階梯圓柱殼屈曲問題的哈密頓方法

賴安迪，趙建宇，周震寰，徐新生

（大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系和工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116024）

0 引言

現(xiàn)代工程中，階梯圓柱殼結(jié)構(gòu)應(yīng)用非常廣泛，分布式的剛度有助于減輕整體結(jié)構(gòu)重量，大大增強薄壁結(jié)構(gòu)的適用性.然而，若結(jié)構(gòu)中存在材料缺失和不均勻的缺陷，會導(dǎo)致殼的整體應(yīng)力分布發(fā)生顯著變化，復(fù)雜的屈曲形式也給結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性評估帶來挑戰(zhàn).圓柱殼作為傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)之一，已被眾多學(xué)者深入研究，在REDDY J N[1]和沈惠申[2]的著作中對此有詳細(xì)的概述.早期圓柱殼軸壓屈曲的實驗與理論預(yù)測值之間較大的差異，激勵了許多學(xué)者對其進行研究.目前普遍認(rèn)為在制造或使用過程中產(chǎn)生的缺陷是導(dǎo)致圓柱殼承載能力降低的最重要原因，細(xì)微的缺陷或殼體厚度不均勻也可能導(dǎo)致圓柱殼的臨界荷載和屈曲變形發(fā)生很大改變.喬丕忠等[3]對圓柱殼穩(wěn)定性問題的研究進行了詳細(xì)概述，其中包括了缺陷對圓柱殼屈曲影響的重要研究進展.張東等[4]對簡支邊界條件下縱橫加筋圓柱殼在軸壓和溫度載荷聯(lián)合作用下的屈曲問題進行了理論分析，給出臨界屈曲載荷解析表達式.吳雙華等[5]為提高變剛度圓柱殼的臨界載荷，提出兩種鋪絲方案并運用徑向基函數(shù)模型優(yōu)化了方案中的相關(guān)參數(shù).桂夷斐等[6]建立了階梯圓柱殼徑向位移控制方程，得到應(yīng)力波反射后的動態(tài)屈曲分叉條件.結(jié)果表明，階梯圓柱殼更容易發(fā)生軸對稱屈曲.胡服全等[7]采用專用的軸壓屈曲試驗平臺，掃描了殼體屈曲的三維實際形貌.潘力等[8]采用線性屈曲分析模塊，模擬凹陷位置、凹陷半徑及深度對圓柱殼軸向臨界載荷的影響，得出球冠狀凹陷對圓柱殼軸向臨界載荷的影響規(guī)律.結(jié)果表明：凹陷位置變化使得軸向臨界載荷近似呈現(xiàn)正弦規(guī)律，凹陷半徑增加使得軸向臨界載荷減小，且臨界載荷變化率逐漸降低.陳志平等[9]從理論、實驗和數(shù)值模擬等幾個方面，介紹了圓柱殼軸壓屈曲研究進展，總結(jié)了等壁厚和不同類型變壁厚圓柱殼軸壓屈曲臨界載荷的求解方法.萬福騰[10]采用實驗研究與有限元數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，對縱向加筋薄壁圓柱殼的軸壓屈曲問題進行研究，結(jié)果表明：加強筋的數(shù)量、截面積和高寬比對薄壁圓柱殼軸壓屈曲臨界載荷的影響較顯著，而圓柱殼徑厚比和高徑比無顯著影響.曹國偉[11]使用多種方法，詳細(xì)研究了任意變壁厚和開孔這兩種因素對圓柱殼軸壓屈曲臨界載荷的影響.XU X S 等[12]建立了圓柱殼在軸向壓縮沖擊載荷作用下屈曲問題的哈密頓對偶方程，并對方程進行了數(shù)值求解.結(jié)果表明，殼體的屈曲可分為短波屈曲和長波屈曲兩類.SUN J B等[13]在哈密頓體系下研究了圓柱殼在外壓、扭轉(zhuǎn)和軸壓聯(lián)合作用下的屈曲行為，同時考慮了對稱和非對稱邊界條件.結(jié)果表明，對于較長的圓柱殼，外壓對屈曲的影響比軸壓顯著.此外，釋放軸向約束會顯著降低屈曲載荷和周向波數(shù).

在哈密頓體系下，建立多區(qū)域的哈密頓方程，并利用連續(xù)性條件及邊界條件，求解軸壓作用下階梯圓柱殼的特征值屈曲問題，并給出缺陷誘導(dǎo)殼體局部屈曲現(xiàn)象的解析解描述.作為一種理性求解法，具有顯式和簡潔的特點，并且可適用于階梯區(qū)域厚度較大突變、局部力學(xué)量急劇變化的情況.

1 基本理論

考慮如圖1的薄壁圓柱殼模型，長為l，半徑為r，厚度為h，彈性模量為E，泊松比υ.殼體受軸壓N0作用.階梯區(qū)域為x1≤x≤x2，厚度為h0.取圓柱坐標(biāo)系(r，θ，x)，徑向位移w.圓柱殼的中面應(yīng)變與中面位移關(guān)系為

圖1 受軸壓的階梯圓柱殼Fig.1 stepped cylindrical shell subjected to axial pressure

內(nèi)力與中面應(yīng)變的關(guān)系為

式（1）～式（2）中，抗拉伸剛度為K=Eh/(1-υ2)，抗彎曲剛度D=Eh3/12(1 -υ2).假定殼體發(fā)生屈曲時，橫截面承受均勻壓載荷.殼體的應(yīng)變能，即拉格朗日函數(shù)表示為

2 哈密頓系統(tǒng)

用θ坐標(biāo)模擬時間坐標(biāo)，記F′=?xF和，定義原變量q=[w，φθ]和對偶變量.其 中φθ=-w˙ 為θ方 向 的 轉(zhuǎn) 角，為θ方 向 的 等 效 剪 力，為θ方向的等效彎矩.對拉格朗日函數(shù)進行勒讓德變換，哈密頓函數(shù)為

由

可建立哈密頓方程 =˙Hψψ，矩陣形式為

方程（7）為線性哈密頓體系，可適用廣義分離變量法ψ(x，θ) =φ(x)euθ，注意到圓柱殼環(huán)向的周期性條件ψ(x， 0 ) =ψ(x，2π)，可得u= in，其中n=±0 ，1，2····.根據(jù)微分方程組的理論，哈密頓方程的解為

式中，

對于階梯區(qū)域x1≤x≤x2，剛度D變?yōu)镈′ 后，α→α′，β→β′.3個區(qū)域的徑向位移為

不同區(qū)段哈密頓方程的解可表示為

式中，

3 邊界條件及連續(xù)性條件

階梯圓柱殼的解（11）有12個未知系數(shù)，需要結(jié)合邊界條件及連續(xù)性條件求解.對于兩端固支圓柱殼，邊界條件為

連續(xù)性條件要求在階梯變化處有

將式（11）代入邊界條件，可得特征方程為

階梯圓柱殼屈曲臨界載荷的求解問題，轉(zhuǎn)換成齊次方程特征值問題，令系數(shù)矩陣行列式

即可求解N0，進而得到特征向量a，b，c，可確定階梯圓柱殼的屈曲模態(tài).

4 數(shù)值結(jié)果及分析

計算兩端固支階梯圓柱殼的軸壓屈曲，取l=5 m，r=1 m，h=0.02 m，泊松比 0υ= ，定義無量綱屈曲系數(shù)k=N0/D和階梯區(qū)域與外部區(qū)域的厚度比ε=h0/h，階梯區(qū)域中心位置為x0，寬度為Δx.計算x0=0.5l、Δx=0.1l時，不同ε下的屈曲系數(shù)，并與有限元進行對比，結(jié)果見表1.從數(shù)值上可以看出，2種方法所得結(jié)果接近，相差不超過1.1%，且都顯示出了臨界載荷對局部材料的缺失的敏感性，少量的厚度改變可導(dǎo)致屈曲載荷顯著下降.

表1 不同厚度比ε下的屈曲系數(shù)Tab.1 buckling coefficients of different thickness ratios ε

圖2為寬度Δx=0.2l時，不同厚度比ε下的圓柱殼的最低階屈曲模態(tài)，從圖2可以看出，隨著階梯區(qū)域材料的缺失，材料屈曲的范圍越來越集中在局部.相比之下，階梯區(qū)域以外的殼體屈曲不明顯.ε=0.90時，屈曲的范圍已經(jīng)大部分集中在階梯區(qū)域段.并且，隨著厚度比ε進一步下降，階梯區(qū)域與外部的分界愈發(fā)明顯.整個結(jié)構(gòu)的屈曲形式從整體屈曲轉(zhuǎn)變?yōu)榫植壳?

圖2 不同厚度比下的屈曲模態(tài)Fig.2 buckling modes at different thickness ratios

圖3 為寬度Δx=0.2l時，厚度比ε=0.60時階梯圓柱殼的前5階屈曲模態(tài).n=0時為軸對稱局部屈曲；n＞0時結(jié)構(gòu)的屈曲模態(tài)為非軸對稱局部屈曲形式；n=2時殼體呈現(xiàn)出局部扭曲的模態(tài)，并且隨著n值越大，相應(yīng)的屈曲載荷會逐漸增大，局部環(huán)向的屈曲波紋數(shù)會逐漸增多.

圖3 前5階局部屈曲模態(tài)Fig.3 buckling modes of first five steps

通過分叉條件求解x0=0.5l、ε=0.90時，不同階梯寬度下的屈曲系數(shù)，結(jié)果見圖4.從圖4可知，缺陷尺寸不同，相應(yīng)的屈曲系數(shù)也有很大不同.當(dāng)階梯區(qū)域很窄時，不管區(qū)域深度如何，屈曲系數(shù)都與完整圓柱殼的數(shù)值接近，但隨著寬度逐漸增大，屈曲載荷迅速下降.從圖4中還可以看出，ε越小，結(jié)構(gòu)的臨界載荷對階梯區(qū)域的寬度Δx越敏感.在ε=0.90的情況下階梯區(qū)域?qū)挾仍黾又翚んw長度的4%，相比于完整圓柱殼，屈曲載荷僅下降了不到3%.而在ε=0.60情況下，階梯區(qū)域?qū)挾韧瑯釉黾又翚んw長度的4%，相比于完整圓柱殼，屈曲載荷下降了35%.

圖5 為Δx=0.2l時，屈曲系數(shù)隨階梯區(qū)域的中心位置x0的變化情況.從圖5中可以看出，當(dāng)材料缺失的區(qū)域靠近端部時，由于端部的支撐作用，屈曲系數(shù)會有所上升，如ε=0.60情況下，靠近端部，殼體的抗屈曲能力增加了12%.在遠(yuǎn)離端部的大部分區(qū)域，屈曲系數(shù)變化不明顯.因此在實際工程中，在階梯區(qū)域靠近端部時，應(yīng)考慮端部對臨界載荷的影響.而在遠(yuǎn)離端部的大部分區(qū)域，殼體的臨界載荷對位置不敏感，評估結(jié)構(gòu)只需考慮缺陷區(qū)域的尺寸大小對臨界載荷的影響.

圖5 屈曲系數(shù)隨階梯區(qū)域中心位置變化Fig.5 buckling coefficient varies with central position of stepped regio

5 結(jié)論

在哈密頓體系的框架下，提出了一套精確求解階梯圓柱殼屈曲問題的辛方法.數(shù)值算例對影響圓柱殼臨界荷載和屈曲模態(tài)的主要因素進行了詳細(xì)分析，揭示了階梯區(qū)域的深度、寬度、位置等因素對圓柱殼屈曲行為的作用規(guī)律，主要結(jié)論如下.

（1）階梯區(qū)域的材料缺失會降低圓柱殼的抗屈曲能力，當(dāng)階梯區(qū)域的深度或?qū)挾仍黾訒r，殼體的抗屈曲能力會迅速下降.

（2）隨著階梯區(qū)域的深度和寬度不斷增加，殼體屈曲模式會由整體屈曲轉(zhuǎn)變?yōu)榫植壳?此時繼續(xù)增加階梯區(qū)域的寬度，臨界荷載變化不大，但繼續(xù)增加階梯區(qū)域的深度，臨界荷載還會繼續(xù)下降.

（3）當(dāng)階梯區(qū)域靠近殼體端部時，由于邊界的支撐作用，臨界荷載會有所上升，但在遠(yuǎn)離端部的大部分區(qū)域，殼體的臨界載荷對階梯區(qū)域位置不敏感.因此評估結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性時應(yīng)重點考慮階梯區(qū)域深度與寬度兩個因素，并考慮局部屈曲對結(jié)構(gòu)整體的影響.本文方法具有顯式和簡捷的特點，可用于階梯圓柱殼的穩(wěn)定性評估.