Sylvester矩陣方程組特殊解的H-表示解法

劉志紅李 瑩丁文旭樊學玲

(聊城大學 數學科學學院，山東 聊城 252059)

0 引言

本文使用的符號:C n為n階復列向量集合，C m×n為m×n階復矩陣集合，I n為n階單位陣，A?為復矩陣A的MP逆，AT為復矩陣A的轉置。K n為n階Hankel矩陣集合，T n為n階Toeplitz矩陣集合。

特殊矩陣的研究取得了一系列的成果，其中形如

的矩陣稱為Hankel矩陣。近年來，Hankel矩陣受到越來越多學者的關注，例如，錢研究了基于Hankel矩陣的熒光油膜灰度與厚度預測模型改進[1]，郭提出在離線階段使用能夠有效去除噪聲的Hankel矩陣，重構RSS指紋數據庫將真實信號空間與噪聲空間分離[2]，仇提出一種將Hankel矩陣奇異樣本熵、奇異能量值和隨機森林相結合的電機故障診斷方法[3]。

Toeplitz矩陣作為Hankel矩陣的一種特殊變形，即

在工業(yè)上具有廣泛的應用，如吳研究了基于Toeplitz矩陣的MIMO 雷達DOA 估計[4]，梁通過對陣列接收的單次快拍數據進行相關處理后重構Toeplitz矩陣并證明該矩陣的秩不受信號相干性的影響，再通過特征值分解得到對應的信號子空間和噪聲子空間，結合MUSIC，ESPRIT 等子空間類算法實現了對相干和非相干信號的DOA 估計[5]。

對給定的矩陣A，D∈C m×n，B，E∈C n×p，G∈C m×p，矩陣方程

被稱為Sylvester方程。它在系統理論[6，7]、圖像恢復[8]、目標跟蹤[9，10]、農業(yè)工程[11]、模型降階[12]等方面具有廣泛的應用。許多學者利用不同方法研究了Sylvester方程的解，如袁研究了復矩陣方程(1)的極小范數最小二乘Hermitian解[13]，楊研究了矩陣方程(1)的Hermitian迭代解[14]，馮研究了矩陣方程(1)的極小范數最小二乘三對角Hermitian解[15]。本文將研究Sylvester方程組

的Hankel解及Toeplitz解。

問題1設矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，求

并求極小范數最小二乘Hankel解X H∈S H，即

問題2設矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，求

并求極小范數最小二乘Toeplitz解X T∈S T，即

求解矩陣方程的一種常用方法是直接利用vec算子將矩陣方程變?yōu)橄蛄糠匠?，該方法不考慮矩陣的結構特點，運算量較大。如果所求解具有某種結構特點，直接轉化會造成計算上的浪費。H-表示方法給出了一種提取特殊結構矩陣獨立元素的固定模式，利用H-表示，可以將矩陣方程轉化為向量值方程，通過簡化解的結構降低運算的復雜度[16]。目前，H-表示在隨機系統[17-19]等方面具有廣泛的應用。例如，Wang研究了具有多噪聲的馬爾科夫跳變隨機系統的精確能觀性[20]，Li研究了隨機時滯系統的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性[21]。本文將H-表示的方法應用于矩陣方程的計算中。

本文包括以下內容:第一節(jié)，介紹矩陣H-表示的方法并研究其性質；第二節(jié)，利用H-表示研究方程組(2)的極小范數最小二乘Hankel解和極小范數最小二乘Toeplitz解并給出有解的充要條件及通解表達式；第三節(jié)，給出數值算法，并通過數值實驗檢驗算法的有效性；第四節(jié)，將此方法成功應用到一類離散周期耦合Sylvester矩陣方程組的計算中；第五節(jié)，對文章進行總結。

1 矩陣的H-表示

定義1[16]考慮一個p維復矩陣子空間P?C n×n，對每個矩陣X ＝x ij()n×n∈P，總存在一個映射ψ:X∈P?V c(X)，其中V c為vec算子。如果dimP( )＝p，e1，e2，…，e p組成P的一組基，p≤n2，那么存在x1，x2，…，x p∈C，使得。定義H ＝(V c(e1) ，V c(e2) ，…，V c e(p)) ，那么對每個X∈P，我們都可以用一個p維向量將ψ(X)＝V c(X)表示成

這里(x1，x2，…，x p)T，那么就叫做ψ(X)的H-表示，H叫做ψ(X)的H-表示矩陣。

注任意X∈P，由于P的基底選擇的不同，ψ(X)的H-表示是不同的，也就是說，矩陣H可能是不同的。顯然，當P的基底固定時，H-表示矩陣H及向量是唯一確定的。

例1 設P ＝K3，X ＝x ij() ∈P，dimP( )＝5。

選擇P的一組基底

容易計算出

式中，

例2設P ＝T3，X ＝x ij() ∈P，dimP( )＝5。

選擇P的一組基底

容易計算出

式中

本文將對P＝K n以及P＝T n做H-表示如下，首先選取n階Hankel矩陣與n階Toeplitz矩陣的標準基底。

定理1若P ＝K n，選取一組標準基底

若P ＝T n，選取一組標準基底

顯然，對上述給定的基底，若P ＝K n，那么對任意X k ＝x ij()n×n∈P，我們有

同樣的，對P ＝T n，那么對任意X t ＝x ij()n×n∈P，我們有

為了方便，我們用H K表示對應于P ＝K n的H-表示矩陣，用H T表示中對應P ＝T n的H-表示矩陣。

2 Sylvester方程組的Hankel解和Toeplitz解

引理1[22]設A∈C m×n，b∈C m，則不相容線性方程組Ax ＝b的最小二乘解的通式為x ＝A?b＋(I n－A?A)y，其中y∈C n是任意的。

引理2[22]設A∈C m×n，b∈C m，則線性方程組Ax＝b有解的充分必要條件是AA?b＝b，這時，Ax＝b的通解是x ＝A?b＋(I n－A?A)y，其中y∈C n是任意的。

定理2設矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2， 定義映射

這里由(4)定義，則矩陣方程組(2)的最小二乘Hankel解X表達式為

極小范數最小二乘Hankel解X H滿足

證明設X為矩陣方程組(2)的最小二乘Hankel解，利用MP逆的性質得

因此

對于復矩陣方程Mφ(X)＝G，由引理1可以得到它的最小二乘解X滿足

其極小范數最小二乘解X H滿足φ X H()＝M?G。

推論1設矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，矩陣方程組(2)有Hankel解的充要條件為

且其通解表達式滿足φ(X)＝M?G ＋(I2n－1－M?M)y，?y∈C2n－1，極小范數Hankel解X1滿足

證明利用定理2的證明過程，可以得到

利用MP逆的性質得

從而

類似的，我們可以得到問題2的極小范數最小二乘Toeplitz解及推論2，證明過程略。

定理3設矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2， 定義映射

這里由(5)定義，則矩陣方程組(2)的最小二乘Toeplitz解X表達式為

極小范數最小二乘Toeplitz解X T滿足

推論2設矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，矩陣方程組(2)有Toeplitz解的充要條件為

且其通解表達式滿足χ(X)＝N?G ＋(I2n－1－N?N)y，?y∈C2n－1，極小范數Toeplitz解X2滿足

3 數值算例

在求解矩陣方程時，一種常用方法是利用vec算子轉化為Ax ＝b的形式，然后利用廣義逆進行求解。和求解矩陣方程的常用方法相比，H-表示方法在計算特殊解誤差與求解時間方面有較明顯優(yōu)勢。

算法

步驟1 輸入A i，B i，D i，E i，G i∈C n×n，i＝1，2，H K，H T∈C n2×2n－1()。

步驟2 輸出G，M，N。

步驟3 根據公式(6)和(7)，輸出矩陣方程組(2)的極小范數Hankel解和極小范數Toeplitz解。

算例考慮Sylvester方程組，令n＝5k，k＝1:18，在Matlab中隨機生成n階矩陣A1，A2，B1，B2，D1，D2，E1，E2，具體如

生成n階Hankel矩陣與Toeplitz矩陣

計算

用上述算法與矩陣方程的常用求解方法求Sylvester方程組的極小范數Hankel解與極小范數Toeplitz解，利用兩種方法得到的極小范數Hankel解X1與真實解Xhh的誤差數量級ε1＝log10(X1－X hh) 如圖1所示，極小范數Toeplitz解X2與真實解X tt的誤差的數量級ε2＝log10(X2－X tt) 如圖2所示。利用兩種方法計算極小范數Hankel解所需時間如圖3所示，計算極小范數Toeplitz解所需時間如圖4所示。

圖1 問題1的誤差比較

圖2 問題2的誤差比較

圖3 問題1的時間比較

圖4 問題2的時間比較

根據圖1、圖2，在求解同等規(guī)模的Sylvester方程組的極小范數Hankel解和極小范數Toeplitz解時，本文提出的H-表示的方法得到的誤差明顯小于常用解法。根據圖3、圖4，當矩陣維數大于50時，相比于常用方法，H-表示方法在求解時所需時間更短，且隨維數增大，H-表示方法優(yōu)勢更大。因此可以得出H-表示方法在求解矩陣方程時更占優(yōu)勢。

4 應用

周期Sylvester矩陣方程組的求解是離散周期系統魯棒極點配置、狀態(tài)觀測器設計、基于觀測器的魯棒控制和故障判斷等控制領域問題研究的關鍵環(huán)節(jié)，本節(jié)我們研究在特征值收集的周期計算子空間計算中常用的一類離散周期耦合Sylvester矩陣方程組。一般意義下，周期耦合矩陣方程可以含有多個約束矩陣方程，但為方便討論，我們設定其兩個約束方程如

式中A i，j，B i，j，D i，j，E i，j，i＝1，2，均為以T為周期的給定的矩陣，矩陣X j，Y j為待解矩陣。這里，我們考慮時不變系統，即T ＝1，且X j ＝Y j，(8)等價地轉化為

我們考慮解X為Toeplitz型矩陣的情況。選取以下的參數矩陣

利用H-表示，我們得到

因此矩陣方程組的Toeplitz解為

5 小結

本文提出了一種基于H-表示方法求解線性矩陣方程組的方法。與求解矩陣方程組的常用方法相比，利用此方法可以降低運算復雜度，減少運算時間。通過驗證，該算法精度較高，耗時更少，優(yōu)勢更大。該方法可用于計算具有指定特征值集的周期收縮子空間的特殊時不變耦合矩陣方程的Toeplitz解。