化歸轉(zhuǎn)化思想在三角恒等變換題型中的應(yīng)用

?甘肅省慶陽市鎮(zhèn)原縣第二中學(xué)

王 東

1 引言

三角變換中利用化歸轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜的三角函數(shù)問題化為形如f(x)=Asin(ωx+φ)+b簡單易求解的函數(shù)模型.這類題型的設(shè)計往往為以下幾種情況：結(jié)合三角函數(shù)求最大(小)值，利用實際問題構(gòu)建函數(shù)模型解決問題，利用向量的運(yùn)算求解角度或結(jié)合解三角形求邊長等.熟記公式并靈活應(yīng)用是解決此類題型的關(guān)鍵.

2 例題分析

分析：題目中給出的函數(shù)名稱不同，而且次冪也不相同，所以我們要做的首先就是把高次冪函數(shù)降冪，其次把不同名的函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名函數(shù).這類題型的解題思路就是逆用二倍角公式，結(jié)合輔助角公式將函數(shù)化歸為f(x)=Asin(ωx+φ)+b形式，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.

圖1

例2如圖1，圓心角為60°的扇形AOB的半徑為1，C是弧AB上一點(diǎn)，作矩形CDEF，且點(diǎn)D在半徑OB上，點(diǎn)E，F(xiàn)在半徑OA上.當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時，這個矩形的面積最大？此時∠AOC等于多少度？

在Rt△FOC中，利用三角函數(shù)可得

FC=sinθ·OC=sinθ，OF=OC·cosθ=cosθ.

在Rt△OED中，

SEFCD=EF·FC

點(diǎn)評：此類題型的新穎之處在于，借助圖形利用角的三角函數(shù)值表示未知邊，通過面積公式構(gòu)建函數(shù)模型，從而利用三角恒等變換解題.

分析：該題中利用兩個平行向量的坐標(biāo)關(guān)系建立等式是解題的突破口.利用三角形的內(nèi)角和等于π這個隱含條件以及角的恒等變換可得sin(A+C)=sinB，再利用二倍角公式和同角的正余弦商的關(guān)系，可求得角B的大小.

在三角形ABC中，A+C=π-B，所以

點(diǎn)評：和差角的正余弦公式、二倍角公式等的源頭是向量數(shù)量積的坐標(biāo)的運(yùn)算，所以借助向量的數(shù)量積、平行或垂直向量的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)建三角函數(shù)(或方程)模型是比較常見的命題方式，需要同學(xué)們構(gòu)建相應(yīng)的知識體系.

分析：這道題本質(zhì)在于利用余弦定理解三角形，知道a,c兩條邊長，只需要借助轉(zhuǎn)化與化歸思想化簡函數(shù)f(x)，求得a,c兩邊的夾角B，就可以利用b2=a2+c2-2ac·cosB，可求得b的值.

解：根據(jù)題意，得

所以,b=1.

點(diǎn)評：在函數(shù)模型的應(yīng)用中求解三角形角度問題，一定要注意對角度范圍的討論，有時還需要進(jìn)行分類討論.

3 結(jié)束語

解決形如f(x)=Asin(wx+φ)+b的函數(shù)模型問題，教學(xué)中我們要強(qiáng)化基礎(chǔ)知識的記憶——和差角的正余弦公式、二倍角公式、降冪公式以及輔助角公式，并合理利用這些有力工具來提升學(xué)生解題的基本技能，在學(xué)與練的過程中形成基本活動經(jīng)驗并產(chǎn)生基本思想[2].所以，教師要指導(dǎo)學(xué)生對某類題型模型化解題思路的整理，并在解題和應(yīng)用方面不斷靈活“切換”.