活用思維導(dǎo)圖 助力微課生長
——以“二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系”微專題教學(xué)設(shè)計(jì)為例

朱佳煒

(蘇州大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 215131)

任宏章

(南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校 215133)

微專題課是教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況及作業(yè)反饋出來的突出問題而組織進(jìn)行的課堂教學(xué)，通常是用一節(jié)課的時間解決一個重要知識點(diǎn)或一類題型.微專題課以“微”漸進(jìn)，具有很強(qiáng)的針對性和可操作性，課堂指向知識點(diǎn)體系生成、數(shù)學(xué)思想方法生成，著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.實(shí)際教學(xué)過程中，由于學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、知識儲備不足等原因，一般很難在課堂上以思維導(dǎo)圖的形式完全呈現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容；同時，受課堂學(xué)習(xí)時間的限制，也不會有充足的時間繪制“大”且“全”的思維導(dǎo)圖.在此筆者提出在課堂教學(xué)過程中圍繞一個知識點(diǎn)、一道題目或一種數(shù)學(xué)方法展開思維聯(lián)想，繪制與此相關(guān)的微型思維導(dǎo)圖.

下面以區(qū)級示范課“二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系”中考復(fù)習(xí)微專題課為例，談?wù)劵谖⑿退季S導(dǎo)圖的初中數(shù)學(xué)微專題教學(xué)，以及兼具蘇州特色的“問題導(dǎo)向、深度理解、高度參與、開放多元”的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要求.

1 教學(xué)分析

(1)教學(xué)內(nèi)容分析

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是本章節(jié)的重點(diǎn)知識.本節(jié)課是在學(xué)生對相關(guān)知識點(diǎn)的理解還不成體系的情況下組織教學(xué)的，特別是學(xué)生對解析式

y

=

ax

+

bx

+

c

(

a

≠0)中的系數(shù)

a

，

b

，

c

與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系還不夠清晰.

(2)教學(xué)目標(biāo)確定

①繪制思維導(dǎo)圖，梳理知識要點(diǎn)，建構(gòu)二次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)關(guān)系的知識體系；

②編撰思維導(dǎo)圖，通過典型例析，感悟解決二次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)關(guān)系問題的數(shù)學(xué)思想；

③活用思維導(dǎo)圖，通過拓展延伸，變式運(yùn)用，學(xué)會分析、解決二次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)關(guān)系的問題；

④創(chuàng)新思維導(dǎo)圖，建立方法體系，形成解決二次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)關(guān)系問題的經(jīng)驗(yàn)、方法和策略.

2 教學(xué)過程

2.1 憑借問題，繪制導(dǎo)圖，梳理要點(diǎn)

問題1

根據(jù)

y

=

x

，

y

=2

x

，

y

=-2

x

，

y

=2

x

-3，

y

=2(

x

+4)，

y

=2(

x

+4)-3，

y

= -2(

x

+4)-3的圖象，從開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最值等方面試比較它們之間的異同點(diǎn).追問：

y

=

a

(

x

+

h

)+

k

是什么式？二次函數(shù)還有哪些形式？

圖1

教學(xué)意圖

問題1教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生畫思維導(dǎo)圖(圖1、圖2)，動態(tài)呈現(xiàn)知識要點(diǎn)，準(zhǔn)確表示二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì).

圖2

問題1有助于學(xué)生加深對“

a

定形定”的理解，通過改變

y

=

a

(

x

+

h

)+

k

中的

h

與

k

值實(shí)現(xiàn)圖象平移，總結(jié)為“上加下減、左加右減”.通過追問幫助學(xué)生梳理一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)三者“各有千秋、殊途同歸”(圖3).

圖3

2.2 典型例析，編撰導(dǎo)圖，感悟思想

問題2

將拋物線

y

=

x

-6

x

+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的拋物線解析式是什么？變式：若將拋物線

y

=(

x

-3)-4沿直線

y

=2

x

-10方向進(jìn)行平移，且新拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0,-10)，求新拋物線的解析式.

教學(xué)意圖

問題2是問題1基礎(chǔ)上的知識應(yīng)用.變式中，只需設(shè)平移后的函數(shù)解析式為

y

=(

x

+

h

)+

k

，平移前頂點(diǎn)(3,-4)在直線

y

=2

x

-10上，所以平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)(-

h

,

k

)也在該直線上，易得方程組解方程即可.以上過程蘊(yùn)含“設(shè)未知數(shù)-構(gòu)建方程模型-解決問題”的數(shù)學(xué)建模思想(圖4).

圖4

問題3

拋物線

y

=

x

+

bx

+

c

與

x

軸只有一個交點(diǎn)，與

x

軸平行的直線

l

交拋物線于點(diǎn)

A

，

B

，交

y

軸于點(diǎn)

M

，若

AB

=4,試求

OM

的長.追問：什么時候拋物線與

x

軸有一個交點(diǎn)、兩個交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)呢？這其中有什么規(guī)律嗎？

教學(xué)意圖

由關(guān)鍵條件“與

x

軸只有一個交點(diǎn)”得該交點(diǎn)即拋物線頂點(diǎn)，將

y

=

x

+

bx

+

c

左右平移得

y

=

x

，平移不改變線段

AB

與

OM

的長度，易得

OM

=4.以上過程體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、化歸思想(圖5).

圖5

問題3以問題2為基礎(chǔ)，通過對條件、結(jié)論以及表達(dá)形式等方面的形式演變，不斷擴(kuò)大問題的應(yīng)用范圍，翻新問題的應(yīng)用形式，加深了對知識的內(nèi)在本質(zhì)、應(yīng)用規(guī)律和解決方法的理解.在追問環(huán)節(jié)，有學(xué)生提出可通過開口方向、頂點(diǎn)位置直觀判斷拋物線與

x

軸交點(diǎn)個數(shù)，這與利用

Δ

=

b

-4

ac

的正負(fù)性進(jìn)行判斷是有區(qū)別的.學(xué)生作為獨(dú)立的、有思想的個體，對課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容可以有他自己獨(dú)特的看法，我們的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)包容、鼓勵.

問題4

已知二次函數(shù)

y

=

ax

+

bx

+

c

的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-3，0)，(1，0)，(0，-3)，請問

y

=(

a

-

b

)

x

+

c

的圖象經(jīng)過哪些象限？你能否不求函數(shù)解析式就回答這個問題？追問：

a

，

b

，

c

三個常數(shù)與圖象之間的關(guān)系是什么？

教學(xué)意圖

問題4引導(dǎo)學(xué)生繪制函數(shù)圖象確定

a

，

b

，

c

的正負(fù)性，梳理了這三個常數(shù)與圖象之間的關(guān)系(圖6).

圖6

問題4蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，在把控好課堂節(jié)奏的前提下，應(yīng)鼓勵學(xué)生打開思維，通過交流探究自然生成新知識，培養(yǎng)理性思考、演繹推理的數(shù)學(xué)精神.

2.3 拓展延伸，活用導(dǎo)圖，提高能力

問題5

已知拋物線解析式為

y

=-4

x

，當(dāng)1<

x

<2時，求

y

的取值范圍.變式：已知拋物線解析式為

y

=(

x

-

m

)+2

m

，若圖象經(jīng)過第一、二、三、四象限，求

m

的取值范圍.

教學(xué)意圖

問題5只需畫出函數(shù)的大致圖象即可解決(圖7).

圖7

變式中，

y

=(

x

-

m

)+2

m

的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(

m

，2

m

)，該點(diǎn)是直線

y

=2

x

上的動點(diǎn)，只需研究“當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)”的臨界狀態(tài)，此時

m

=0或

m

=-2.結(jié)合圖象，當(dāng)

m

<-2時、

m

=-2或0時、

m

>0時，均不符合要求；而當(dāng)-2<

m

<0時，拋物線經(jīng)過四個象限，符合要求.

2.4 課堂小結(jié)，創(chuàng)新導(dǎo)圖，系統(tǒng)構(gòu)建

本節(jié)課的課堂小結(jié)，先是各學(xué)習(xí)小組在組內(nèi)討論匯總，再以小組為單位進(jìn)行成果展示，其余小組評價補(bǔ)充.在評價過程中生生互動、師生互動，讓數(shù)學(xué)課堂成為思想碰撞的課堂.這節(jié)課從問題1到問題5，從特殊到一般，再從一般到特殊，類比尋找到問題解決的根本方法.思維轉(zhuǎn)瞬即逝，圖象卻可以存留彌久，因此，圖象的表達(dá)性是定格思維的“魔法”，是思維得以持久發(fā)展的支柱.這節(jié)課在系統(tǒng)思維和整體觀念的引領(lǐng)下，生成性繪制思維導(dǎo)圖，構(gòu)建解決二次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)關(guān)系問題的方法框架.

3 設(shè)計(jì)反思

3.1 問題串聯(lián)，導(dǎo)圖助力建構(gòu)體系

本節(jié)課通過五個問題串聯(lián)，完成了“從1到

a

、復(fù)習(xí)舊知”“平移變換、

a

定形定”“觀察圖象、理解系數(shù)”“數(shù)形結(jié)合、留意頂點(diǎn)”“參數(shù)函數(shù)、能力提升”五個教學(xué)任務(wù)，幫助學(xué)生深度理解、高度參與、激發(fā)思維.根據(jù)實(shí)際情況，一節(jié)課可以繪制多張微型思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生梳理解題思路，整合知識結(jié)構(gòu)，取得了很好的課堂效果.

3.2 問題解決，導(dǎo)圖助力感悟思想

復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)要全面系統(tǒng)幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，這節(jié)課通過繪制小而精致的微型思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生能夠參與、樂于參與，把知識、方法進(jìn)行整合“聚焦”，引導(dǎo)學(xué)生透過數(shù)學(xué)問題感悟數(shù)學(xué)思想.

3.3 問題提煉，導(dǎo)圖助力形成素養(yǎng)

初高中的數(shù)學(xué)思想是一脈相承的，通過典型例析幫助學(xué)生體會函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合等思想，能夠?yàn)閷W(xué)生將來高中學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容埋下伏筆.當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想不是簡單的灌輸，要充分體現(xiàn)以生為本的原則，鼓勵學(xué)生敢嘗試、敢質(zhì)疑、敢出錯，暢所欲言.在交流中，多角度解決問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、方法的鞏固.在繪制微型思維導(dǎo)圖過程中，形成思考的能力，最終我們要使學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，深植必需的數(shù)學(xué)思想，樹立強(qiáng)大的數(shù)學(xué)精神.