抓住基本圖形 凸顯模型意識(shí) 直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)
——一道中考幾何壓軸題的解法賞析及思考

藍(lán)文英

(福建省廈門(mén)市海滄中學(xué) 361028)

新課標(biāo)對(duì)幾何教學(xué)的要求是能引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，并能分析基本圖形中的基本元素及其關(guān)系，利用幾何直觀來(lái)進(jìn)行思考,凸顯模型思想，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).本文通過(guò)對(duì)一道中考幾何壓軸題的解法探究，既呈現(xiàn)通性通法也展示巧思妙解，追溯幾何問(wèn)題本質(zhì)，并引發(fā)幾何解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考，思考解題思維與學(xué)科育人價(jià)值.

1 試題呈現(xiàn)

圖1

(2021年福建省數(shù)學(xué)中考24題)如圖1，在正方形

ABCD

中，

E

，

F

為邊

AB

上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)

A

關(guān)于

DE

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

A

′,

AA

′的延長(zhǎng)線交

BC

于點(diǎn)

G.

(1)求證：

DE//A

′

F

;(2)求∠

GA

′

B

的大小；(3)求證：

A

′

C

=2

A

′

B.

2 優(yōu)點(diǎn)解讀

2.1 題目結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔美觀，思維考查目標(biāo)明確

本題是2021年福建省中考卷的幾何壓軸題，綜合性強(qiáng)，第(2)、(3)問(wèn)具有一定的難度和區(qū)分度.題干簡(jiǎn)潔優(yōu)美，選用正方形為背景，結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，富含數(shù)學(xué)味，解法多，不僅能用常規(guī)方法解，也能用創(chuàng)新解法解.但要準(zhǔn)確完成3問(wèn)的解答需具備較強(qiáng)的思維能力，思維考查目標(biāo)明確.本題考查面廣，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，既考查幾何基本知識(shí)又考查推理運(yùn)算能力，綜合考查了正方形與軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線、圓、解直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí).因此，本題不僅關(guān)注到中考的選拔性功能，更注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和學(xué)科育人價(jià)值，試題立意深遠(yuǎn).

2.2 梯度分明學(xué)思并重，立足落實(shí)核心素養(yǎng)

教育的根本目的是立德樹(shù)人，而培育學(xué)生的核心素養(yǎng)是落實(shí)立德樹(shù)人的有效途徑.本題注重學(xué)科價(jià)值與思維并重，以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為落腳點(diǎn).本題設(shè)問(wèn)分明、巧設(shè)梯度、自然連貫，第(1)、(2)問(wèn)為第(3)問(wèn)鋪設(shè)臺(tái)階，思維鏈長(zhǎng)且環(huán)環(huán)相扣，難度呈螺旋式上升.第(1)問(wèn)設(shè)置平行知識(shí)，旨在引導(dǎo)學(xué)生直觀感知、捕捉基本圖形的同時(shí)能夠利用平行線轉(zhuǎn)移角的功能，并結(jié)合全等與相似知識(shí)解決問(wèn)題.第(3)問(wèn)需要在前兩問(wèn)的基礎(chǔ)上，借助幾何直觀綜合分析,需具備一定的模型思想，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì).因此，第(3)問(wèn)難度大、區(qū)分度高，集中考查運(yùn)算推理能力、空間觀念與直觀想象以及轉(zhuǎn)化思想，特別是有序有向思考的能力，有效考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，具有較強(qiáng)的學(xué)科育人功能.

3 解法探究

問(wèn)題(1)比較基礎(chǔ)，大部分學(xué)生能夠利用三角形中位線知識(shí)完成解答；問(wèn)題(2)、(3)思維含量高，解法豐富，不同思維層次的學(xué)生呈現(xiàn)出不同的解法.學(xué)生借助幾何直觀，抓住基本圖形或者結(jié)合模型思想，能夠找到問(wèn)題的突破口.下面針對(duì)問(wèn)題(2)、(3)，給出幾種典型解法.

3.1 建構(gòu)常規(guī)思維，立足自然解法

第(2)問(wèn)是求∠

GA

′

B

，初中階段可以直接從特殊角入手，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，使待求角成為直角三角形中的一個(gè)內(nèi)角.結(jié)合三角函數(shù)和勾股定理，發(fā)現(xiàn)所構(gòu)造的三角形正好是等腰直角三角形，進(jìn)而得出待求角為45°.

解法1 從特殊角入手，構(gòu)造直角三角形

圖2

如圖2，過(guò)點(diǎn)

B

作

BH

⊥

AG

于點(diǎn)

H

，則∠

AHB

=90°.在正方形

ABCD

中，

AD

=

AB

,∠

DAB

=∠

ABG

=90°.設(shè)直線

DE

與

AA

′交于點(diǎn)

O

，因?yàn)辄c(diǎn)

A

和

A

′關(guān)于

DE

對(duì)稱(chēng)，所以

DE

垂直平分

AA

′，即

DE

⊥

AA

′，

AO

=

OA

′.所以∠

AOD

=90°，即∠

ADE

+∠

DAO

=90°.又因?yàn)椤?p>BAH

+∠

DAO

=90°，所以∠

ADE

=∠

BAH

，△

DAE

≌△

ABG

，

AE

=

BG.

不妨設(shè)

AE

=

a

，則由

E

和

F

為

AB

邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得

AE

=

EF

=

FB

=

BG

=

a.

在Rt△

A

′

HB

中，設(shè)

BH

=

x

，因?yàn)閯t

AH

=3

x

，所以

AH

+

BH

=

AB

,即(3

x

)+

x

=(3

a

),解得同理，由第(1)問(wèn)可知∠

AA

′

F

=90°.在Rt△

AA

′

F

中，不妨設(shè)則

A

′

A

=3

y.

所以

A

′

A

+

A

′

F

=

AF

，即(3

y

)+

y

=(2

a

)，解得所以所以Rt△

A

′

HB

是等腰直角三角形，即∠

GA

′

B

=45°.

解法2 利用相似三角形

如圖2，過(guò)點(diǎn)

B

作

BH

⊥

AG

于點(diǎn)

H

，則∠

AHB

=90°.由

DE

垂直平分

AA

′，得

OA

=

OA

′，∠

AOE

=∠

AHB

=90°，所以

DE

∥

HB.

又由第(1)問(wèn)知

DE

∥

A

′

F

，故

DE

∥

A

′

F

∥

HB

，不妨設(shè)

AE

=

a

，則由

E

和

F

為

AB

邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，知

AE

=

EF

=

FB

=

a.

所以又因?yàn)?p>OA

=

OA

′，故

A

′

H

=

AO

=

A

′

O.

易證△

AOE

∽△

DAE.

所以所以Rt△

A

′

HB

是等腰直角三角形，∠

HA

′

B

=45°，∠

GA

′

B

=45°.

3.2 抓住基本圖形，探尋創(chuàng)新解法

復(fù)雜幾何圖形是由多個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形疊加或者組合而成，借助幾何直觀和空間想象思考圖形之間的關(guān)聯(lián)，從整體到局部地觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征，抓住基本圖形，就等于握住了解題的“金鑰匙”，也就打開(kāi)了通往解題的康莊大道.波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)：“當(dāng)我們的問(wèn)題比較困難時(shí)，我們可能感到很有必要進(jìn)一步把問(wèn)題再分解成幾部分，并研究其更細(xì)微的末節(jié).”因此，解決幾何問(wèn)題的一個(gè)基本策略就是仔細(xì)推敲題目條件，尋找與其關(guān)聯(lián)的基本圖形，感知基本圖形所獲得的相關(guān)結(jié)論及其隱含的線索.從圖3(1)中發(fā)現(xiàn)，四邊形

A

′

FBG

中有一組對(duì)角為直角，很容易通過(guò)作垂線段構(gòu)造矩形.同時(shí)該四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，聯(lián)想到四點(diǎn)共圓，從而能得出創(chuàng)新解法3和特殊解法5.由圖3(2)、3(3)的發(fā)現(xiàn)，較容易想到可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)△

A

′

FB

或△

A

′

BG

，進(jìn)而得到創(chuàng)新解法4.可見(jiàn)，通過(guò)基本圖形可以將陌生的、復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形，從而發(fā)現(xiàn)解題方向，這不僅是幾何教學(xué)的基本策略，也是本題特殊解法的重要源泉.

圖3

解法3 旋轉(zhuǎn)全等

圖4

如圖4,分別過(guò)點(diǎn)

B

作

BH

⊥

AG

于點(diǎn)

H

，作

BP

⊥

A

′

P

于點(diǎn)

P

，則∠

A

′

HB

=∠

A

′

PB

=90°.由第(1)問(wèn)知∠

GA

′

P

=90°，所以四邊形

A

′

PBH

是矩形，∠

PBH

=90°，即∠

PBF

+∠

FBH

=90°.又因?yàn)樵谡叫?p>ABCD

中，∠

ABC

=90°，得∠

HBG

+∠

FBH

=90°，∠

HBG

=∠

PBF.

又因?yàn)椤?p>BHG

=∠

BPF

=90°，由解法1可知

FB

=

BG

=

a

，則△

BHG

≌△

BPF

(AAS)，所以

BH

=

BP

，所以矩形

A

′

PBH

是正方形，

A

′

H

=

HB

，Rt△

A

′

HB

是等腰直角三角形，即∠

GA

′

B

=45°.解法4 如圖5，過(guò)點(diǎn)

B

作

BA

′的垂線交

A

′

G

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

H

，∠

A

′

BH

=90°，得∠

A

′

BG

+∠

GBH

=90°.因?yàn)樵谡叫?p>ABCD

中，∠

ABC

=90°，所以∠

FBA

′+∠

A

′

BG

=90°，∠

FBA

′=∠

GBH.

在四邊形

A

′

FBG

中，∠

ABG

=∠

FA

′

G

=90°，則∠

A

′

FB

+∠

A

′

GB

=180°.又因?yàn)椤?p>BGH

+∠

A

′

GB

=180°，所以∠

BGH

=∠

A

′

FB.

由 解法1可知

FB

=

BG

=

a

，所以△

A

′

FB

≌△

HGB

(ASA)，

A

′

B

=

HB

，Rt△

A

′

BH

是等腰直角三角形，即∠

GA

′

B

=45°.

圖5 圖6

當(dāng)然，如圖6，如果過(guò)點(diǎn)

B

作

BA

′的垂線交

A

′

F

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

H

，∠

A

′

BH

=90°，則∠

A

′

BF

+∠

FBH

=90°.因?yàn)樵谡叫?p>ABCD

中，∠

ABC

=90°，所以∠

FBA

′+∠

A

′

BG

=90°，∠

FBH

=∠

A

′

BG.

在四邊形

A

′

FBG

中，∠

FBG

=∠

FA

′

G

=90°，所以∠

A

′

FB

+∠

A

′

GB

=180°.又因?yàn)椤?p>A

′

FB

+∠

BFH

=180°，得∠

BFH

=∠

A

′

GB.

由解法1可知

FB

=

BG

=

a

，則△

A

′

GB

≌△

HFB

(ASA)，

A

′

B

=

HB

，Rt△

A

′

BH

是等腰直角三角形，∠

HA

′

B

=45°，∠

GA

′

B

=45°.

解法5 構(gòu)造輔助圓，四點(diǎn)共圓

圖7

如圖7，取

FG

的中點(diǎn)

O

，連結(jié)

OA

′，

OB.

由第(1)問(wèn)可知

DE

∥

A

′

F

，則

A

′

F

⊥

AA

′,所以∠

FA

′

G

=90°.在正方形

ABCD

中，∠

ABG

=90°.在Rt△

FA

′

G

和Rt△

FBG

中，所以

OF

=

OB

=

OG

=

OA

′，點(diǎn)

A

′，

F

，

B

，

G

四點(diǎn)在以

O

為圓心、

OA

′為半徑的同一個(gè)圓上.根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，∠

GA

′

B

=∠

GFB

，由解法1可知△

DAE

≌△

ABG

，

AE

=

BG.

又因?yàn)?p>E

和

F

為

AB

邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得

AE

=

EF

=

FB

=

BG

，所以Rt△

FBG

是等腰直角三角形，∠

GFB

=45°，∠

GA

′

B

=∠

GFB

=45°.

3.3 借助幾何直觀，直擊問(wèn)題本質(zhì)

余文森教授提出的“讀思達(dá)”教學(xué)法同樣適用于解題教學(xué)，數(shù)學(xué)解題過(guò)程其實(shí)就是一個(gè)閱讀、思考、表達(dá)的過(guò)程.幾何題閱讀的不僅僅是題干信息，更是一個(gè)閱圖、思圖的過(guò)程.在閱圖的過(guò)程中，幾何直觀發(fā)揮了不可或缺的作用.幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題,其本質(zhì)是對(duì)幾何圖形產(chǎn)生的一種強(qiáng)烈的直覺(jué)感知.比如本題第(3)問(wèn)要證

A

′

C

=2

A

′

B

，即證明兩條線段的數(shù)量關(guān)系，依然要回歸圖形，從圖形中發(fā)現(xiàn)蛛絲馬跡，仔細(xì)觀察圖形，通過(guò)敏銳的直覺(jué)容易聯(lián)想到相似.看到圖形直觀感知到的聯(lián)想往往是解題的方向，順著解題方向獲得猜想，進(jìn)而再結(jié)合第(2)問(wèn)的結(jié)論，容易獲得證法1.同樣，此問(wèn)證法2和3依然是依托強(qiáng)烈的直觀想象和空間觀念，利用相似這一基本知識(shí)疊加軸對(duì)稱(chēng)性完成解答.證法1、2、3本質(zhì)是一樣的，都是證明相似得到線段的比例關(guān)系.因此,借助幾何直觀，不僅能感知問(wèn)題解決的方向和思路，更能預(yù)測(cè)可能的結(jié)果，直擊幾何問(wèn)題的本質(zhì).第(3)問(wèn)的解法展示如下：

證法1 勾股定理+三角函數(shù)+相似

圖8

如圖8，由第(2)問(wèn)中的解法1，可得△

DAE

≌△

ABG

,則

AE

=

BG.

不妨設(shè)

AE

=

a

，則由

E

和

F

為

AB

邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得

AE

=

EF

=

FB

=

BG

=

a.

在Rt△

ABG

中，由勾股定理可得同理，由第(1)問(wèn)可知∠

AA

′

F

=90°.在Rt△

AA

′

F

中，不妨設(shè)

A

′

F

=

x

，tan∠

A

′

AF

=則

A

′

A

=3

x

,

A

′

A

+

A

′

F

=

AF

，即(3

x

)+

x

=(2

a

),解得所以又因?yàn)樵谡叫?p>ABCD

中，∠

ABC

=90°，由(2)得在四邊形

A

′

FBG

中，∠

FBG

=∠

FA

′

G

=90°.由四邊形內(nèi)角和可得∠

A

′

FB

+∠

A

′

GB

=180°，又∠

A

′

GC

+∠

A

′

GB

=180°，所以∠

A

′

FB

即

A

′

C

=2

A

′

B.

證法2 如圖9，連結(jié)

A

′

D

，在正方形

ABCD

中，

AD

=

DC

,∠

ADC

=90°.因?yàn)?p>DE

垂直平分

AA

′，所以

AD

=

A

′

D

=

DC

，從而∠1=∠2，∠3=∠4.在四邊形

ADCA

′中，由∠1+∠2+∠3+∠4=270°，得2(∠2+∠3)=270°，∠

AA

′

C

=135°，∠

CA

′

G

=45°.由第(2)問(wèn)得∠

GA

′

B

=45°，∠

FA

′

G

=90°，所以∠

FA

′

B

=45°，∠

CA

′

G

=∠

FA

′

B

=45°，又因?yàn)椤?p>A

′

FB

+∠

A

′

GB

=180°，∠

A

′

GC

+∠

A

′

GB

=180°，所以即

A

′

C

=2

A

′

B.

圖9 圖10

證法3 如圖10，連結(jié)

A

′

D

，過(guò)點(diǎn)

B

作

BM

∥

A

′

C

交

A

′

G

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

M

，由本問(wèn)的證法1可得∠

CA

′

G

=45°，由第(2)問(wèn)得∠

GA

′

B

=45°，所以∠

CA

′

B

=90°，∠

A

′

BM

=180°-∠

CA

′

B

=90°，△

A

′

BM

是等腰直角三角形，

A

′

B

=

BM.

又因?yàn)?p>BM

∥

A

′

C

，所以從而即

A

′

C

=2

A

′

B.

3.4 緊扣基本模型，挖掘特殊解法

“數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)：‘解題的成功，要靠正確的轉(zhuǎn)化’”.如果能將一些常見(jiàn)的、重要的基本模型進(jìn)行提煉并深入研究，在解題中往往能起到化難為易的效果.比如常見(jiàn)的手拉手模型、角平分線模型、平行下的相似、一線三垂直模型等.模型思想是直觀想象素養(yǎng)的重要組成部分，解題過(guò)程中有意識(shí)地去分解或者構(gòu)建模型，不僅能拓展思維、開(kāi)拓思路，更能培養(yǎng)創(chuàng)新性思維和多角度思考問(wèn)題的能力，進(jìn)而挖掘出多種靈巧的解法.有時(shí)題中呈現(xiàn)的基本模型與條件并不吻合，這時(shí)需關(guān)聯(lián)相關(guān)知識(shí)，通過(guò)添加輔助線構(gòu)建與之匹配的基本模型，以達(dá)到順利解題的目的.本題第(3)問(wèn)中的特殊解法的探究思路是聚焦基本模型，如圖11，證法4中的角平分線基本模型是解決本問(wèn)的一個(gè)題眼，在得到

A

′

G

是角平分線的時(shí)候，很自然地想到其性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造兩條垂線段，利用面積法順利解決問(wèn)題.如圖12，證法5則綜合運(yùn)用等腰三角形以及正方形背景下的一線三垂直模型，成功突破思維瓶頸.縱觀本問(wèn)的多種解法，無(wú)論是常規(guī)解法還是創(chuàng)新解法，基本圖形與基本模型從始至終都貫徹于整個(gè)解題思維過(guò)程中.

圖11 圖12

證法4 如圖11，過(guò)點(diǎn)

G

作

GM

⊥

A

′

C

于點(diǎn)

M

，作

GN

⊥

A

′

B.

由本問(wèn)證法3可知∠

CA

′

B

=90°，四邊形

A

′

NGM

是矩形.由第(2)問(wèn)得∠

GA

′

B

=45°，則∠

CA

′

G

=45°，△

GA

′

N

是等腰直角三角形，所以

A

′

N

=

NG

，矩形

A

′

NGM

是正方形，于是即

A

′

C

=2

A

′

B.

證法5 如圖12，連結(jié)

A

′

D

，過(guò)點(diǎn)

D

作

DM

⊥

A

′

C

于點(diǎn)

M

，則∠

DMC

=90°.在正方形

ABCD

中，

AD

=

DC

=

CB

,∠

DCB

=90°.因?yàn)?p>DE

垂直平分

AA

′，得

AD

=

A

′

D

=

DC.

又因?yàn)?p>DM

⊥

A

′

C

，得

A

′

C

=2

CM

(三線合一).因?yàn)椤?p>DCA

′+∠

A

′

CB

=90°，在Rt△

DMC

中∠

DCA

′+∠

CDM

=90°，所以∠

A

′

CB

=∠

CDM

， △

DMC

≌△

CA

′

B

，

A

′

B

=

MC

，

A

′

C

=2

CM

=2

A

′

B

，

A

′

C

=2

A

′

B.

4 教學(xué)思考

4.1 凸顯模型意識(shí)，促成解法多元

本題第(2)、(3)問(wèn)從學(xué)生最為熟悉的正方形十字架模型切入，不論是構(gòu)造垂線還是從熟悉的平行線證相似,從始至終貫穿了數(shù)學(xué)模型思想.從基礎(chǔ)的十字架、平行線模型到疊加型模型，如一線三垂直模型、四點(diǎn)共圓等模型.第(2)問(wèn)的難度逐漸增大，若沒(méi)能做好鋪墊，就很難突破第(3)問(wèn)，借助模型思想可有效縮短思維鏈，提高解題效率，快速生成通性通法及一系列的巧解.求∠

GA

′

B

，通過(guò)構(gòu)造直角三角形把求角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求邊的比例關(guān)系，再結(jié)合正方形十字架模型巧妙構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換，充分連通條件與結(jié)論的通道，使思路成型.在實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)善于滲透模型思想，緊扣基本圖形和基本模型，以教材中的基本知識(shí)和中考題中的常見(jiàn)基本圖形為藍(lán)本，以基本模型為橋梁，感悟模型的本質(zhì)，并將解法和題型及其對(duì)應(yīng)的模型歸類(lèi)，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)模型追根溯源、融會(huì)貫通構(gòu)造復(fù)合模型，不斷地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，進(jìn)而提高解決問(wèn)題的能力.

4.2 扎根直觀想象，提升數(shù)學(xué)思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出的十個(gè)核心關(guān)鍵詞中包含了空間觀念、幾何直觀、模型思想和應(yīng)用意識(shí)，這是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵組成部分.而直觀想象則是中學(xué)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.本題第(3)問(wèn)的常規(guī)解法與多種巧解均是建立在強(qiáng)烈的直觀想象的基礎(chǔ)上，要證明

A

′

C

=2

A

′

B

，需要仔細(xì)觀察圖形特征，猜想△

A

′

FB

∽△

A

′

GC.

同時(shí)，在第(2)問(wèn)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)

A

′

G

平分∠

GA

′

B

，能快速聯(lián)想到角平分線基本模型，構(gòu)造垂線段完成證法4.直觀想象好比燈塔，為解題指明了方向，扎根直觀想象能感知圖形的形態(tài)與變化，通過(guò)已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)思維和數(shù)形結(jié)合思想，建構(gòu)幾何問(wèn)題的直觀模型,合情合理探尋解題思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.因此，在雙減背景下，教師在日常的幾何解題教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，引導(dǎo)學(xué)生抓住圖形的特點(diǎn)，緊扣基本模型分析問(wèn)題、推敲題意、感悟模型中所蘊(yùn)藏的思想方法，借助幾何直觀與空間觀念，大膽構(gòu)建與題干關(guān)聯(lián)的基本模型，鎖定解題策略，提高解題能力，更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，真正做到減負(fù)不減質(zhì).