海豚捕食沙丁魚群的運動行為模型

閆 潔，韓惠麗，2，周春梅

(1.寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756099；2.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

在海洋中，很多生物因生存、覓食、避險或繁殖等原因集群運動[1]，存在豐富的食物鏈和食物網(wǎng)，通過層層捕食，來維持海洋生態(tài)圈的穩(wěn)定.海豚與沙丁魚之間也存在非常精彩的博弈，數(shù)百萬的沙丁魚以聚成大群的方式來對抗海豚的捕食，在沒有外部威脅或障礙物時，沙丁魚群聚成接近球形的形態(tài)，是典型的自組織復(fù)雜運動[2]過程，個體間通過某種規(guī)則聚集在一起，當(dāng)海豚接近并沖進沙丁魚群時，魚群躲避并繼續(xù)聚成一團.使沙丁魚群體表現(xiàn)出協(xié)調(diào)性和智能性[3]，大大降低被捕食的概率.同時海豚會配合行動，以提高捕食沙丁魚的效率.本文模擬將海豚捕食沙丁魚群的運動行為模型分為海豚回聲定位模型、未接近沙丁魚群的海豚運動模型、無領(lǐng)導(dǎo)者的沙丁魚群慣性運動模型、有領(lǐng)導(dǎo)者的沙丁魚群非慣性運動模型、沙丁魚集群運動模型、海豚捕食沙丁魚群模型和沙丁魚逃逸模型.

1 海豚回聲定位模型

由于水下光線很暗，海豚通過回聲定位來判斷魚群的整體位置，如圖1所示，海豚在覓食的時候產(chǎn)生回聲定位信號，信號具有短脈沖、高強度和高指向性，用來探測目標(biāo)的距離、方位和體積.依靠發(fā)射和接收回聲定位信號的時間差估計目標(biāo)的距離方位,通常有三種方式，有指向性的發(fā)射和有指向性的接收，有指向性的發(fā)射和無指向性的接收，無指向性的發(fā)射和有向性的接收.

圖1 海豚回聲定位原理圖

如圖2所示，在中遠場時，假設(shè)聲波以平面波方式傳播[4]，根據(jù)二元測向原理，目標(biāo)方位可由下式近似估計

圖2 遠場時的二元測向模型 圖3三元定位模型

如圖3所示，在近場時，假設(shè)目標(biāo)是點源，則聲波按球面波方式傳播[3]，假設(shè)1，2，3分別為三個子陣的聲中心，目標(biāo)方位角θ是線陣聲中心處法線與r2的夾角，c為聲速，r1，r2，r3為目標(biāo)到線陣中心的距離，目標(biāo)的聲信號到達各個陣元的時延差

根據(jù)以上的三個等式可推導(dǎo)出目標(biāo)方位的精確表達式

因此可以發(fā)現(xiàn)，在距離較遠時，根據(jù)二元側(cè)向模型，海豚的回聲定位只能判斷大體積魚群的位置，對個體單位的定位效果較差.在距離較近時，根據(jù)三元定位模型，海豚的回聲定位能精確到定位到個體.

2 未接近沙丁魚群的海豚運動模型

對于單個海豚，將其質(zhì)點化，海豚的位置可表示為

pB(t)=[xB(t),yB(t),zB(t)].

海豚的速度為vB(t),則海豚的狀態(tài)為

ΩB={[pB(t),vB(t)]}.

海豚利用聲波定位十幾公里外的魚群，在接近魚群時海豚本身的感知域可視為覆蓋全魚群.海豚的定位系統(tǒng)[5]能判斷整個沙丁魚群，但是難以分辨每個沙丁魚個體.因此，海豚的運動速度可表示為

海豚的實際運動能力

vBmin≤vB(t)≤vBmax,?t.

因此,海豚的位置可表示為

(1)

海豚確定目標(biāo)肩并肩前行，可將 (1) 式看作二維平面的函數(shù)，多只海豚是以 (1) 式為平面，向z軸延伸的一柱面圖形上運動.

3 無領(lǐng)導(dǎo)者的沙丁魚群慣性運動模型

如圖4所示，無領(lǐng)導(dǎo)者沙丁魚集群行為的影響作用分為內(nèi)部作用和外部作用，沙丁魚集群運動中，所有個體向同一方向運動是重要的集體規(guī)則狀態(tài)特征，即為群體的一致性原則[6].沙丁魚集群運動按照距離的不同，群體內(nèi)部作用分為吸引和排斥.

圖4 無領(lǐng)導(dǎo)者沙丁魚集群運動的作用

沙丁魚集群運動中，對于外界有益或有害于群體的事物，造成群體趨向或背向于事物運動的趨勢分為誘惑和危險.

作用力可以改變物體的運動狀態(tài)，因此假設(shè)對群體的各種影響抽象為作用力，將內(nèi)部作用的影響分為吸引力、排斥力和一致力，將外部作用分為誘惑力和危險力.

慣性運動指沙丁魚群體中任意個體在某一時刻的速度V(k)受各種作用產(chǎn)生的加速度A(k)和上一時刻的速度V(k-1)共同影響，矢量表達式為V(k)=V(k-1)+A(k).個體的空間位置為X(k)，運動速度為V(k)，加速度為A(k).

個體由排斥力產(chǎn)生的加速度Ar(k)為

其中，Rand()為0～1之間平均分布的隨機數(shù)，提高算法的魯棒性[4].

個體由吸引力產(chǎn)生的加速度Aa(k)為

個體由一致力產(chǎn)生的加速度Ao(k)為

誘惑源的位置為Xt，被誘惑產(chǎn)生的加速度At(k)為

At(k)=Rand()·(Xt-Xi).

危險源的位置為Xf，被危險產(chǎn)生的加速度Af(k)為

Af(k)=-Rand()·(Xf-Xi).

因此，總加速度A(k)為

A(k)=Aa(k)+Ar(k)+Ao(k)+At(k)+Af(k).

設(shè)吸引力、排斥力、一致力、誘惑力和危險力的作用對個體的權(quán)重因子分別為ωa,ωr,ωo,ωt和ωf，則總加速度A(k)改寫為

A(k)=ωaAa(k)+ωrAr(k)+ωoAo(k)+ωtAt(k)+ωfAf(k),

其中ωa,ωr,ωo,ωt,ωf∈[0,1],且ωa+ωr+ωo+ωt+ωf=1.

因此，個體的速度計算為

V(k)=V(k-1)+A(k).

個體的位置由初始位置和速度共同確定

X(k+1)=X(k)+V(k).

當(dāng)ωa=0.2,ωr=0.2,ωo=0.1,ωt=0.5,ωf=0,誘惑源為(80,80)，恐懼源為(20,20)時，如圖5所示，利用平面直角坐標(biāo)系描述無領(lǐng)導(dǎo)者的沙丁魚慣性運動情況.

圖5 無領(lǐng)導(dǎo)者的沙丁魚慣性運動二維圖

當(dāng)ωa=0.2,ωr=0.2,ωo=0.1,ωt=0.5,ωf=0,誘惑源為(80,80,80)，恐懼源為(20,20,80)時，如圖6所示，利用空間直角坐標(biāo)系描述無領(lǐng)導(dǎo)者的沙丁魚慣性運動情況.

圖6 無領(lǐng)導(dǎo)者的沙丁魚慣性運動三維圖

4 有領(lǐng)導(dǎo)者的沙丁魚群非慣性運動模型

如圖7所示,有領(lǐng)導(dǎo)者集群運動行為[7]的領(lǐng)導(dǎo)在運動過程中影響其他個體.外部環(huán)境作用領(lǐng)導(dǎo)者引導(dǎo)跟隨者達到預(yù)期的目標(biāo)，內(nèi)部作用跟隨者，因此對領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者分別討論.

圖7 有領(lǐng)導(dǎo)者情況下對集群運動的影響作用

對于領(lǐng)導(dǎo)者設(shè)領(lǐng)導(dǎo)者在空間中的位置為X1=(x1,x2,…,xn).迭代k步，領(lǐng)導(dǎo)者的空間位置為X1(k)，速度大小為V1，速度方向為D1(k).假設(shè)在領(lǐng)導(dǎo)者的排斥區(qū)、一致區(qū)、吸引區(qū)分別有m1、m2、m3個個體，則吸引力產(chǎn)生的速度方向為

排斥力產(chǎn)生的速度方向為

一致力產(chǎn)生的速度方向為

誘惑力產(chǎn)生的速度方向為

危險力產(chǎn)生的速度方向為

則總速度方向為

D1(k)=λa1Da1(k)+λr1Dr1(k)+λo1Do1(k)+λt1Dt1(k)+λf1Df1(k)，

其中λa1,λr1,λo1,λt1,λf1∈[0,1],且λa1+λr1+λo1+λt1+λf1=1.

個體的速度為

V1(k)=V1·D1(k),

個體的新位置由當(dāng)前位置和速度共同確定

X1(k+1)=X1(k)+V1(k).

對于跟隨者設(shè)跟隨者在空間中的位置為X2=(x1,x2,…,xn).迭代k步，跟隨者的空間位置為X2(k),速度大小為V2，速度方向為D2(k).假設(shè)在跟隨者的排斥區(qū)、一致區(qū)、吸引區(qū)分別有n1、n2、n3個個體，則排斥力產(chǎn)生的速度方向為

吸引力產(chǎn)生的速度方向為

一致力產(chǎn)生的速度方向為

則總速度方向為

D2(k)=λa2Da2(k)+λr2Dr2(k)+λo2Do2(k).

其中λa2,λr2,λo2∈[0,1],且λa2+λr2+λo2=1.

領(lǐng)導(dǎo)者對跟隨者的吸引作用遠大于跟隨者對跟隨者的吸引作用，跟隨者由吸引力產(chǎn)生的速度方向為

Da2(k)=λa12Da12(k)+λa22Da22(k),

其中，Da12(k)為領(lǐng)導(dǎo)者對跟隨者吸引作用產(chǎn)生的速度方向，Da22(k)為跟隨者對跟隨者吸引作用產(chǎn)生的速度方向，λa12和λa22為相應(yīng)的權(quán)重因子，并λa12,λa22∈[0,1],λa12+λa22=1.

帶入總加速度A2(k)可得

D2(k)=λr2Dr2(k)+λa2λa12Da12(k)+λa2λa22Da22(k)+λo2Do2(k).

個體的速度為

V2(k)=V2·D2(k).

個體的新位置由當(dāng)前位置和速度共同確定

X2(k+1)=X2(k)+V2(k).

當(dāng)誘惑源為(80,80)恐懼源為(20,20)時，如圖8所示，利用二維坐標(biāo)描述有一個領(lǐng)導(dǎo)者的非慣性運動情況.

圖8 有一個領(lǐng)導(dǎo)者的沙丁魚非慣性二維圖

當(dāng)誘惑源為(80,80)恐懼源為(20,20)時，如圖9所示，利用二維坐標(biāo)描述有兩個領(lǐng)導(dǎo)者的非慣性運動情況.

圖9 有兩個領(lǐng)導(dǎo)者的沙丁魚非慣性二維圖

5 沙丁魚集群運動模型

在二維平面中,定義變量pi=(xi,yi,vi)來描述運動的個體,其中xi為個體i在坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)，yi表示個體i在坐標(biāo)系的縱坐標(biāo),vi表示個體i的運動的方向.如圖10所示，運動的個體投影到地面[8]，把個體的運動看作點的運動.

圖10 個體投影在地面的圖

討論有n個個體的沙丁魚群運動，建立n個個體的t時刻狀態(tài)矩陣S(t)

其中vi為個體i的速度，根據(jù)狀態(tài)條件建立狀態(tài)方程.

距離條件為

位置中心一致性條件為

速度一致性

其中rmin為沙丁魚個體之間的最小距離，RL為沙丁魚個體之間的最大距離，m為個體i相鄰個體的數(shù)量,vi為個體i的運動速度,vk為個體k的運動速度,μx為x方向的位置變動因子,μy為y方向的位置變動因子,δmax為運動速度最大誤差.t+1時刻與t時刻有相同形式的狀態(tài)矩陣,因此只需求得個體i的速度變化即可求得t+1時刻的狀態(tài)矩陣

Pi,t+1(xi,yi)=Pi,t(xi,yi)+viΔt.

速度大小滿足

vi(t+1)=vi(t)±Δvi,Δvi=ε1(vmax-vi(t)),ε1∈(0,1).

加速度滿足

其中取逆時針方向為正方向，Δt為時間間隔,vmax為個體的最大速度,Δvi為個體i速度大小的變化量,Δθi為個體i速度方向的變化量,ε1為速度大小狀態(tài)因子,ε2為速度方向狀態(tài)因子，ε1,ε2均為(0,1)范圍內(nèi)任意的隨機數(shù)，取ε1=0.6,ε2=0.1.假設(shè)集群是一個整體,海豚靠近過程中速度方向的變化省略不計,只考慮速度大小的變化，沙丁魚躲避危險過程中速度大小和方向均有較大的變化,構(gòu)建狀態(tài)方程,方程迭代可得任意狀態(tài)的方程矩陣,進而得到集群的運動情況如圖11所示.

圖11 沙丁魚集群運動

6 海豚捕食沙丁魚群模型

當(dāng)海豚發(fā)現(xiàn)沙丁魚群時，形成一個緊密的包圍圈如圖12所示，由一只海豚充當(dāng)“轟趕者”[9]，將獵物向包圍圈中驅(qū)趕,沙丁魚群慢慢集中，海豚包圍圈的不斷收縮，此時海豚自動分組(圓圈上相對的兩個點，比如說時鐘上,12點和6點這兩個點上的海豚為一組)，以順時針方向依次入圈進食如圖13所示，進食持續(xù)5分鐘左右，海豚集體整齊浮出海面(仍然保持圓圈的陣形)，呼吸一次，又集體潛游下去，開始新一輪的進食.

圖12 對魚群包圍 圖13 分開進食

現(xiàn)以沙丁魚群為球心，5-10米為半徑，建立球體模型[10],以球心為坐標(biāo)原點的球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化.

其中θ為球面上一點與球心連線與z軸的夾角,φ為連線投影到xy平面的直線與x軸的夾角.因此,球體模型的參數(shù)方程為

海豚的運動模型可類似于沙丁魚群的集群模型，比魚群集群模型的半徑大，且為一個空心球體.則根據(jù)沙丁魚群集群模型可得，海豚的運動模型的距離條件為

位置中心一致性條件為

(2)

速度一致性為

其中rmin為海豚捕到沙丁魚的最小距離，視為固定值，RL為海豚對沙丁魚群形成包圍的最大距離，RL會隨著海豚數(shù)量的增大而增大，m為海豚i感知范圍內(nèi)相鄰個體的數(shù)量,vi為個體i的運動速度,vk為個體k的運動速度,μx為x方向的位置變動因子,μy為y方向的位置變動因子,δmax為運動速度最大誤差.t+1時刻與t時刻位置變換表示為

Pi,t+1(xi,yi)=Pi,t(xi,yi)+viΔt.

速度大小滿足

vi(t+1)=vi(t)±Δvi,Δvi=ε1(vmax-vi(t)),ε1∈(0,1).

加速度滿足

其中取逆時針改變方向為正方向，Δt為t時刻與t+1時刻的時間間隔,vmax為個體的最大速度,Δvi為個體i速度大小的變化量,Δθi為個體i速度方向的變化量,ε1為速度大小狀態(tài)因子,ε2為速度方向狀態(tài)因子.

海豚對沙丁魚群的包圍簡化為其距離d從大到小變化的過程.海豚自動分組[11](圓圈上比如時鐘上12點和6點方向這兩只海豚為一組)，海豚以順時針的順序依次入圈進食.該過程是 (2) 式基礎(chǔ)上變動的過程，當(dāng)海豚形成 (2) 式的球體時，會以對球體直徑所在方向進行組隊，然后沿順時針方向依次進食，如圖14所示.假設(shè)以A為起始位置，則AE兩只海豚先向O點靠攏，捕食，依次BF、CG、DH，再回到原來的位置繼續(xù)形成包圍，集體直線上升到海面呼吸空氣，再下潛到水中實施第二次包圍，進食，如此循環(huán).

7 沙丁魚逃逸模型

在二維平面中，設(shè)k時刻海豚i位于S點，位置坐標(biāo)為(xs(k),ys(k))，沙丁魚群中心位于C點，坐標(biāo)為(xc,yc)，假設(shè)海豚單位時間的步長為ls，則海豚與魚群中心的距離為

海豚運動的向量單位化為

可得k+1時刻海豚的位置為

k時刻沙丁魚i位于Nk點，位置坐標(biāo)為(xn(k),yn(k))，根據(jù)安全距離最大化原則，沙丁魚應(yīng)在與其他沙丁魚連線上遠離海豚的方向.考慮安全角度最大化原則，沙丁魚應(yīng)沿著垂直于與其他沙丁魚連線的中垂線方向遠離海豚.綜合逃逸原則[12]，沙丁魚的逃逸方向與自身和海豚連線成θ角.如圖15所示.

0GFEDCBAH運動方向魚j逃逸方向NkNkNk+1ciθ圖14 方向示意圖圖15 相等步長的沙丁魚逃逸圖

沙丁魚與海豚的距離為

其中Nk+1的坐標(biāo)為

通過不斷迭代時間k得到海豚和沙丁魚i的即時位置，并得到六只沙丁魚對海豚的躲避運動軌跡如圖16所示，沙丁魚和海豚的步長相等.θ=60°時隨著海豚的運動，沙丁魚呈弧形躲避到了海豚的后方.如圖17所示，增大沙丁魚步長，進一步觀察沙丁魚的躲避運動軌跡，在速度允許的情況下沙丁魚最終繞到海豚的正后方，找到最安全位置.

圖16 相等步長的沙丁魚逃逸圖 圖17 增大步長的沙丁魚逃逸圖

8 總結(jié)

本文利用數(shù)學(xué)語言描述海豚和沙丁魚的位置變化情況，用速度與坐標(biāo)來描述運動，將復(fù)雜系統(tǒng)的自組織過程轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系內(nèi)質(zhì)點的運動方向和坐標(biāo)不斷變化的數(shù)學(xué)問題；將魚群逃逸數(shù)學(xué)化、向量化，語言準(zhǔn)確科學(xué)，有效的追蹤動物的運動狀態(tài)，使得問題簡單明了，易于解決.