“數(shù)形結(jié)合思想”復習課的單元教學設(shè)計*

?衡陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院

聶 靜 彭嘉瑤 羅振國 羅李平

1 引言

《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版)》[1]從教學設(shè)計和實施的幾個主要環(huán)節(jié)提出了數(shù)學教學建議，而落實這些建議的關(guān)鍵是實施單元教學.單元教學強調(diào)基于整體視角重構(gòu)知識體系，防止知識教學碎片化，要求教師將零碎的知識以本身的邏輯關(guān)系或者數(shù)學思想方法進行分析、重組與整合，以促進學生深化理解知識，把握數(shù)學本質(zhì)，這對培養(yǎng)學生能力以及提高核心素養(yǎng)具有重要意義.近年來，以三角函數(shù)[2]、平面向量[3]、高中函數(shù)[4]、直線與平面平行[5]、數(shù)列[6]等知識本身的邏輯關(guān)系進行單元教學設(shè)計的理論和實踐研究成果比較多，但很少涉及復習課.

《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版)》[1]同時指出復習課的復習題要關(guān)注單元知識的系統(tǒng)性，幫助學生理解數(shù)學的結(jié)構(gòu)，增進復習的有效性，達到相應(yīng)單元的“學業(yè)要求”.數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學的重要思想，它可以把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，進行幾何直觀的分析與代數(shù)抽象的探索.本研究基于課程標準的要求，以復習課為視角，探索以數(shù)形結(jié)合思想為主線的高中數(shù)學復習課的單元教學設(shè)計.

2 數(shù)形結(jié)合思想涉及的知識內(nèi)容

現(xiàn)對高中數(shù)學中涉及數(shù)形結(jié)合思想的知識點作以下梳理：函數(shù)與方程和不等式、集合中的Venn圖、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的最值、三角函數(shù)的概念、用三角函數(shù)解三角形、平面向量的概念與運算、復數(shù)的表示、解析幾何中涉及的平行、垂直的證明與距離、角度的計算(以數(shù)解形)、導數(shù)的幾何意義、簡單的線性規(guī)劃、幾何概率等.

從數(shù)形結(jié)合涉及的知識點可以看出，數(shù)形結(jié)合思想幾乎貫穿整個高中數(shù)學課程.

3 學情分析

學生在學習新知的過程中已經(jīng)對數(shù)形結(jié)合思想涉及的各知識點有所理解，但由于高中數(shù)學知識高度抽象，可能對一些知識點的理解不夠深刻；同時學生對數(shù)形結(jié)合思想有了初步體會，有的學生可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合可以把抽象的問題直觀化，但是更多的學生還是偏向于喜歡從小學就開始接觸的代數(shù)法，缺少對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識.

4 教學目標

下面摘錄高中數(shù)學課程標準中涉及數(shù)形結(jié)合思想的部分知識點的教學目標要求.

(1)函數(shù)與方程和不等式：

借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.

(2)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值：

借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、 最小值，理解它們的作用和實際意義.

(3)三角函數(shù)的概念：

借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會引入弧度制的必要性.

(4)復數(shù)的表示：

掌握復數(shù)的表示、運算及其幾何意義.

(5)導數(shù)的幾何意義：

通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義.

以上教學目標中都提到了借助圖形或者幾何意義理解相關(guān)知識點，滲透數(shù)形結(jié)合思想，學生在學習新課時已經(jīng)有所把握.

現(xiàn)將以復習課為視角，以數(shù)形結(jié)合思想為主線的復習課單元教學設(shè)計的教學目標設(shè)定為：注重數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識，深化理解數(shù)學概念，提高解題的效率.

5 例談數(shù)形結(jié)合思想單元教學設(shè)計的實施

下面結(jié)合學生的認知程度，從數(shù)形結(jié)合思想有利于學生深化理解數(shù)學概念和提高解題效率兩個方面進行舉例說明，引導學生從“形”的角度進行探究.

5.1 數(shù)形結(jié)合思想有利于深化理解數(shù)學概念

(1)利用數(shù)形結(jié)合思想深化理解函數(shù)單調(diào)性.

圖1

(2)利用數(shù)形結(jié)合思想深化理解導數(shù)幾何意義.

導數(shù)的概念涉及極限的思想，抽象性很強，甚至對于切線的概念學生都會感到很抽象，所以僅對導數(shù)的概念進行符號語言的描述，學生很難接受.也許在初學時記住了導數(shù)的幾何意義是切線的斜率，但是，學生可能還達不到對其真正深入理解.

圖2

如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切，學生對此結(jié)論很熟悉.如圖2所示，過點A(0,1)作單位圓x2+y2=1的切線，學生很快可以給出這條切線的方程為y=1.

導數(shù)的幾何意義是切線的斜率，現(xiàn)利用導數(shù)的定義與幾何意義來推導單位圓在點A(0,1)處的切線方程，看是否與y=1一致.

在x0=0處，由導數(shù)定義，得

即f′(x0)=k=0.

學生利用導數(shù)的定義推導出單位圓在點A(0,1)處的切線斜率為0，從而利用點斜式得出單位圓在點A(0,1)處的切線方程為y=1.這與學生已知的“過點A(0,1)作單位圓的切線的方程為y=1”完全一致，從而使學生更深刻、更信服地理解導數(shù)的幾何意義是切線的斜率.

(3)利用數(shù)形結(jié)合思想深化理解虛數(shù)單位i的含義及虛軸的產(chǎn)生.

學生已經(jīng)學習了復數(shù)的概念與幾何意義，但是很多學生仍然不理解i的含義，還有為什么y軸可以表示虛軸？現(xiàn)從圖形上引導學生思考，進而深化理解.

圖3

我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，如圖3所示，我們用數(shù)軸上的點A表示實數(shù)b，b乘-1得到實數(shù)-b,-b在數(shù)軸上的對應(yīng)點為點A′， 則點A′可以看作將點A繞原點O(逆時針)旋轉(zhuǎn)180°所得[7].(下文提到的旋轉(zhuǎn)均默認為逆時針旋轉(zhuǎn).)

圖4

由i2=-1，即i·i=-1，那么b·(-1)=b·(i·i)=b·i·i所對應(yīng)的點可以看作將點A繞原點O連續(xù)作兩次旋轉(zhuǎn)90°所得[7].如圖4所示，b·i所對應(yīng)的點可以看作點A繞原點O旋轉(zhuǎn)90°所得，那么bi所對應(yīng)的點都可以在這條垂直于數(shù)軸的直線上，這樣虛軸就產(chǎn)生了，使學生深化理解了為什么y軸可以表示虛軸.bi·i表示虛軸上的點再次旋轉(zhuǎn)90°，即得到-b在數(shù)軸上的點A′.

這里利用數(shù)形結(jié)合思想使學生直觀感知到虛軸是怎么產(chǎn)生的，并深刻理解了i的含義.

利用數(shù)形結(jié)合思想還可以深化理解三角函數(shù)的定義、向量概念與運算等，這里不再例談.

5.2 數(shù)形結(jié)合思想有利于提高學生解題的效率

(1)利用數(shù)形結(jié)合思想，借助函數(shù)圖象討論方程的解的個數(shù).

基本思想：先把方程兩邊的式子變成兩個熟悉的函數(shù)表達式，然后結(jié)合圖象進行分析.

例1已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0有4個互異的實數(shù)根，求a的取值范圍.

分析：由f(x)=|x2+3x|，將f(x)-a|x-1|=0化為|x2+3x|=a|x-1|.令g(x)=a|x-1|,問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，即當函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有4個交點時，求a的取值范圍.如圖5所示，分別畫出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，利用函數(shù)圖象直觀地分析交點的大致情況，從而求出a的取值范圍.

圖5

(2)利用數(shù)形結(jié)合思想，借助復數(shù)幾何意義解決復數(shù)相關(guān)問題.

基本思想：從題目所給式子的形式(適時變形)，基于復數(shù)幾何意義解題.

例2如果復數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是多少？

分析：此題若是用代數(shù)方法設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，由于條件中含有兩個絕對值，因此做起來會非常麻煩.引導學生利用數(shù)形結(jié)合思想與復數(shù)的幾何意義去求解，會使問題變得簡單.

圖6

如圖6所示，設(shè)復數(shù)z，i，-i,-1-i分別對應(yīng)復平面內(nèi)的點z,A(0，1)，B(0，-1)，C(-1，-1).|z+i|可以看作是點Z到B的距離，|z-i|可以看作是點Z到點A的距離，|z+i|+|z-i|=2可以看作是點Z到點B與點Z到點A的距離之和為2，從而得到點Z在線段AB上；|z+i+1|的最小值可以看作點Z到點C的距離.由圖形可以直觀判斷出：當點Z與點B重合時，點Z到點C的距離，即|z+i+1|的最小值為1.

(3)利用數(shù)形結(jié)合思想，借助解析幾何中斜率、距離等幾何意義解決最值問題.

基本思想：從題目所給式子的結(jié)構(gòu)形式(或適當變形)，利用式子的幾何意義解題，充分利用數(shù)形結(jié)合思想.

例3已知實數(shù)x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求：

(2)y-x的最小值；

(3)x2+y2的最大值和最小值.

圖7

利用數(shù)形結(jié)合思想還可以解決線性規(guī)劃、幾何概率等問題，這里不再例談.

6 評價與反思

以數(shù)形結(jié)合思想作為一個大單元進行教學設(shè)計，有利于提高學生的數(shù)形結(jié)合意識.以復習課的視角，基于學生已有的認知程度，舉例說明了數(shù)形結(jié)合思想可以使學生深化理解比較抽象的數(shù)學概念，提高解決問題的效率，培養(yǎng)了學生的高階思維能力，促進了核心素養(yǎng)的發(fā)展.