基于改進(jìn)Lyapunov泛函的時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

張鎮(zhèn)佳，姜偕富，戎佳豪，趙 冰

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

實(shí)際應(yīng)用中，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等往往出現(xiàn)時(shí)滯現(xiàn)象，導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降，甚至發(fā)生系統(tǒng)穩(wěn)定性突變[1]。過(guò)去的幾十年間，學(xué)者們?cè)谌绾斡行Ы档蜁r(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性問(wèn)題上進(jìn)行了大量研究，取得了許多研究成果。文獻(xiàn)[2-4]在構(gòu)造L-K泛函時(shí)，加入時(shí)滯-乘積項(xiàng)，引入時(shí)滯和時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的相關(guān)信息，一定程度上降低了穩(wěn)定性判據(jù)的保守性，但在積分項(xiàng)界定上仍有較大的保守性；文獻(xiàn)[5]在原有的倒數(shù)凸組合方法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用擴(kuò)展的倒數(shù)凸組合不等式，減小了時(shí)滯相關(guān)的倒數(shù)凸組合不等式的決策變量數(shù)，獲得了一個(gè)保守性較小的穩(wěn)定性判據(jù)，但運(yùn)算過(guò)程相對(duì)繁瑣；文獻(xiàn)[6]采用Bessel-Legendre不等式來(lái)界定L-K泛函求導(dǎo)產(chǎn)生的積分項(xiàng)，并通過(guò)改變分段數(shù)來(lái)降低穩(wěn)定性判據(jù)的保守性，但是，隨著分段數(shù)的增大，計(jì)算復(fù)雜度隨之提高；文獻(xiàn)[7]運(yùn)用基于自由矩陣的積分不等式來(lái)處理積分項(xiàng)，雖然得到一個(gè)保守性較小的結(jié)果，但引入較多自由變量，加大了計(jì)算量；文獻(xiàn)[8]建立了增廣型的零等式，得出一個(gè)具有較小保守性的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，但計(jì)算量較大。本文主要研究時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，在文獻(xiàn)[8-10]的基礎(chǔ)上，利用更多的時(shí)滯相關(guān)信息，構(gòu)造了一個(gè)改進(jìn)的增廣型L-K泛函，給出一個(gè)低保守性的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，并通過(guò)分析含有外部干擾和參數(shù)不確定性的時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒H∞穩(wěn)定性問(wèn)題，給出一個(gè)魯棒H∞的穩(wěn)定條件。

1 線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

假設(shè)線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)如下：

(1)

定理1對(duì)于給定標(biāo)量h>0，μk(k=1,2)，如果存在正定矩陣P∈R7n×7n，Qi∈R6n×6n，Ui∈R5n×5n，Mi∈Rn×n和任意矩陣Si∈R3n×3n(i=1，2)，使得如下矩陣不等式成立，

(2)

(3)

則系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。其中

證明構(gòu)造如下形式的L-K泛函，

V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)

(4)

對(duì)V(xt)進(jìn)行求導(dǎo)，可得：

(5)

(6)

聯(lián)立式(5)—式(6)，可得：

(7)

則當(dāng)

(8)

2 具有參數(shù)不確定性的線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析

在工程應(yīng)用中，系統(tǒng)的不確定性和外部干擾是不可避免的，因此，考慮系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，將系統(tǒng)(1)改寫(xiě)為：

(9)

(10)

定理2對(duì)于給定的標(biāo)量h>0，μk(k=1,2)，如果存在標(biāo)量λ>0，正定矩陣P∈R7n×7n，Qi∈R6n×6n，Ui∈R5n×5n，Mi∈Rn×n和任意矩陣Si∈R3n×3n(i=1，2)，使得下述矩陣不等式成立，則系統(tǒng)(10)魯棒穩(wěn)定，且滿足H∞性能指標(biāo)γ。

(11)

(12)

證明構(gòu)造如定理1中的L-K泛函，并采用定理1中類(lèi)似的證明過(guò)程得到式(7)，對(duì)式(7)中的A,Ad分別用A+HF(t)Ea和Ad+HF(t)Eb進(jìn)行替換，可得：

(13)

由于LMI運(yùn)算不能處理含有F(t)的項(xiàng)，故將其分離，可得：

(14)

(15)

成立。

運(yùn)用Schur補(bǔ)引理對(duì)式(15)進(jìn)行變換，可得：

(16)

根據(jù)式(11)—式(12)可知：

(17)

3 數(shù)值算例

運(yùn)用MATLAB中的LMI工具箱對(duì)定理1和定理2進(jìn)行求解，得到最大允許時(shí)滯上界和最小干擾抑制度，并通過(guò)3個(gè)數(shù)例來(lái)驗(yàn)算本文方法的保守性。

例1使用如下的時(shí)滯系統(tǒng)[8]：

令μ=-μ1=μ2，改變?chǔ)痰娜≈?，分別采用文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[9]和本文的方法進(jìn)行驗(yàn)算，得到的最大時(shí)滯上界如表1所示。

表1 例1中，μ取不同值時(shí)，不同方法的最大允許時(shí)滯上界h

從表1可以看出，3種方法中，μ相同時(shí)，本文定理1得到的最大允許時(shí)滯上界最大，保守性更小。與文獻(xiàn)[9]定理3相比，本文定理1雖然引入了較多的決策變量，計(jì)算復(fù)雜度有所增加，但其保守性小于文獻(xiàn)[9]方法。

例2使用如下的時(shí)滯系統(tǒng)[9-10]：

令μ=-μ1=μ2，改變?chǔ)痰娜≈?，分別采用文獻(xiàn)[9]、文獻(xiàn)[10]、文獻(xiàn)[14]和本文的方法進(jìn)行驗(yàn)算，得到各文獻(xiàn)的最大時(shí)滯上界如表2所示。

表2 例2中，μ取不同值時(shí)，不同方法的最大允許時(shí)滯上界h

由表2可以看出，4種方法中，當(dāng)μ相同時(shí)，本文定理1得到的最大允許時(shí)滯上界最大。因?yàn)楸疚母倪M(jìn)了時(shí)滯乘積項(xiàng)和單重積分項(xiàng)，運(yùn)用了更多的時(shí)滯相關(guān)項(xiàng)，有效降低了結(jié)果的保守性。

通過(guò)上述2個(gè)用例的驗(yàn)算可知，采用本文定理1得到的線性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則具有更小的保守性。

例3對(duì)系統(tǒng)(10)使用如下參數(shù)設(shè)置[15]：

當(dāng)時(shí)滯上界h=1.057，μ=-μ1=μ2=0.9時(shí)，根據(jù)已給系統(tǒng)參數(shù)，運(yùn)用LMI工具箱分別對(duì)定理2和文獻(xiàn)[15]中的定理2進(jìn)行計(jì)算，得到各自的最小干擾抑制度γ。通過(guò)文獻(xiàn)[15]定理2得到γ=1。本文在確定時(shí)滯上界h=1.057的情況下，通過(guò)定理2得到γ=0.71，與文獻(xiàn)[15]方法相比，本文定理2得到的干擾抑制度更小，具有更強(qiáng)的抗干擾能力。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)，本文給出一個(gè)改進(jìn)的時(shí)滯乘積型L-K泛函。通過(guò)改進(jìn)現(xiàn)有的L-K泛函得到一個(gè)決策變量少、保守性小的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性準(zhǔn)則；并將改進(jìn)的L-K泛函應(yīng)用于具有參數(shù)不確定性的時(shí)滯系統(tǒng)中，給出一個(gè)具有較小保守性的魯棒H∞穩(wěn)定性準(zhǔn)則。但是，本文并未考慮非線性因素，下一步將本文方法應(yīng)用于非線性時(shí)滯系統(tǒng)的相關(guān)研究中。