具有非中心泊松噪聲的隨機食草動物植物傳粉者模型的長期演化行為*①

劉詩嘉，李 琦，高一天，黃在堂

(南寧師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,廣西 南寧 530100)

1 引言

植物和傳粉者之間的相互作用是非常有趣和復雜的.這兩個物種相互依賴，植物為傳粉者提供食物，傳粉者在獲得食物(花粉、花蜜或兩者兼而有之)的過程中為植物傳粉.這種互動關系通常被歸類為互惠互利關系.植物物種依靠傳粉者獲得繁殖成功，從而物種生存下來，而傳粉者依靠植物獲得食物資源.在極端情況下，兩個物種都離不開另一個物種[1，2].

1976年， May[3，4]首先提出了一個植物傳粉者模型，模擬了植物與其傳粉者之間具有義務關系的相互作用.為了避免模型出現(xiàn)不切實際的種群增長，May將植物從傳粉者身上獲得的益處和產(chǎn)生的曲線等位線的飽和效應結合起來.他最后解釋了為什么在溫帶生態(tài)系統(tǒng)中，義務共生不如在熱帶生態(tài)系統(tǒng)中突出.由于食草動物以花為食，因而降低了許多植物物種的繁殖成功率，這一點已經(jīng)得到了充分的證明.成功率的降低主要是由于配子的丟失.然而，花被食草動物攻擊可能會通過減少傳粉者的服務間接地阻礙植物的繁殖[5-8].因為傳粉者對花的形態(tài)變化有反應.當食草動物攻擊花朵時，造成的破壞會降低每朵花的廣告屬性，減少每次展示的花朵數(shù)量，降低傳粉者的獎勵.傳粉者對植物的訪問次數(shù)減少可能會導致植物繁殖成功率降低.Jang[9]以植物傳粉者模型為基礎，將一種食草動物物種引入該系統(tǒng).具體來說，他將生物學觀察納入模型，并提出了食草動物植物傳粉者模型.此后，Sánchez-Garduo等人[10-15]討論食草動物植物傳粉者模型的動力學.

最近(2019年)，Castellanos[16]提出了一個非線性食草動物植物傳粉者數(shù)學模型，用于描述三個同質種群：兩個共生種群，第三個種群早于兩者的某一個.該模型即食草動物-傳粉昆蟲-植物模型

(1.1)

其中g∈C1[0,∞],g(0)=1,g′(z)≤0,g(z)>0,?z≥0,且S,f,h分別表示

其中，x,y,z分別表示傳粉昆蟲、植物和食草動物在t時刻的種群密度.k1為每次授粉的效率常數(shù)，μ為傳粉昆蟲每次訪問植物獲得的能量獎勵，α為植物死亡率.k表示傳粉昆蟲的多樣性水平即傳粉昆蟲對于植物的專一性，當k=0時，沒有植物，從而傳粉昆蟲不能生存；當k遠大于0 時，授粉昆蟲的數(shù)量基本沒有變化.φ為一個與采蜜速度成反比的常數(shù)，k2是能量轉化常數(shù).b為密度相關調節(jié)常數(shù)，m1為食草動物最大攝食率，m2為食草動物最大出生率，a,c為與食草動物攝食量有關的參數(shù).β為食草動物死亡率，與種群密度無關.g(z)表示傳粉昆蟲訪問率的減少量，與食草動物的種群密度有關.

由于自然界中的種群系統(tǒng)不可避免地遭受突然的環(huán)境干擾，如火山爆發(fā)、海嘯、臺風、地震等[17-20]，因此，在種群模型中引入爆噪聲或泊松噪聲來描述這種連續(xù)或不連續(xù)系統(tǒng)是很自然的[21-25].但目前很多種群系統(tǒng)都是確定性的，它們的演化完全由初始數(shù)據(jù)決定，這顯然與自然界的現(xiàn)象不一致.在對確定性食草動物植物傳粉者模型研究過程中，人們?nèi)菀缀雎宰匀唤缰杏捎诠庹?、水分、空氣、溫度、濕度等環(huán)境因素對物種生存的影響，這些因素都可能導致食草動物植物傳粉者模型中種群密度的隨機波動.因此，在食草動物植物傳粉者模型中引入適當?shù)沫h(huán)境噪聲因素，能使對食草動物植物傳粉者模型的研究更加貼近實際.因此，本文考慮具有非中心泊松噪聲的隨機食草動物植物傳粉者模型

(1.2)

其中σi(i=1,2,3)是噪聲強度，γi(t,u),δi(t,u)(i=1,2,3)是正的連續(xù)有界函數(shù).ωi(t)(i=1,2,3)是相互獨立的標準一維維納過程，Ni(dt,du)(i=1,2,3)是相互獨立的泊松過程，且泊松過程與維納過程相互獨立.設νi(A)(i=1,2)是博雷爾集A在上的有限測度.令E[Ni(t,A)]=tνi(A)(i=1,2)，則用S,f,h分別表示

2 正解存在唯一性

令概率空間為(Ω,F,P),ωi(i=1,2,3,t≥0)是在概率空間上相互獨立的一維標準維納過程.在概率空間(Ω,F,P)上定義相互獨立的且與維納過程相互獨立的泊松過程Ni(dt,du)(i=1,2,3).

假設H1對于γi(t,u),δi(t,u),σi(t)(i=1,2,3),a(t),b(t),c(t),k(t),k1(t),k2(t),m1(t),m2(t),α(t),β(t),μ(t),φ(t)均為連續(xù)有界的關于t的函數(shù)，且這些函數(shù)的下確界均大于0.

假設H2ln(1+γi(t,u)),ln(1+δi(t,u))(i=1,2,3)是有界的,νi()<∞,i=1,2.

(2.1)

P{τ∞≤T}>,

則存在整數(shù)n1≥n0使得

P{τn≤T}>, ?n≥n1.

(2.2)

在假設H1和假設H2成立條件下，由式(2.1)可以得到

(2.3)

V(x,y,z)=q1(x-1-lnx)+q2(y-1-lny)+q3(z-1-lnz).

運用伊藤公式，可以得到

dV(x(t),y(t),z(t))=LV(x(t),y(t),z(t))dt+q1σ1(t)(x(t)-1)dω1(t)+

q2σ2(t)(y(t)-1)dω2(t)+q3σ3(t)(z(t)-1)dω3(t)+

(2.4)

其中

(μ(t)φ(t)y(t)+1)-1[q1k2(t)μ(t)y(t)(x(t)-1)+

y(t))-1[q3m2(t)y(t)(z(t)-1)-q2m1(t)z(t)(y(t)-1)]+

(2.5)

對式(2.5)進行整理，可得

LV(t,x,y,z)=ζ1(t,x)+ζ2(t,y)+ψ1(t,x,y)+ψ2(t,z,y),x>0,y>0,z>0,

(2.6)

其中

q2k1(t)μ(t)g(z)xy-q2a(t)α(t)y-q3m2(t)y+q2k1(t)a(t)μ(t)g(z)x},

[-(q2m1(t)-q3m2(t))μ(t)φ(t)zy2+q2m1(t)μ(t)φ(t)zy-

(q2m1(t)-q3m2(t))zy+q2m1(t)z]-q3β(t)z.

根據(jù)假設H1和假設H2有，存在一個常數(shù)L1(q1,q2,q3)>0，使得以下不等式成立：

(2.7)

同理，根據(jù)假設H1和假設H2有，存在一個常數(shù)L2(q1,q2,q3)>0，使得

(q1k2sup+q2k1supgsup(z))asupμsupxy]≤L2(q1,q2,q3).

(2.8)

(q3m2sup-q2m1inf)zy+q2m1supμsupφsupzy+q2m1supz]≤

(2.9)

根據(jù)式(2.5)～(2.9)，可得到

LV(x(t),y(t),z(t))≤L(q1,q2,q3)+3C1+3C2,

(2.10)

其中

L(q1,q2,q3)=L1(q1,q2,q3)+L2(q1,q2,q3)+L3(q2,q3),

根據(jù)式(2.4)和(2.10)，可獲得

V(x(τn∧T),y(τn∧T),z(τn∧T))≤V(x(0),y(0),z(0))+L(q1,q2,q3)(T∧τn)+

(2.11)

對式子(2.11)兩邊取期望，有

E[V(x(τn∧T),y(τn∧T),z(τn∧T))]≤

V(x(0),y(0),z(0))+L(q1,q2,q3)T.

(2.12)

從而，根據(jù)式(2.12)，可以得到

(2.13)

∞>V(x(0),y(0),z(0))+L(q1,q2,q3)T=∞.

因此τ∞=∞幾乎處處成立.

3 滅絕性

本節(jié)主要討論具有非中心泊松噪聲的隨機草食動物植物傳粉者模型(1.2)的滅絕性.

引理3.1若假設H1和H2成立，則植物種群數(shù)量y(t)滿足

證明根據(jù)伊藤公式，可以得到

(3.1)

其中

由鞅不等式，對于任意的T>0,0<κ≤1,η>0，有

其中

令T=jτ,j∈,τ>0,κ=e-jτ,η=θejτlnj,θ>1，則有

即

根據(jù)不等式y(tǒng)r≤1+r(y-1),?y≥0,0≤r≤1，可以得到

(3.2)

(3.3)

(3.4)

由定理2.1的證明可知，對于任意的x,y>0，存在一個獨立于j,s,x,y的常數(shù)L>0，使得

由(3.4)可以得到，對于任意的(j-1)τ≤t≤jτ,k≥k0(ω),有

因此

若θ↓1,τ↓0，則可以得到

從而有

引理3.1證明完畢.

引理3.2若假設H1和H2成立，則食草動物種群數(shù)量z(t)滿足

證明由伊藤公式，可以得到

其中

類似于引理3.1的證明方法，由鞅不等式可得，對于任意的T>0,0<κ≤1,η>0，有

其中

令T=jτ,j∈,τ>0,κ=e-jτ,η=θejτlnj,θ>1，則有

對于足夠大的j≥j0(ω),0≤t≤jτ，根據(jù)Borel-Cantelli引理可以得到

(3.5)

對于任意的(j-1)τ≤t≤jτ,k≥k0(ω),由(3.5)可以得到

因此

若θ↓1,τ↓0，則可以得到

故有

引理3.2證明完畢.

引理3.3若假設H1和假設H2成立，則傳粉昆蟲種群密度x(t)滿足

證明由伊藤公式，可以得到

其中

類似于引理3.1的證明方法，可以得到

令T=jτ,j∈,τ>0,κ=e-jτ,η=θejτlnj,θ>1，則有

對于足夠大的j≥j0(ω),0≤t≤jτ,根據(jù)Borel-Cantelli引理可以得到

(3.6)

由(3.6)可以得到，對于任意的(j-1)τ≤t≤jτ,k≥k0(ω)，有

因此

若θ↓1,τ↓0，則可以得到

因而有

引理3.3證明完畢.

其中

證明由伊藤公式，可得

(3.7)

其中

由式(3.7)，可得

(3.8)

即

(3.9)

對(3.9)兩邊從t0到t進行積分，得到

從而

所以

由于ε>0，且x(t)>0 a.s.,故有

定理3.4證明完畢.

其中

證明由伊藤公式，可得

(3.10)

其中鞅為

且

由局部鞅的強大數(shù)定律[22]，可知

由于y(t)>0，a.s.，因此

定理3.5證明完畢.

其中

證明運用伊藤公式，可得

[k1(t)μ(t)x(t)-α(t)+D2(t)]dt+dMy(t),

(3.11)

其中

由局部鞅的強大數(shù)定律，可知

由于y(t)>0，a.s.,因此

定理3.6證明完畢.

其中

證明根據(jù)伊藤公式，可得

(3.12)

其中

由局部鞅的強大數(shù)定律可知

由于z(t)>0，a.s.,因此

定理3.7證明完畢.

4 持久性

本節(jié)主要討論具有非中心泊松噪聲的隨機草食動物植物傳粉者模型(1.2)的持久性.

引理4.1若假設H3和假設H4成立，令p>0，則有：

(1) 對于任意的初值x0>0，傳粉昆蟲的種群密度的p階矩滿足

其中K1(p)>0且與初值x0無關.

(2) 對于任意的初值y0>0，植物的種群密度的p階矩滿足

(4.1)

其中K2(p)>0且與初值y0無關.

(3) 對于任意的初值z0>0，食草動物的種群密度的期望滿足

(4.2)

其中K3>0且與初值z0無關.

證明(1) 根據(jù)定理2.1的停止時間τn的定義，對過程V(t,y(t))=etxp(t),p>0，運用伊藤公式，可以得到

(4.3)

若假設H1和H2成立，則存在一個常數(shù)K1(p)>0，使得下式成立：

(4.4)

由(4.3)和(4.4)，對(4.3)取期望，可以得到

E[V(t∧τn,x(t∧τn))]≤xp(0)+K1(p)E[et∧τn]≤xp(0)+K1(p)et.

令n→∞,則有估計

etE[xp(t)]≤xp(0)+K1(p)et,

即

(2) 與(1)同理，對于式(4.1)，對過程V(t,y(t))=etyp(t),p>0，運用伊藤公式，可以得到

p[k1(s)x(s)f(y(s))g(z(s))-m1(s)z(s)h(y(s))-α(s)]+

(4.5)

若假設H1和H2成立，則存在一個常數(shù)K2(p)>0，使得下式成立：

esyp(s){1+p[k1(s)x(s)f(y(s))g(z(s))-m1(s)z(s)h(y(s))-α(s)]+

(4.6)

由(4.5)和(4.6)，對(4.5)取期望，可以得到

E[V(t∧τn,y(t∧τn))]≤yp(0)+K1(p)E[et∧τn]≤yp(0)+K2(p)et.

令n→∞，則有估計

etE[yp(t)]≤yp(0)+K2(p)et.

即

(3) 對于(4.2)，對過程

U(t,(x(t),y(t),z(t)))=et[q1x(t)+q2y(t)+q3z(t)],qi>0,i=1,2,3,

運用伊藤公式可以得到

dU(t,(x(t),y(t),z(t)))=et{q1x(t)+q2y(t)+q3z(t)+

q1[k2(t)x(t)y(t)f(y(t))+x(t)S(x(t))]+q2[k1(t)x(t)y(t)f(y(t))g(z(t))-

y(t)m1(t)z(t)h(y(t))-α(t)y(t)]+q3[m2(t)z(t)y(t)h(y(t))-β(t)z(t)]+

et[q1σ1(t)x(t)dω1(t)+q2σ2(t)y(t)dω2(t)+q3σ3(t)z(t)dω3(t)]+

對于函數(shù)

f1(x)+f2(x,y)+f3(z,y),

(4.7)

其中

f(t,x,y,z)≤L.

(4.8)

由(4.7)和(4.8)，對(4.7)取期望，可以得到

E[U(t∧τn,x(t∧τn),y(t∧τn),z(t∧τn))]≤

令n→∞，則有估計

于是

引理4.1證明完畢.

引理4.2若D3inf>βsup-m2inf，即f3inf>0,f3(t)=m2(t)-β(t)+D3(t),則對任意的初值z0>0，食草動物的種群密度z(t)滿足

其中

(4.9)

當0<θ<1時，根據(jù)(4.9)和伊藤公式，得到

(4.10)

在假設H1和H2下，根據(jù)不等式(x+y)θ≤xθ+θxθ-1y,0<θ<1,x,y>0，知存在常數(shù)|K1(θ)|<∞,|K2(θ)|<∞，使得(4.9)中的Q(t)滿足

K1(θ)U(t)+K2(θ)=-K0(θ)U2(t)+K1(θ)U(t)+K2(θ).

(4.11)

由于

根據(jù)條件f3inf>0，當0<θ<1足夠小時，有

由式(4.10)和(4.11)，可以得到

d[(1+U(t))θ]≤θ(1+U(t))θ-2[-K0(θ)U2(t)+K1(θ)U(t)+K2(θ)]dt-

(4.12)

根據(jù)(4.12)和運用伊藤公式，可以得到

d[eλt(1+U(t))θ]=λeλt(1+U(t))θdt+eλtd[(1+U(t))θ]≤

(4.13)

(4.14)

根據(jù)定理2.1的停止時間τn的定義、式(4.13)和(4.14)，可得期望

令n→∞，則有

(4.15)

由(4.15)，可以得到

引理得證.

證明由引理4.1，可以得到估計

(4.16)

根據(jù)(4.16)，可以得到

這意味著動力系統(tǒng)有長期性行為.

定理4.4如果引理4.2條件成立，則對任意初值z0>0，食草動物種群密度z(t)擁有持久性.

證明根據(jù)引理4.1，有下式成立

即

根據(jù)引理4.2，可以得到

即

定理4.4證明完畢.

定理4.5如果定理3.6條件成立，且D2inf-αsup>0，則對任意初值y0>0，植物種群密度y(t)擁有持久性，其中

證明根據(jù)引理4.1，可以得到

即

同引理4.2證法，在假設H1和假設H2成立的條件下，根據(jù)不等式(x+y)θ≤xθ+θxθ-1y,0<θ<1,x,y>0，和z(t)=0，a.s.，知存在常數(shù)|K1(θ)|<∞,|K2(θ)|<∞，使Q(t)滿足

K1(θ)U(t)+K2(θ)=-K0(θ)U2(t)+K1(θ)U(t)+K2(θ).

故有

即

定理4.5證明完畢.

其中

證明若定理不為真，則P{x*=0}>0.由(3.10)，可獲得

(4.17)

其中

因此

由引理3.3可知

與已知矛盾，故定理4.6為真.

其中

證明若定理不為真，則P{z*=0}>0.由(3.12)，可獲得

(4.18)

其中

因此

由引理3.2可知

與已知矛盾，故定理4.7為真.

其中

證明若定理不為真，則P{y*=0}>0.由(3.18)，可得到

(4.19)

其中

因此

由引理3.1可知

與已知矛盾，故定理4.8為真.