一道教材習(xí)題的變式

?西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院

王小梅

1 引言

習(xí)題是教科書的重要組成部分,具有一定的典型性與示范性,很多高考題就來(lái)源于教材的習(xí)題.教師應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮教材習(xí)題的功能,合理運(yùn)用例題、習(xí)題.基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí),在最值問(wèn)題中發(fā)揮著重要作用.但由于基本不等式的靈活多變,學(xué)生在學(xué)習(xí)中難以靈活應(yīng)用其結(jié)論(“積定和最小,和定積最大”)解決最值問(wèn)題，因此,有必要對(duì)其深入研究.而“變式訓(xùn)練”為此提供了一個(gè)很好的突破口.對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行變式,一方面,加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì);另一方面,提高學(xué)生解題能力,達(dá)到舉一反三的效果.與基本不等式有關(guān)的問(wèn)題很多,本研究將通過(guò)教材一道習(xí)題的變式加深學(xué)生對(duì)“積定和最小”這一結(jié)論的理解與運(yùn)用.

2 原題呈現(xiàn)

分析：該題是教材的一道習(xí)題(解法略),主要是對(duì)基本不等式的考查,屬于基礎(chǔ)題,直接利用基本不等式即可解決,但是不少高考題就源于這道題.另外補(bǔ)充,由基本不等式推廣的n元的基本不等式：

3 習(xí)題變式

3.1 數(shù)量變式

分析：變式1和變式2均是在“量”上進(jìn)行改變,變式1是改變自變量的范圍,變式2是改變式子的系數(shù),式子的結(jié)構(gòu)仍不變,與原題解法一致.需要注意的是,變式1要使用基本不等式,需要滿足基本不等式的條件,可通過(guò)換元法改變自變量的范圍.

3.2 結(jié)構(gòu)變式

3.3 多元變式

前面所有的題目都只有一個(gè)變量,還可以增加變量的個(gè)數(shù).

下面一道高考題與之類似.

A.1 B.2 C.3 D.4

變式9已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是.(2020江蘇,第12題)

分析：變式6與原題解法一致,只是增加一個(gè)自變量;變式7與變式4類似,可通過(guò)拆項(xiàng)法進(jìn)行構(gòu)造,除此之外,還可兩次利用基本不等式解決.需要注意的是,每次使用基本不等式時(shí),取等號(hào)的條件不能遺漏,并且所有的條件都要滿足.變式8中式子的結(jié)構(gòu)比上述其他題要復(fù)雜,不難發(fā)現(xiàn)：

3.4 延伸變式

以上變式主要是對(duì)基本不等式本身的運(yùn)用.此外,我們還可以對(duì)基本不等式進(jìn)行延伸,可得到如下推論：

該結(jié)論是由重要不等式(a2+b2≥2ab,a,b∈R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立)變形而來(lái).該結(jié)論應(yīng)用廣泛.一方面,能夠起到降次的作用；另一方面,將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式,使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.下面舉例說(shuō)明.

解法1：因?yàn)閤>0,y>0,所以

=2x+2y,

解法2：由推論可得

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立.

分析：解法1需要構(gòu)造成恰當(dāng)?shù)男问?具有一定的技巧性.相比之下,解法2更加自然,實(shí)際上就是基本不等式的變形應(yīng)用.

變式11設(shè)a≥b>0,求證3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(2009江蘇,第21題)

解析：可以看出,式子結(jié)構(gòu)對(duì)稱,左右兩邊次數(shù)不同,可利用前面的結(jié)論進(jìn)行降次.首先,兩邊同時(shí)除以ab,那么,只需證

又因?yàn)閍≥b>0,所以4a+b≥3a+2b.

所以,3a3+2b3≥3a2b+2ab2,得證.

解析：為了簡(jiǎn)化不等式,可平方去根號(hào)，得

a6+b6+2a3b3≥ab(a4+b4+2a2b2).

當(dāng)a>0,b>0時(shí)，與變式11類似,兩邊同除以ab,只需證

當(dāng)a,b至少一個(gè)為0時(shí)，所證不等式也顯然成立.

4 總結(jié)

從上述分析可以看出,利用基本不等式解決相關(guān)問(wèn)題可用換元法、構(gòu)造法,通過(guò)拆項(xiàng)或添項(xiàng)構(gòu)造出“積定”的形式.一系列的變式題也充分體現(xiàn)了化歸思想在解題中的應(yīng)用,可以將分式化為整式，二元化為一元，高次化為低次，等等.另外,對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行深入研究十分有必要,高考題往往來(lái)源于教材例題、習(xí)題.教師可以通過(guò)一題多變,在變換中找不變,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).