R(黎曼)積分的特征和意義分析①

高婷婷, 張明會

(隴南師范高等?？茖W(xué)校初等教育學(xué)院,甘肅 成縣 742500)

0 引 言

積分學(xué)是微積分的兩大組成部分之一,《高等數(shù)學(xué)》中的積分包括不定積分和定積分(黎曼積分,簡稱R積分)兩類積分,這是從兩種不同的觀點(diǎn)出發(fā)分別引進(jìn)的積分,具體地說,不定積分是從逆運(yùn)算的角度,把積分看作微分運(yùn)算的逆運(yùn)算;定積分則是從求極限的角度,把積分看作是一類特殊形式的和數(shù)的極限。建立積分概念的基本思想和步驟與微分概念的建立大體相同,但由于積分是一個(gè)反映“整體”的概念,而微分卻是描述“局部”特性的概念,就導(dǎo)致了具體做法上的差異,具體地說,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的積分,一般分為如下四個(gè)步驟:第一步,“分割”,即從整體出發(fā),將整體分割成許多局部(化整為零);第二步,“近似”,即在被分割的每一個(gè)局部范圍內(nèi)求出各個(gè)局部的近似值,用近似值代替真實(shí)值(以直代曲);第三步:“求和”,即用各個(gè)局部的近似值的和來求出整體的近似值(積零為整);第四步:“逼近”,即用取極限的形式求出整體的精確值。通過以上四個(gè)步驟不難發(fā)現(xiàn):積分概念的建立和求積過程,也是采用了“化整為零”再到“積零為整”的迂回戰(zhàn)術(shù)。通過這種迂回曲折的手段和途徑,使得所求的整體,由未知轉(zhuǎn)化為已知,實(shí)現(xiàn)了“直”與“曲”、“有限”與“無限”、“近似”與“精確”的矛盾轉(zhuǎn)化,利用這種矛盾轉(zhuǎn)化的規(guī)律性解決了用初等代數(shù)和幾何方法無法解決的問題,創(chuàng)造了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)方法,即定積分[1]。

1R(黎曼)積分的形成

定積分(黎曼積分)可以說是積分學(xué)(重積分、曲線積分、曲面積分以及其它積分)的基礎(chǔ),他是牛頓積分概念和柯西積分概念的基礎(chǔ)上發(fā)展形成的。

(1)牛頓的積分概念

17世紀(jì)70年代,牛頓和萊布尼茨建立了他們的積分概念,同時(shí)他們也創(chuàng)立微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)——微積分基本定理,牛頓的積分概念是建立在函數(shù)的原函數(shù)存在的基礎(chǔ)上的。

所謂f(x)在[a,b]上是牛頓可積的(簡稱N可積的),是指存在函數(shù)F(x),x∈[a,b],使其導(dǎo)函數(shù)F'(x)=f(x)在[a,b]上成立,這時(shí)稱F(b)-F(a)為f(x)在[a,b]上的牛頓積分(N積分),記作,如式(1):

由于f(x)在[a,b]上N可積實(shí)質(zhì)上與f(x)在[a,b]上存在原函數(shù)是等價(jià)的,因此,牛頓意義下的積分只能在有原函數(shù)的函數(shù)類上施行。所以,積分的實(shí)用性和廣泛性受到很大限制,性質(zhì)量好的函數(shù),有些也是牛頓意義下不可積的。

(2)柯西的積分概念

在整個(gè)18世紀(jì)的漫長歲月里,由于歐拉和拉格朗日等人的大量工作,微積分在各個(gè)領(lǐng)域都取得了輝煌成就,尤其在力學(xué)領(lǐng)域更是重要,但微積分的奠基工作,直到19世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家柯西在1821-1823年間出版了他的《分析教程》和《無窮小計(jì)算講義》(被認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作),才給出了分析學(xué)的一系列基本概念的精確定義,包括他的積分概念的獨(dú)創(chuàng)性定義[2]。

設(shè)f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),記Δx=,作區(qū)間[a,b]的等距分劃,如式(2):

這里x j=a+jΔx(j=1,2,...,n),任取ξj∈(x j-1,x j)(j=1,2,...,n),作和如式(3):

如果當(dāng)n→∞時(shí),極限=J存在,則稱f(x)是[a,b]上是可積的(簡稱C可積),極限值J成為f(x)在[a,b]上的定積分,記作

柯西的積分定義已經(jīng)是現(xiàn)在普遍使用的黎曼積分的雛形,整個(gè)積分過程經(jīng)歷了劃分、求和、取極限的“三部曲”,定義建立在連續(xù)函數(shù)上,是構(gòu)造性的,在定義的條件之下,可以證明積分和的極限必然存在,不需要再作可積函數(shù)類的討論,但是,柯西意義下的積分,只能在連續(xù)函數(shù)上進(jìn)行,人們自然會提出,除了連續(xù)函數(shù)外,什么樣的函數(shù)還可以進(jìn)行積分?這就首先必須對積分概念加以擴(kuò)充,使積分概念與積分對象分離,然后在新的積分概念下去探求適合定義所要求的對象[3]。德國數(shù)學(xué)家黎曼最先研究了這一問題,提出了新的積分概念,即現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)分析)中通用的R(黎曼)積分。

(3)R(黎曼)積分的定義

先指出定義中涉及到的幾個(gè)名詞。

在區(qū)間[a,b]內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn),如式(4):

把[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間這就說給定了[a,b]的一個(gè)分劃T,記作:T=｛x0,x1,x2,...,x n｝。

小區(qū)間Δi=[x i-1,x i]的長度記作Δi=x i-x i-1,稱為分劃T的模。

分劃T的?？坍嬃朔謩漈的細(xì)密程度,‖T‖越小,分劃越細(xì)密,反之亦然,但是不同的分劃卻可以相同的模,同一個(gè)模可以對應(yīng)無窮多個(gè)分劃,也就是說模和分劃不是一對一的[4]。

設(shè)函數(shù)f(x)定義于[a,b],對于分劃T=｛x0,x1,x2,...,x n｝,任取ξi∈(x i-1,x i)(i=1,2,...,n),ξi稱為介點(diǎn),和式稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上關(guān)于分劃T的一個(gè)積分和(黎曼和),由于ξi(i=1,2,...,n)可以在Δi上任意選取,對區(qū)間[a,b]上的一個(gè)確定的分劃T,可以作出無窮多個(gè)積分和,f(x)在區(qū)間[a,b]上關(guān)于分劃T的所有積分和的集合記作式(5):

定義:設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù),J是常數(shù),如果?ε＞0,?δ＞0,使對區(qū)間[a,b]上的任意一個(gè)分劃T,只要‖T‖＜δ,就有式(6):

則稱f(x)在[a,b]上依黎曼意義可積分,簡稱R可積,稱J為f(x)在[a,b]上的黎曼積分或者定積分,記作,或者記作J。如式(7):

若‖T‖→0時(shí),∑f(ξi)Δx i不趨于任何定值,就稱f(x)在[a,b]上不可積,由于柯西積分和黎曼積分定義的結(jié)構(gòu)形式雷同,但前者對被積分函數(shù)加了連續(xù)限制,對分劃T加了等分限制,而后者卻對被積分函數(shù)未加任何限制,所以R(黎曼)積分概念是柯西積分概念的直接推廣,已知道存在一類有界不連續(xù)函數(shù)是黎曼可積的[5],另外,若f(x)在[a,b]上是N可積的,則f(x)必是R可積的,此時(shí)兩種可積的意義是等價(jià)的,如式(8):

當(dāng)然,一般情況下R積分和N積分并不相等。

在高等數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)分析)中,R積分被認(rèn)為是夠用的理想的積分概念,但是科學(xué)是不斷發(fā)展的,由于實(shí)際的需要,R積分也顯示出了它的一些弱點(diǎn),例如R可積類的范圍還不夠廣,因此又有一些新的積分概念出現(xiàn),如勒貝格(Lebesgue)積分(常稱為L積分)就是其一,它較R積分更為一般,不過,R積分更加自然和易解易懂,因此現(xiàn)代對于廣義黎曼積分的研究也受到了人們的重視[6]。

2 不定積分與R(黎曼)積分的關(guān)系

函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)構(gòu)成的集合,稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分,記作式

(9):

這里有兩個(gè)問題,一是存在性,即哪些函數(shù)存在原函數(shù);二是求法,即如果原函數(shù)存在,如何找出其原函數(shù),要從根本上解決這兩個(gè)問題,最終都要借助于“定積分”這個(gè)工具[7]。

關(guān)于存在性的討論,一條途徑是從微分介值定理得出的,即“有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)不存在原函數(shù)”;另外,是利用活動上限的定積分所定義的函數(shù),只要f(x)連續(xù),則f(x)的原函數(shù)一定存在,而且F(x)就是其中之一。

關(guān)于求法問題,一是從不定積分的定義出發(fā),如式(10):

所以,從每一個(gè)求導(dǎo)公式就可以“翻譯”一個(gè)相應(yīng)的求不定積分的公式,但是,這樣的倒推法還不能解決全部的求和問題,這一點(diǎn)與微分法不同[8],例如,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及微分法則可以求出全部初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然而根據(jù)不定積分定義和積分法則,即使對某些簡單的初等函數(shù)的不定積分也無能為力,問題在于導(dǎo)數(shù)定義本身給出了求導(dǎo)數(shù)的一個(gè)構(gòu)造性算法,而不定積分的定義卻沒有這個(gè)特點(diǎn),同時(shí)更重要的是所有的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù),但不少初等函數(shù)的不定積分卻不是初等函數(shù),因此,還需要另找辦法去解決。

設(shè)函數(shù)f(x)在I上不定積分存在,原函數(shù)為F(x),已知在某點(diǎn)x=a的值為F(a),如微分中值公式(11):

其中b∈I,因?yàn)楫?dāng)b-a較大時(shí),ξ的位置難作準(zhǔn)確定位,從而F(b)的值就更難準(zhǔn)確估計(jì),將[a,b]等分為n個(gè)小區(qū)間,Δi=[x i,x i+1](i=0,1,2,...,n-1),x0=a,x n=b,則式(12):

其誤差為式(13):

若f(x)連續(xù),容易證明,當(dāng)n→∞時(shí)上式以0為極限,如式(14):

這就將求原函數(shù)兩點(diǎn)差值的問題轉(zhuǎn)化為求和數(shù)的極限,即定積分的問題了,改b為x則有式(15):

這從原則上給連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)給出了一條構(gòu)造性的定義和算法,基本上解決了連續(xù)函數(shù)的不定積分的求法問題。

3 結(jié) 語

在上述分析的基礎(chǔ)之上,從更深層次即哲學(xué)的角度看出數(shù)學(xué)分析的基本方法---極限方法。這些對立統(tǒng)一規(guī)律、整體與局部規(guī)律、量變與質(zhì)變矛盾變化規(guī)律等基本哲學(xué)思想在數(shù)學(xué)分析中的具體體現(xiàn)和運(yùn)用,為進(jìn)一步研究利用數(shù)學(xué)建模思想對隴南電商助力鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略的分析與模式研究提供了新的思路和方法。