ω=k1x+ω1t+F(k2x+ω2t)，

(11)

令

k2x+ω2t=ξ，

則Fξ滿足第一類橢圓函數(shù)方程

(12)

其中C0，C1，C2為任意常數(shù).當(dāng)C0=1，C1=-1-k2，C2=k2時(shí)，方程(12)的解為Jacobi橢圓正弦函數(shù)

Fξ=sn(x,k)，

(13)

其中k表示Jacobi橢圓正弦函數(shù)的模數(shù)，其取值范圍為0

(14)

將(14)代入(11)，得

(15)

方程(5)的解為

其中

C=cn(tω2+k2x,k),D=dn(tω2+k2x,k),S=sn(tω2+k2x,k),(1)這里cn,dn和sn分別表示Jacobi余弦函數(shù) 、Jacobi正切函數(shù)和Jacobi正弦函數(shù).

通過(guò)對(duì)圖1、圖2和文獻(xiàn)[15]中的結(jié)果對(duì)比分析，可以看出方程(5)的結(jié)構(gòu)解在正向展開時(shí)的系數(shù)不同于負(fù)向展開時(shí)的系數(shù)，但仍能得到類似的孤立波相互作用解.

2.2 σ=0的情況

令方程E的各項(xiàng)系數(shù)為0，解得

(16)

(17)

方程(17)是相容性方程，當(dāng)它有解ω(x,t)時(shí)，方程(5)有解

(18)

為構(gòu)造方程(5)的孤立波和Jacobi橢圓函數(shù)波的相互作用解，假定方程(17)有形如式(11)的形式解，且Fξ滿足第一類橢圓函數(shù)方程(12)，將方程(11)和(12)代入(17)，得

令F'(w2t+k2x)的各項(xiàng)系數(shù)為0，得

(19)

將第一類橢圓函數(shù)方程的條件(C0=1,C1=-1-k2,C2=k2)代入(19)，解得

(20)

在約束條件(19)和(20)下，方程(17)的解為

(21)

進(jìn)而

其中

C=cn(tω2+k2x,k),D=dn(tω2+k2x,k),S=sn(tω2+k2x,k),

圖3和圖4分別展示了t=0時(shí)方程(5)的相互作用解的結(jié)構(gòu)及其隨時(shí)間的演化行為.

當(dāng)σ=0時(shí)u2為0，原式退化為正向展開，與文獻(xiàn)[15]不同的是，σ為0條件下的相容性條件與單純的正向展開條件下的相容性條件不同，進(jìn)而導(dǎo)致k1,ω1,k2,ω2等值的限定條件也不同，因此畫出來(lái)的圖形也有所差別，具體表現(xiàn)為孤立波和Jacobi橢圓周期波之間的幅度偏差相比于正向展開較小.

2.3 p=0的情況

令方程E的各項(xiàng)系數(shù)為0，解得

(22)

同樣可以判斷

(23)

為方程(5)的相容性條件.

將(22)代入(6)，得到方程(5)的解為

(24)

將(11)和(12)代入(23)，解得

令F'(tw2+k2x)的各項(xiàng)系數(shù)為0，解得

(25)

將C0=1,C1=-1-k2,C2=k2代入(25)，解得

(26)

則

其中

C=cn(tω2+k2x,k),D=dn(tω2+k2x,k),S=sn(tω2+k2x,k),

當(dāng)k2取-1時(shí)u的圖像如圖5和圖6所示，它們分別展示了p=0時(shí)方程(5)的相互作用解的結(jié)構(gòu)及隨時(shí)間演化的過(guò)程.

由圖5和圖6可知，當(dāng)p=0時(shí)，方程(5)的解出現(xiàn)周期性、漸進(jìn)性的爆破現(xiàn)象，且爆破現(xiàn)象呈現(xiàn)一定的對(duì)稱性.

2.4 ωxx=0的情況

令方程E的各項(xiàng)系數(shù)為0，解得

(27)

其中(27)就是方程(5)的相容性條件.當(dāng)ω(x,t)為形如(11)的形式解時(shí)，方程(5)有解

(28)

在構(gòu)造ω的函數(shù)時(shí)，由于需要滿足ωxx=0，令

ω=k1x+ω1t+k2x+ω2t.

(29)

這種情況下所構(gòu)造的圖像為單個(gè)孤立波.

將(29)代入(28)，解得

(30)

從而

其中

圖7 ωxx=0時(shí)KdV方程孤立波與橢圓周期波的相互作用解 圖8 ωxx=0時(shí)KdV方程孤立波與橢圓周期波隨時(shí)間變化的相互作用解

3 結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用CRE法證明了KdV方程(5)的CRE可解性，給出了該方程在四種不同情況下的解,并通過(guò)作圖使復(fù)雜的解析解可視化.CRE方法能否用于尋找方程(5)的其他形式的解，能否用于求解形式不同于(5)的結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的非線性偏微分方程？這有待于進(jìn)一步的研究.