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    巧構(gòu)參數(shù)方程 妙解數(shù)學問題

    2022-08-18 09:54:46甘肅省張掖市肅南裕固族自治縣第一中學
    中學數(shù)學雜志 2022年15期
    關(guān)鍵詞:關(guān)系式雙曲線斜率

    ?甘肅省張掖市肅南裕固族自治縣第一中學

    張 超

    1 引言

    參數(shù)方程是解決直線、圓錐曲線等相關(guān)平面解析幾何問題中曲線比較常用的一種表達方式.巧妙構(gòu)建直線、圓錐曲線等的參數(shù)方程,相比對應(yīng)的普通方程有時可以更加簡捷方便地表示問題,從而簡化運算,優(yōu)化過程,提升效益,有助于學生進一步體驗數(shù)學方法的靈活多變.

    2 直線的參數(shù)方程問題

    例1[2022屆清華大學中學生標準學術(shù)能力診斷測試(2021年11月測試)數(shù)學文科試卷·8]已知圓C:x2+y2-8x-4y+19=0,直線l:3x-2y-6=0,直線l交圓C于A,B兩點,設(shè)點P(2,0),則|PA|·|PB|=( ).

    分析:根據(jù)所求的關(guān)系式|PA|·|PB|的特征,合理聯(lián)想到直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,將直線的一般方程轉(zhuǎn)化為過點P的參數(shù)方程,結(jié)合參數(shù)方程的代入與轉(zhuǎn)化來確定相應(yīng)的含參二次方程,利用參數(shù)的幾何意義解決問題.

    所以,|PA|·|PB|=t1t2=7.故選擇答案:D.

    點評:在求解一些有關(guān)距離或線段的長度問題時,可巧妙引入直線的參數(shù)方程,根據(jù)相關(guān)參數(shù)的幾何意義來直接轉(zhuǎn)化與處理.方程化解決,整體化思維,可以很好避免求解具體點的坐標、以及線段的長度等相關(guān)問題.

    3 橢圓的參數(shù)方程問題

    分析:結(jié)合橢圓的參數(shù)方程進行三角換元,代入所求的分式代數(shù)式,通過變形與轉(zhuǎn)化得到相應(yīng)的三角關(guān)系式,結(jié)合函數(shù)的構(gòu)建以及求導處理,利用導函數(shù)為零確定相應(yīng)三角關(guān)系式的最值,進而確定分式的最小值.

    所以,f(θ)的最小值為

    故填答案:4.

    點評:解決一些涉及圓錐曲線上的點所對應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式的最值或取值范圍問題,通??梢郧擅钜雸A錐曲線的參數(shù)方程,比用普通方程更簡捷方便,進而轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角函數(shù)的最值或取值范圍問題.

    4 雙曲線的參數(shù)方程問題

    (1)求C的離心率;

    (2)若B在第一象限,證明:∠BFA=2∠BAF.

    分析:(1)根據(jù)題目條件中兩直線的垂直關(guān)系,結(jié)合點的坐標,從距離關(guān)系入手,建立相應(yīng)參數(shù)之間的關(guān)系式,通過求解方程確定雙曲線的離心率.(2)結(jié)合雙曲線的參數(shù)方程進行三角換元,通過斜率公式以及三角恒等變換,巧妙轉(zhuǎn)化,合理證明.

    又c2=a2+b2,所以c2-ac-2a2=0,即e2-e-2=0,解得e=-1(舍去)或e=2.

    所以,雙曲線C的離心率為2.

    因此tan2∠BAF=tan∠BFA,即∠BFA=2∠BAF.

    當|BF|=|AF|,且BF⊥AF時,∠BFA=2∠BAF=90°.

    綜上所述,若B在第一象限,∠BFA=2∠BAF.

    點評:解決一些涉及圓錐曲線中的角的關(guān)系問題時,自然聯(lián)想到圓錐曲線的參數(shù)方程,其中含有角與對應(yīng)的三角函數(shù)值問題,合理構(gòu)建參數(shù)方程中的角與平面幾何解析中相關(guān)概念以及角之間的關(guān)系,結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)知識來分析與處理,目的更加明確,操作起來更加簡單快捷.

    5 拋物線的參數(shù)方程問題

    例4在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)為拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點,點B在x軸上,且在點F的右側(cè),點A在Γ上,且|AF|=|BF|,直線AF,AB與Γ的第二個交點分別為M,N,若∠AMN=90°,則直線AF的斜率為________.

    分析:根據(jù)拋物線的參數(shù)方程設(shè)出對應(yīng)點的坐標,結(jié)合兩直線垂直所對應(yīng)的斜率關(guān)系式建立方程,進而確定參數(shù)值,從而得以求解直線的斜率.

    解析:設(shè)A(2pt12,2pt1),M(2pt22,2pt2),N(2pt32,2pt3).

    點評:解決一些涉及圓錐曲線上的概念、軌跡等問題時,利用圓錐曲線的參數(shù)方程自然巧妙地引入?yún)?shù),通過函數(shù)與方程思想等來巧妙轉(zhuǎn)化,實現(xiàn)相關(guān)參數(shù)的確定與求解、關(guān)系式的確定等,從而簡單快捷處理相應(yīng)的圓錐曲線問題.

    6 變式練習

    A.-4 B.-5 C.4 D.不確定

    A.1 B.2 C.3 D.4

    (3)已知點M到點F(3,0)的距離比它到直線l:x+5=0的距離小2.

    ①求點M的軌跡E的方程;

    ②過點P(m,0)(m>0)作互相垂直的兩條直線l1,l2,它們與①中軌跡E分別交于點A,B及點C,D,且G,H分別是線段AB,CD的中點,求△PGH面積的最小值.

    7 結(jié)束語

    利用參數(shù)方程來解決直線、圓錐曲線等相關(guān)平面解析幾何問題,思維巧妙,往往能化繁為簡,迎刃而解,起到事半功倍的效果.既能鍛煉學生的邏輯思維,拓寬解題思路,培養(yǎng)學生“一題多解”的能力,又能激發(fā)他們的潛能,潛移默化地滲透數(shù)學思想方法,提高學習積極性,提升主動探索實踐的能力.

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