基于圖解法的漸開線圓柱斜齒輪接觸線特性研究

李宏天 錢 宏

（太原重工股份有限公司技術中心，太原 030024）

漸開線圓柱齒輪傳動是應用最廣泛的傳動方式，具有傳動平穩(wěn)、可靠性高的特點。對漸開線直齒輪傳動而言，因為重合度1≤ε<2，所以傳動過程中存在因單雙對齒嚙合交替出現(xiàn)導致輪齒綜合剛度出現(xiàn)周期性變化的情況。當傳動齒輪輸入載荷一定的情況下，其綜合剛度變化除了齒距誤差和嚙合彈性變形以外，主要原因是輪齒嚙合過程中理論接觸線總長發(fā)生變化導致單位接觸長度的輪齒受載隨接觸線總長的突變而發(fā)生變化。斜齒輪文獻[1]認為，斜齒輪具有軸向重合度，其接觸線長度逐漸變化使其綜合嚙合剛度突變較小，因此斜齒輪傳動具有沖擊小、振動小以及噪聲低的特點。

從整個傳動周期看，不論接觸線總長發(fā)生突變或者漸變，都必然存在嚙合綜合剛度變化導致振動和噪聲出現(xiàn)的情況，只是突變引發(fā)的振動、噪聲顯著而漸變不明顯。因此，有必要從接觸線總長的變化入手，分析其成形原理及其幾何尺寸變化，掌握理論接觸線總長的變化規(guī)律，使工程技術人員能夠進行合理設計，為進一步降低斜齒輪的振動和噪聲提供理論指導。

1 漸開線圓柱斜齒輪重合度與接觸線的運動關系

1.1 斜齒輪重合度的特點

嚴格意義上來說，直齒輪是一種螺旋角為0°的特殊斜齒輪。下面將以斜齒輪為研究對象，分析其重合度特點。如圖1所示，斜齒輪沿著嚙合線運動時，就某一單齒而言，當齒前端從嚙合起始點A1移動至A2點時，齒后端B1相應的移動至B2點。當齒前端A1點移動至A3點、齒后端B1點剛好移動至B3點時，整個齒的前后端完全脫離嚙合區(qū)。此時，該齒輪傳動副的重合度為：

文獻 [2]指出，tanβb=tanβcosαt，Pbt=Ptcosαt，整理后可得：

式中：β為分度圓螺旋角；βb為基圓螺旋角；Pt為端面齒距；Pbt為端面積節(jié)；αt為端面壓力角；b為齒寬；mn為法向模數(shù)；Pa為軸向積節(jié)；εγ為總重合度；εα為端面重合度，εβ為軸向重合度。由公式推導可知，相較同等齒寬的直齒輪，實際嚙合線長度增加，其重合度相應增加了εβ。

1.2 輪齒接觸線圖解法的幾何成形原理

輪齒嚙合線是漸開線齒廓上某嚙合點完成從嚙入到嚙出期間該嚙合點隨輪齒圓周轉動形成的軌跡。不同于嚙合線，接觸線是齒廓上某嚙合點沿輪齒在軸向螺旋角方向的瞬時接觸軌線。在考慮重合的前提下，為更加方便直觀地理解接觸線的幾何成形原理，可以運用圖解法加以闡釋。如圖2所示，當主動齒輪逆時針旋轉、從動齒輪順時針旋轉時，某一瞬時主動齒輪Ⅰ齒的齒頂剛好在A1點進入嚙合時，Ⅰ齒在接觸區(qū)處于臨界接觸狀態(tài)（剛好進入嚙合），其左側相鄰最近的Ⅱ齒位于接觸區(qū)的段，與Ⅱ齒相鄰的左側Ⅲ齒的后半段位于接觸區(qū)的段。同理，若Ⅰ齒的齒頂由A1點嚙入到A4點時，Ⅰ齒位于接觸區(qū)的段，與其左側相鄰最近的Ⅱ齒也必定處在接觸區(qū)的段，與Ⅱ齒相鄰的Ⅲ左側齒的后半段位于接觸區(qū)的臨界接觸狀態(tài)（剛好脫離嚙合）。這里必須指出，任意齒在瞬時嚙合狀態(tài)與相鄰齒的位置如圖2所示，是因為任意齒的相鄰齒的端面積節(jié)恒為Pbt。

2 重合度與接觸線總長的關系

2.1 給定重合度的接觸線條數(shù)確定

以圖3常見的總重合度2<εγ<3不為整數(shù)的一對斜齒輪嚙合為例，由圖解法可知，在點A6、B6、B7、A7所圍成的封閉區(qū)域和點A4、B4、A5、B5所圍成的區(qū)域，必定僅有2條接觸線，同時這2條接觸線必定分別在兩個封閉域內(nèi)各有1條，即當輪齒某一瞬時在如圖3所示的任意黑色封閉區(qū)域發(fā)生嚙合接觸時，在整個嚙合寬度εαPbt范圍內(nèi)必然有且僅有2條接觸線。必須注意，當輪齒在發(fā)生接觸時，在整個嚙合寬度范圍內(nèi)對應通過點B3或A1的實際接觸線長度均為零。同理，當輪齒在黑色封閉區(qū)域外發(fā)生嚙合接觸時，必然有且僅有3條接觸線。這里可把黑色封閉區(qū)域定義為最少齒對數(shù)嚙合區(qū)，以外區(qū)域定義為最多齒對數(shù)嚙合區(qū)?？梢?，接觸線的條數(shù)和長度與重合度密切相關。

由以上推演過程不難得出，在任意嚙合瞬時：當n<εγ

2.2 重合度對接觸線總長變化的影響

在任一瞬時，斜齒輪嚙合時的接觸線總長度等于每個嚙合齒輪上接觸線長度之和。當這些輪齒通過嚙合時，它是變化的[3]。因此，計算任意瞬時接觸線的總長需明確兩個基本要素，即任一瞬時輪齒在接觸區(qū)間的接觸線條數(shù)和每條接觸線的長度，計算公式為：

式中：LZ為接觸線總長；Ln為第n接觸線長度；n為接觸線條數(shù)；

如圖3所示，任意嚙合瞬時接觸線L1、L2和L3的位置是確定的，其任意嚙合瞬間的具體長度計算可由圖解法的幾何關系推導，這里不再贅述。對整個嚙合周期內(nèi)的接觸線總長變化，下面用圖解法進行研究，如圖4所示。

設εγ=K，εα＞ 1 且不為整數(shù)，[εα]為εα取整（如εα=2.4，[εα]=2），εβ≥ 1 且為整數(shù)，則K不為整數(shù)，取K的最小取整數(shù)為n，最大取整數(shù)為n+1。由圖4可知，在接觸寬度εαPbt范圍內(nèi)最多有n+1條接觸線，最少有n條接觸線，即參數(shù)嚙合的齒對數(shù)在n和n+1對交替進行。因εβ為整數(shù)，則必有：

當接觸線K位于n對齒嚙合區(qū)間水平移動?W1時，此時的第1條接觸線W1長度增加值為：

相應地，第n條接觸線Wn長度減小值為又因?Wn=?W1，故第1條接觸線增加值與第n條接觸線的減小值相等。

由此可進一步推出，平移?W1時，必有第2條接觸線增加值與第n-1條接觸線減小相等，且在任意瞬時這樣的接觸線共有 2[εα]條，其余n-2[εα]條接觸線長度維持不變。

因此，當接觸線K位于n對齒接觸區(qū)間時，其接觸線總長的變化為零。

當接觸線K位于n+1對齒嚙合區(qū)間水平移動?K時，此時的第1條接觸線K長度增加值為：

相應地，第n+1條接觸線Wn長度減小值為又因?K=?Ln，故第1條接觸線增加值與第n+1條接觸線的減小值相等。

由此可進一步推出，平移?K時，必有第2條接觸線增加值與第n條接觸線減小相等，且在任意瞬時這樣的接觸線共有 2[εα]條，其余n+1-2[εα]條接觸線長度維持不變。

因此，當接觸線K位于n+1對齒接觸區(qū)間時，其接觸線總長的變化仍然為零。

依據(jù)上述推理繼續(xù)分析得知，無論接觸線K位于n或n+1對齒接觸區(qū)，其接觸線總長總相等且總長變化為零。反之，當εγ=K，εα≥1且為整數(shù)，εβ＞1且不為整數(shù)時，分析過程等同于將圖4中的坐標系X軸和Y軸交替。由此可知，εα為整數(shù)時，接觸線總長度依然恒定不變。

綜上，在任意瞬時，當εα或εβ為整數(shù)時，無論輪齒在最少齒對數(shù)或最多齒對數(shù)嚙合區(qū)，在整個接觸寬度區(qū)間，其接觸線總長度變化值恒為零，與文獻[4]的結論相符。

依據(jù)前述分析，當εα、εβ均不為整數(shù)時，同樣可得出其接觸線總長變化不為零的結論與文獻[5]結論一致。這里需要特別強調(diào)，當εα、εβ的尾數(shù)加和為整數(shù)時，設εγ=M，表明輪齒在任意瞬時都有M對齒同時接觸。此時，最少齒對數(shù)嚙合區(qū)寬度為0，故同時接觸的齒對數(shù)仍然為M條。

3 結語

從輪齒嚙合重合度和接觸線成形基本原理出發(fā)，應用圖解法對重合度與接觸線總長變化影響開展研究，指出輪齒端面重合度εα或軸向重合度εβ為整數(shù)時其接觸線總長恒不變，與文獻[4]的結論相符。

在任意嚙合瞬時理論上接觸線總長恒定不變時，單位接觸線長度的載荷一致，綜合嚙合剛度變化為零。國外學者NIEMANN通過試驗證明，齒輪的軸向重合度εβ為整數(shù)時，噪聲較低，且對εα的變化不敏感。因此，當對齒嚙合的振動和噪聲指標有嚴格要求時，設計斜齒輪不可盲目追求增加重合度，可為進一步降低輪齒振動和噪聲提供重要的理論參考。