例談構(gòu)造函數(shù)法在高考導(dǎo)數(shù)題中的應(yīng)用*

?山東省濱州實驗中學(xué)

王漢芹 劉玉華

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“對于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，能夠通過構(gòu)建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題.”構(gòu)造函數(shù)就是提出假設(shè)和引理的有效途徑之一.但構(gòu)造函數(shù)對學(xué)生的綜合能力要求較高，考查學(xué)生對函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想的深度理解.教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生不知道如何構(gòu)造函數(shù)，要么走不少彎路，要么不知如何下手.因此，筆者圍繞2020年和2021年新高考全國Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)題構(gòu)造函數(shù)問題展開研究，得到構(gòu)造函數(shù)的常見題型和方法，以提高學(xué)生構(gòu)造函數(shù)解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)

所謂同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)，就是等式或不等式經(jīng)適當(dāng)整理后可以表示成兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同的式子，利用這個結(jié)構(gòu)式構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)，再用函數(shù)性質(zhì)解決問題的方法.下面以2020年新高考全國Ⅰ卷第21題來說明這個方法.

例1(2020年新高考全國Ⅰ卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析：(1)略.

(2)不等式f(x)≥1，即aex-1-lnx+lna≥1，其中x>0，a>0.

即elna+x-1-lnx+lna≥1.

即elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx.

即elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx.

設(shè)g(x)=ex+x，x∈(0,+∞).

因為g′(x)=ex+1>0，所以g(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增.

因為elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，所以

g(lna+x-1)≥g(lnx).

因為g(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增，所以

lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1.

然后再求lnx-x+1(x>0)的最大值即可.

本題先得到同構(gòu)式elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，再構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+x，x∈(0,+∞)，再利用函數(shù)g(x)的單調(diào)性，得到關(guān)于a的簡單不等式，從而求解.同構(gòu)式的獲得，就是學(xué)生觀察、分析、變形、構(gòu)造的過程，這是一個從無到有的過程,可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、觀察問題、分析問題和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)[1].

指數(shù)對數(shù)混合問題同構(gòu)式構(gòu)造函數(shù)主要有以下幾種模型[2]：

(1)和差型(ea±a≥b±lnb).

①ea±a≥elnb±lnb?g(x)=ex+x；

②ea±lnea≥b±lnb?g(x)=x+lnx.

(2)積型(aea≥blnb).

①aea≥(lnb)elnb?g(x)=xex；

②ealnea≥blnb?g(x)=xlnx.

這是本題變形成同構(gòu)式時，用到的兩個模型.常用的同構(gòu)式除了和差積型之外，還有商型.

所以，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)指數(shù)對數(shù)混合問題常用函數(shù)模型.養(yǎng)成勤思考、善總結(jié)的好習(xí)慣，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

高考題中的導(dǎo)數(shù)題，經(jīng)常有對同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)法的考查，例如下面這兩道高考題和例1類似.

題1(2018年全國卷Ⅰ文第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(1)求a,b；

(2)證明：f(x)>1.

2 放縮法構(gòu)造函數(shù)

例1的第(2)問還可以利用放縮法構(gòu)造函數(shù)解不等式.放縮法構(gòu)造函數(shù)，是對函數(shù)進行放縮來證明不等式，常用于指數(shù)或?qū)?shù)的不等式問題中.常用的放縮函數(shù)有：ex≥x+1(x∈R,當(dāng)x=0時等號成立)，lnx≤x-1(x>0，當(dāng)x=1時等號成立)，以及由兩者衍生出來的其他形式.

本題根據(jù)aex-1-lnx+lna≥1，利用兩次放縮ex-1≥x，ln(ax)≤ax-1，并且等號同時成立的條件都是x=1且a=1.這樣就能證得a≥1.

放縮法證明指數(shù)或?qū)?shù)不等式問題，在高考題中也是層出不窮，如前面題1(2018年全國卷Ⅰ文第21題)也可以運用放縮法求解.題3亦是.

題3(2013年全國新課標(biāo)Ⅱ卷理第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)m≤2時，證明f(x)≥0.

2020年新高考全國卷Ⅰ第21題，體現(xiàn)了構(gòu)造函數(shù)的兩種方法，同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)和放縮法構(gòu)造函數(shù)，與解決此題的常規(guī)方法——隱零點法對比，這兩種方法更簡潔，所以構(gòu)造合適的函數(shù)可以達到事半功倍的效果.無獨有偶，2021年新高考全國卷Ⅰ第22題也用到了構(gòu)造函數(shù)法.

3 消元法構(gòu)造函數(shù)

3.1 利用f(x1)=f(x2)消元

例2(2021年全國新高考Ⅰ卷第22題) 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

解析：(1)略.

由(1)及f(x1)=f(x2)，得0

要證2

2-x1

又因為f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減，所以即證

f(2-x1)>f(x2)>f(e-x1).

即證

f(2-x1)>f(x1)>f(e-x1).

所以，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=f(x)-f(2-x)(0

h(x)=f(x)-f(e-x)(0

分別利用導(dǎo)數(shù)證明以上兩個不等式即可.

此方法是利用雙變量函數(shù)值之間的關(guān)系，進行消元.這里需要根據(jù)要證明的變量不等式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)值之間的關(guān)系，進而利用函數(shù)值的關(guān)系消元.

3.2 引入新變量消元[3]

例2的第(2)問還可以引入新變量消元，消元之后再構(gòu)造函數(shù).

代入blna-alnb=a-b，得

bln(bt)-btlnb=bt-b，

即證ln2

3.3 直接代入消元

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

本題第(2)問根據(jù)x1x2=1的關(guān)系式，直接用x2表示x1，從而消去x1.

3.4 整體換元消元

(1)若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)略.

本題第(1)問將f(x1)+f(x2)表示成關(guān)于x1x2的式子，然后整體換元消元.

3.5 確定主元消元

例5(2020年天津高考第20題)已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)略；

解析：(1)略.

(2)題設(shè)不等式等價于(x1-x2)[f′(x1)+f′(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]≥0.

以x1為主元，構(gòu)造函數(shù)h(x)=(x-x2)[f′(x)+f′(x2)]-2[f(x)-f(x2)]≥0.

因為x>x2≥1，且h(x2)=0，所以只需利用導(dǎo)數(shù)證明h(x)在(x2，+∞)單調(diào)遞增即可.證明過程略.

本題觀察要證明的式子，其中x1和x2是對稱出現(xiàn)的，所以確定x1或x2為主元，從而構(gòu)造函數(shù)h(x).

4 幾點建議

以上是基于新高考Ⅰ卷2020年和2021年導(dǎo)數(shù)壓軸題得到的構(gòu)造函數(shù)的主要方法.如何攻克構(gòu)造函數(shù)問題呢？筆者提以下幾點建議供同仁們參考.

第一，重基礎(chǔ).學(xué)生掌握好基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法是靈活構(gòu)造各類函數(shù)的基礎(chǔ).因此，在教學(xué)中，要下大力氣夯實基礎(chǔ)，抓好函數(shù)基本性質(zhì)的復(fù)習(xí).

第二，重思想.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂.在教學(xué)中，要加強數(shù)學(xué)知識之間的前后關(guān)聯(lián)，重視數(shù)學(xué)思想方法的運用和滲透，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

第三，重實戰(zhàn).用構(gòu)造函數(shù)法解決問題，需要細(xì)心觀察、類比聯(lián)想與變形轉(zhuǎn)化，盡量構(gòu)造易求導(dǎo)的函數(shù).這種數(shù)學(xué)思維方法需要不斷強化訓(xùn)練，才能靈活解決問題.

第四，重講解.教師應(yīng)精選題目，對此種類型的題目進行前掛后連、縱橫聯(lián)系，不斷總結(jié)構(gòu)造函數(shù)的規(guī)律，積累構(gòu)造函數(shù)的方法，促進學(xué)生解題能力的進一步提升.

總之，我們要讓學(xué)生學(xué)會構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)綜合題的方法，在解題過程中大膽變形，小心求證，提高解決綜合性和創(chuàng)新性問題的能力.