對稱2-（11，5，2）設計的全自同構群

董 磊

令v，k，λ是非負整數(shù)，且v>k>λ. 一個對稱2-（v，k，λ）設計，是指一個有序二元組D= (V,?)，其中V是一個含v個元素的集合，? 是由V的k- 子集所構成的集合. 其中，V中的元素稱為點，? 中的元素稱為區(qū)組，并滿足以下條件：

（1）|?|=v；

（2）V中的任一點都恰好屬于? 中的k個區(qū)組；

（3）? 中任意兩個不同的區(qū)組的交集是V的λ- 子集；

（4）V中的任意兩個不同的點都同時屬于? 的λ個不同的區(qū)組.

現(xiàn)設D為對稱2-（11，5，2）設計，D的全體自同構關于映射的合成組成一個群，叫作D的全自同構群，并記作Aut(D). 如果α∈Aut(D)，本文用fix(α) 表示被α保持不動的點組成的集合. 組合設計的全自同構群一直是很多組合學家所關注的問題，文獻［1］和文獻［2］討論了某些對稱設計的全自同構群. 如果令V=Z11，? ={{i,i+ 2,i+ 3,i+ 4,i+ 8 }|i∈Z11} ，那么，D= (V,?) 就是一個對稱2-（11，5，2）設計. 本文主要研究的是對稱2-（11，5，2）設計的全自同構群.

1 預備知識

引理1［3］如果素數(shù)p除對稱2 - (v,k,λ)設計的全自同構群的階，那么p整除v或者p≤k.

引 理2［4］若對稱2-(v,k,λ) 設計的一個非單位自同構保持f個點不動，則有：

引 理3［4］若D= (V,?) 是一個對稱2-(v,k,λ) 設計，α∈Aut(D)，o(α=p)，其 中p滿足(λ,p) = 1. 如果B∈? 至少 包含α的兩 個不動點，則B中α的不動點的個數(shù)同余k模p，并且? 中包含α的不動區(qū)組的個數(shù)也同余k模p.

引 理4［4］若x,y∈fix(α)，λ

2 主要結論

定理1 如果p是對稱2-（11，5，2）設計的全自同構群的階的一個素因子，則p∈{2 ,3,5,11} .

證明 由引理1 可知，如果素數(shù)p整除對稱2 - (v,k,λ) 設計的全自同構群的階，那么p整除v或者p≤k，則我們有p|11 或p≤5，從而p∈{2 ,3,5,11} .

定理2 設D= (V,?) 是一個對稱2-（11，5，2）設 計，α∈Aut(D)，且o(α)= 2，則|fix(α)|∈{3 ,4,5} .

定理3 設D= (V,?) 是一個對稱2-（11，5，2）設 計，α∈Aut(D)，且o( )α= 3，則|fix(α)|= 2. 并且，若3n| |Aut|，則n≤2.

定理5設D= (V,?) 是一個對稱2 -(11,5,2) 設 計，α∈Aut(D)，且o(α)= 11，則|fix(α)|= 0. 并且，若11n| |Aut|，則n≤1.

3 結語

本文研究了Aut(D) 的階，針對于其中的階為素數(shù)的自同構，給出了有關這些自同構的不動點數(shù)量. 對于其他的對稱設計，可以用本文的方法把Aut(D) 的階和階為素數(shù)的自同構的不動點個數(shù)研究清楚.