培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的可視化教學(xué)案例

江蘇省無錫市堰橋高級(jí)中學(xué) 華燕萍 胡 燮

新課標(biāo)提出了高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模就是這六個(gè)核心素養(yǎng)之一。教材主要通過應(yīng)用題教學(xué)來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，高考試題也通過應(yīng)用題重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。另外，現(xiàn)代高新科技的發(fā)展幾乎離不開數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，它正以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透，成為一項(xiàng)重要的“數(shù)學(xué)技術(shù)”。所以，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)至關(guān)重要，它能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力及綜合能力，順應(yīng)時(shí)代發(fā)展的要求。

數(shù)學(xué)建模并不等同于解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，解應(yīng)用題是數(shù)學(xué)建模的中低等層次要求，達(dá)不到數(shù)學(xué)建模的專項(xiàng)要求。但考慮課時(shí)安排及高中學(xué)生現(xiàn)有學(xué)習(xí)能力等各種因素，日常教學(xué)中以往的教材以應(yīng)用題的形式來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的基本素養(yǎng)。不過相較于筆者執(zhí)教多年的蘇教版教材，新的人教A版做出了新的嘗試與突破，筆者執(zhí)教人教A版新教材數(shù)學(xué)必修1以后發(fā)現(xiàn)其在數(shù)學(xué)建模方面主要有兩點(diǎn)突破。1.在第四章“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”后面設(shè)置了數(shù)學(xué)建模專題（P162-166），展現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)建模的全過程，解決過程中需提出假設(shè)、實(shí)驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)等對(duì)于學(xué)生來說都是全新的挑戰(zhàn)，專項(xiàng)要求很高。2.人教A版應(yīng)用題對(duì)實(shí)際問題真實(shí)性的簡化程度比蘇教版少。實(shí)際問題的真實(shí)性往往較復(fù)雜，甚至涉及復(fù)雜的專業(yè)知識(shí)，所以教材上的應(yīng)用題基本都會(huì)對(duì)真實(shí)性進(jìn)行適度簡化，人教A版對(duì)實(shí)際問題真實(shí)性的簡化程度較小，所以相比于蘇教版，人教A版應(yīng)用題情境復(fù)雜、閱讀量大。而解應(yīng)用題的關(guān)鍵就在審題，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。閱讀量大對(duì)學(xué)生審題建模造成很大困難，本論文就聚焦于人教A版的大閱讀量應(yīng)用題，采用“可視化”教學(xué)手段，教學(xué)生快速提取應(yīng)用題中的關(guān)鍵信息、厘清它們之間的邏輯關(guān)系，從而快速建立起數(shù)學(xué)模型，解決閱讀量大對(duì)學(xué)生審題建模造成的困難問題，提升學(xué)生的學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和素養(yǎng)。

選取人教A版必修1第70頁的例8為例，此應(yīng)用題是個(gè)納稅問題，整個(gè)題目（不包括解答）占據(jù)A4大小紙張的四分之三版面，文字量531個(gè)（一個(gè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)為1個(gè)文字，如數(shù)據(jù)189600統(tǒng)計(jì)為1個(gè)文字，標(biāo)點(diǎn)符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)不計(jì)）。這么大閱讀量的應(yīng)用題在蘇教版教材上從未出現(xiàn)過，是一般應(yīng)用題閱讀量的4倍左右。這不是讀一篇通俗易懂的文章，學(xué)生需要大致了解各種專業(yè)詞匯，如“個(gè)稅稅額”“應(yīng)納稅所得額”“綜合所得”等，厘清各種量之間的關(guān)系，但是看到這么長的題目、這么多專業(yè)詞匯，學(xué)生已經(jīng)產(chǎn)生恐懼心理，頓時(shí)喪失解決問題的信心。鼓勵(lì)學(xué)生耐下心來，多讀幾遍，估計(jì)也是于事無補(bǔ)，所以采取有效的教學(xué)手段，幫助學(xué)生真正地突破這個(gè)難點(diǎn)，讓學(xué)生看到是有簡單易行的方法可以有效解決審題困難這個(gè)問題的，才能真正提升他們審題的信心和能力，以后碰到這么大閱讀量的題目，也就不會(huì)產(chǎn)生畏懼心理。

具體怎樣進(jìn)行審題建模的可視化教學(xué)呢？分為以下兩個(gè)步驟。

第一步，審題整理關(guān)鍵信息。教師帶著學(xué)生一起讀題，要求：第一，邊讀邊畫出關(guān)鍵信息，這可以幫助學(xué)生排除次要信息的干擾，聚焦于關(guān)鍵；第二，邊讀邊標(biāo)注、畫圖、列表等，幫助理解和厘清各種量之間的關(guān)系；第三，邊讀邊翻譯一些能夠很快推出的量。（見圖1）

圖1

第二步，建模提取相關(guān)數(shù)據(jù)，可以采用先整體后細(xì)化局部的方法，或者先局部后拼湊整體的方法，從剛才畫出和標(biāo)注出來的數(shù)據(jù)當(dāng)中提取所需要的數(shù)據(jù)。

問題（1）建模分析：剛才審題至問題（1）時(shí)，我們立即在公式①中標(biāo)注了相應(yīng)的字母y和t，在表格中也標(biāo)注了字母t，所以要建立這個(gè)函數(shù)模型一下子就讓學(xué)生關(guān)注和意識(shí)到公式①就是此問題的函數(shù)模型y=f(x)，模型的整體就建立好了，接下來要尋找和細(xì)化公式①涉及的另外兩個(gè)量——稅率和速算扣除數(shù)，這兩個(gè)局部量根據(jù)箭頭所指馬上關(guān)注到表格中稅率和速算扣除數(shù)，發(fā)現(xiàn)其有7組取值，由全年應(yīng)納稅所得額t所在區(qū)間決定，于是意識(shí)到要對(duì)自變量t進(jìn)行分類，建立y關(guān)于t的分段函數(shù)模型。解題過程如下：

(1)解：根據(jù)表3.1-5，可得函數(shù) y =f(t)的解析式為

接著對(duì)第（2）問進(jìn)行審題（見圖2）。

圖2

畫出關(guān)鍵信息，把相關(guān)數(shù)據(jù)標(biāo)注到公式②中，發(fā)現(xiàn)除了條件“基本養(yǎng)老保險(xiǎn)、基本醫(yī)療保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)等社會(huì)保險(xiǎn)費(fèi)和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別為8%、2%、1%、9%”外，其他條件數(shù)據(jù)都能標(biāo)注到公式②的相應(yīng)項(xiàng)中，公式②還剩下“專項(xiàng)扣除”這一項(xiàng)，這時(shí)再到右側(cè)的旁注中找“專項(xiàng)扣除”，就能明確第（2）問的條件“基本養(yǎng)老保險(xiǎn)、基本醫(yī)療保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)等社會(huì)保險(xiǎn)費(fèi)和住房公積金”就是“專項(xiàng)扣除”，連用兩個(gè)箭頭將第（2）問、右側(cè)旁注以及公式②中有關(guān)“專項(xiàng)扣除”的內(nèi)容聯(lián)系起來，并將數(shù)據(jù)標(biāo)注到公式②的“專項(xiàng)扣除”下方，這時(shí)公式②中的應(yīng)納稅所得額t就能翻譯出來了。

對(duì)第（2）問進(jìn)行建模分析，翻譯目標(biāo)——全年應(yīng)繳納的綜合所得個(gè)稅y，自然要用公式①求解，而公式①已經(jīng)在第（1）問中建立起具體的函數(shù)解析式，于是目光轉(zhuǎn)向第（1）問的分段函數(shù)解析式③，到底要用其中哪個(gè)表達(dá)式由t的范圍決定。而剛才第一步審題時(shí)，已經(jīng)邊畫邊翻譯了應(yīng)納稅所得額t（見圖3），計(jì)算出結(jié)果，就能知道代入③的哪個(gè)表達(dá)式了。思路清晰地可視化為：由公式②算出t→據(jù)t選擇③中的相應(yīng)表達(dá)式。按此兩步驟操作完成如下：

圖3

(2)解：根據(jù)②，小王全年應(yīng)納稅所得額為

t=189600-60000-189600(8%+2%+1%+9%)-52800-4560

=0.8189600-117360

=34320.

將t的值代人③中的第一個(gè)表達(dá)式，得

y=0.0334320=1029.6.

所以，小王應(yīng)繳納的綜合所得個(gè)稅稅額為1029.6元.

在上述可視化的審題建模方法中，第一步審題，畫出關(guān)鍵信息排除次要信息干擾，相當(dāng)于在減少閱讀量，閱讀量大的問題就解決了；邊讀邊譯，邊讀邊標(biāo)注、畫箭頭找關(guān)系等整理信息的手段幫助學(xué)生將各個(gè)量之間的關(guān)系及邏輯可視化，從而快速厘清關(guān)系理解題意。第二步建模，關(guān)注整體、細(xì)化局部就厘清了邏輯，將思路可視化，然后按圖索驥提取相關(guān)數(shù)據(jù)便可。

可視化的審題建模方法關(guān)鍵就在于將重要信息通過恰當(dāng)選取、邊讀邊畫、翻譯、標(biāo)注、畫箭頭、繪圖、列表等手段，將關(guān)鍵信息整理分析，將關(guān)系、邏輯、思路可視化，不需要學(xué)生耐下性子多讀幾遍題目，通過一遍多的閱讀審題就可快速建模，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模信心、能力和素養(yǎng)。