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    從一道中考題看幾何模型大顯神威

    2022-08-23 10:40:28東莞市南城中學羅愛華
    師道(教研) 2022年8期
    關鍵詞:作法輔助線直角

    文/ 東莞市南城中學 羅愛華

    許多中考幾何題一眼看去圖形復雜,但仔細分析便會發(fā)現,里面其實是隱藏著“一線三等角”“一點四線兩等角”等常見的幾何模型。本文精選了一道中考試題,引導學生從圖形特征入手,按照“缺什么作什么”的輔助線原則,巧妙構建出上述兩種幾何模型,最終實現了一圖兩模型、一題五解法。

    一、精選試題

    幾經周折,筆者終于找到了符合上述要求的題目,即武漢市2014年中考試卷的第16 題。

    如圖1,在四邊形ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,則BD 的長為 .

    圖1

    此題分值雖不高,但難度頗大,如果對幾何模型缺乏深入的研究,是很難找到頭緒的。

    二、模型特征及其解法分析

    (一)一線三等角

    1.模型特征

    “一線三等角”是指圖中三個相等的角的頂點恰好在同一條直線上。

    2.解法展示

    首先要弄清下面的三個問題:

    (1)為什么會想到用“一線三等角”?

    因為題目給出了∠ACB=∠ADC=45°,它們的頂點C、D 恰好在直線DC 上。

    (2)如何構造“一線三等角”?

    本著“缺什么作什么”的輔助線原則,要構造“一線三等角”,必須在直線DC 上再找一個點,使其成為45°的角的頂點。直接的作法是:延長DC 到點E,使∠CEB=45°,但由于點E 尚未確定,無法作出∠CEB=45°。那就采用間接的辦法,作∠CBE=∠ACD 交DC 的延長線于E,這就相當于∠CEB=45°,如圖2。

    圖2

    (3)構造“一線三等角”有什么用?

    證明兩個三角形相似,如果這兩個三角形有一組對應邊相等,則這兩個三角形全等。

    說到“一線三等角”,絕對不能忽略∠CAB 這個直角,因為“一線三等角”是經常跟直角打交道的,經過頂點A 的直線除了構成直角的AC 和AB 外,只剩下DA 了,也就是說,要想構造“一線三等角”,另外兩個直角的頂點必須在直線DA上,輔助線作法:作CF⊥DA 于F,BE⊥DA 交DA 的延長線于E,如圖3。

    圖3

    (二)一點四線兩等角

    1.模型特征

    “一點四線兩等角”具有以下的特征:由某一點發(fā)出四條線段,這四條線段恰好是分別相等的兩組線段,而且這四條線段所構成的諸多夾角中有兩個角相等(不屬于對頂角)。

    2.解法展示

    說句實話,筆者也不是剛開始就想到用“一點四線兩等角”進行求解的,后來發(fā)揮了已知條件∠ABC=∠ACB=45°的作用,得到AC=AB 之后才恍然大悟。

    (1)為什么選點A 作為“一點四線兩等角”的一點?

    圖1上的A、B、C、D 四個點均發(fā)出了三條線段,之所以選點A,是因為只有以點A 為端點的線段出現了相等的情形(AC=AB)。

    (2)為什么針對AD 來添加輔助線?

    圖1中以點A 為頂點的三個角中,∠CAB=90°最為特別,而AD并沒有參與。

    (3)怎樣作輔助線?

    對照“一點四線兩等角”的特征,缺什么就作什么。少了一個90°的角,那就作∠DAE=90°;少了一組相等的邊,那就再要求AE=AD,然后連接DE,如圖4。

    圖4

    【解法4】整個解答過程與解法3 大同小異,只有兩處不同:①輔助線AE 的作法一樣,但位置不同,如圖5;②用“SAS”證明兩個三角形全等時,證明夾角相等所用的方法不同,解法3 用的是90°與公共角∠CAE 的差,而解法4 用的則是90°與公共角∠DAC 的和。

    圖5

    【解法5】作AE⊥DC 于E 之后,再作∠EAF=∠CAB=90°,且AF=AE,延長DC 交直線BF 于G,如圖6。

    圖6

    當然,此題還有其它的解法,比如根據∠CAB=90°構造ΔCAB 的外接圓,但鑒于本文只探究與上述兩種幾何模型相關的解法,故其它的解法不作展示。

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