一種多約束條件下的三脈沖交會(huì)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

李君龍, 李松洲, 周 荻,*

(1. 北京電子工程總體研究所, 北京 100854; 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

空間交會(huì)技術(shù)一直是航天領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容之一,無(wú)論是合作目標(biāo)的故障診斷、維修以及燃料加注等,還是對(duì)非合作目標(biāo)的抵近觀察監(jiān)視以及空間碎片清理等,都需要依賴空間交會(huì)技術(shù)。由于航天器所能攜帶的燃料十分有限,以降低能耗為目的的最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題是空間交會(huì)技術(shù)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。關(guān)于最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題,主要集中在兩脈沖和多脈沖交會(huì)問(wèn)題的研究,通常采用的方法可分為智能優(yōu)化方法和傳統(tǒng)優(yōu)化方法。

智能優(yōu)化算法憑借強(qiáng)大的全局搜索能力,在最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題求解中得到廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]應(yīng)用遺傳算法對(duì)第一脈沖位置變化條件下的雙沖量時(shí)間-燃料最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題進(jìn)行求解,表明第一次沖量位置對(duì)優(yōu)化指標(biāo)影響較大。文獻(xiàn)[9]提出一種基于種群熵粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法求解固定時(shí)間燃料最省的多脈沖交會(huì)問(wèn)題,通過(guò)種群熵確定搜索空間,減少了搜索空間的浪費(fèi),提高了算法收斂速度和精度。為了減輕算法對(duì)參數(shù)設(shè)置的依賴程度,文獻(xiàn)[10]綜合差分進(jìn)化、遺傳算法和PSO算法優(yōu)勢(shì),提出一種混合進(jìn)化算法對(duì)固定時(shí)間共面圓軌道間的多脈沖交會(huì)問(wèn)題,提高了算法的搜索效率。文獻(xiàn)[11]以轉(zhuǎn)移時(shí)間和控制能耗為代價(jià)函數(shù)組,以脈沖個(gè)數(shù)和作用位置為設(shè)計(jì)變量,通過(guò)多目標(biāo)遺傳算法研究了在軌服務(wù)衛(wèi)星的共面多脈沖交會(huì)帕累托最優(yōu)意義下的軌跡優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)[12]采用圓錐曲線拼接法將兩軌道間的多脈沖轉(zhuǎn)移問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,并提出一種將改進(jìn)的PSO方法和自適應(yīng)共軛梯度法相結(jié)合的混合優(yōu)化算法,有效解決了優(yōu)化變量隨著脈沖數(shù)線性增長(zhǎng)所帶來(lái)的初始化難題。文獻(xiàn)[13]采用深度學(xué)習(xí)方法研究了脈沖大小受限、飛行軌跡受約束條件下的線性多脈沖交會(huì)的最優(yōu)制導(dǎo)問(wèn)題,通過(guò)在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中綜合考慮飛行中的多種干擾因素的影響,使算法表現(xiàn)出良好魯棒性。文獻(xiàn)[14]提出了一種序列重排方法,對(duì)固定時(shí)間多脈沖最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題求解過(guò)程中的等式約束進(jìn)行了巧妙處理,為進(jìn)化算法的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供了便利。

此外,一些傳統(tǒng)優(yōu)化方法也被大量用于求解最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題。文獻(xiàn)[15]研究了兩定點(diǎn)間軌道轉(zhuǎn)移的雙脈沖優(yōu)化問(wèn)題,表明在轉(zhuǎn)移時(shí)間不受限制的條件下的最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道角動(dòng)量幅值滿足一個(gè)四次方程,并證明了解的存在性。文獻(xiàn)[16]結(jié)合狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和古典變分法提出一種兩脈沖軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化算法,具有計(jì)算速度快和精度可控的優(yōu)點(diǎn),其本質(zhì)上是一種迭代算法,對(duì)迭代初值具有一定依賴性。文獻(xiàn)[17]在求解固定時(shí)間三脈沖交會(huì)優(yōu)化問(wèn)題時(shí),引入“序優(yōu)化”思想,減小了搜索空間,提高了搜索效率。文獻(xiàn)[18-19]基于基矢量法研究了固定時(shí)間近圓軌道間的四脈沖最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題,所提方法都是基于線性化交會(huì)模型,不適于遠(yuǎn)程交會(huì)問(wèn)題的求解。文獻(xiàn)[20]建立了包含J2攝動(dòng)項(xiàng)和大氣阻力項(xiàng)并考慮對(duì)非合作目標(biāo)導(dǎo)航誤差影響的橢圓軌道最優(yōu)交會(huì)模型,通過(guò)引入松弛變量將最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)二階錐規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解,但其所采用的模型是以起始相對(duì)距離較近為前提的線性化模型,對(duì)于遠(yuǎn)程交會(huì)問(wèn)題求解同樣不適用。與此類似,文獻(xiàn)[21]基于Clohessy-Wiltshire(C-W)方程采用二階錐規(guī)劃方法求解了初始接近、路徑點(diǎn)跟蹤以及考慮球形安全域的目標(biāo)監(jiān)視等交會(huì)問(wèn)題的求解。文獻(xiàn)[22]研究了非線性脈沖控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題,提出一種自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解方法,并將其用來(lái)求解固定時(shí)間多脈沖軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題。文獻(xiàn)[23-26]還研究了多航天器間的最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題。另外,關(guān)于連續(xù)推力最優(yōu)交會(huì),也有大量相關(guān)研究成果,但連續(xù)推力在實(shí)際應(yīng)用中存在實(shí)現(xiàn)成本高等問(wèn)題,遠(yuǎn)不如脈沖推力應(yīng)用得廣泛。

上述研究多以交會(huì)時(shí)間為固定量或?yàn)樽杂闪窟M(jìn)行展開(kāi),且多數(shù)僅適用于求解近程交會(huì)問(wèn)題。對(duì)于空間快速對(duì)接進(jìn)行定點(diǎn)觀測(cè)任務(wù)而言,要求整個(gè)任務(wù)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成,即交會(huì)總時(shí)長(zhǎng)滿足一個(gè)不等式約束。此外,某些情況下的特殊任務(wù)要求在追趕飛行器和目標(biāo)飛行器距離較遠(yuǎn)時(shí)就開(kāi)始執(zhí)行交會(huì)任務(wù),這使得上述交會(huì)制導(dǎo)不完全適用。本文將圍繞該任務(wù)背景,建立共面圓軌道條件下的三脈沖最優(yōu)交會(huì)數(shù)學(xué)模型,將Hill制導(dǎo)方法與粒子群算法相結(jié)合求解轉(zhuǎn)移路徑點(diǎn)以及轉(zhuǎn)移時(shí)機(jī)的最優(yōu)解,考慮到交會(huì)時(shí)間約束和轉(zhuǎn)移路徑約束,提出一種等價(jià)變換的方法將原始待求量轉(zhuǎn)化為一組新的相互獨(dú)立的待求變量,將各約束項(xiàng)轉(zhuǎn)化為更加易于描述和處理的搜索空間邊界條件,減小了算法初始化過(guò)程計(jì)算量,簡(jiǎn)化了算法對(duì)約束的處理方法設(shè)計(jì),一定程度上改善了算法尋優(yōu)性能。

1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

設(shè)目標(biāo)T在一個(gè)圓形軌道上飛行,一般而言,為實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的接近觀測(cè),往往先將觀測(cè)器(追趕飛行器)運(yùn)送到一個(gè)比目標(biāo)飛行器低(或高)數(shù)十公里的圓形停泊軌道,待到合適時(shí)機(jī)二者相對(duì)位置滿足一定條件(如相對(duì)距離小于100 km)后,開(kāi)始實(shí)施交會(huì)接近制導(dǎo)過(guò)程,將觀測(cè)器送到指定位置,對(duì)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)穩(wěn)定觀測(cè)。為了完成這樣的任務(wù),不僅要求觀測(cè)器在最終時(shí)刻抵達(dá)指定相對(duì)位置,而且要求二者相對(duì)速度充分小。

設(shè)觀測(cè)器所在停泊軌道與目標(biāo)飛行器軌道共面,則觀測(cè)器與目標(biāo)飛行器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示,為目標(biāo)軌道坐標(biāo)系,為目標(biāo)飛行器,表示追趕飛行器,、分別表示二者的地心距矢量。

圖1 追趕器與目標(biāo)飛行器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Relative motion between the pursuer and the target aircraft

(1)

令=0和=0,可以得到無(wú)控制作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)的解析解為

(2)

從而得到對(duì)應(yīng)的相對(duì)速度為

(3)

則方程(2)可表示為

(4)

則方程(3)可表示為

(5)

由方程(4)可以得到

(6)

在給定轉(zhuǎn)移時(shí)間和終端相對(duì)位置的條件下,可以由式(6)求得所需初始相對(duì)速度,這就是Hill制導(dǎo),將求得的結(jié)果與追趕飛行器當(dāng)前相對(duì)速度作差即可求得完成轉(zhuǎn)移需要的速度脈沖。

2 三脈沖交會(huì)優(yōu)化模型

考慮到Hill制導(dǎo)僅適用于相對(duì)距離小于50 km的情況,對(duì)于完成相對(duì)距離大于50 km的交會(huì)任務(wù),采用將這個(gè)交會(huì)過(guò)程分成多段實(shí)施,通過(guò)設(shè)置轉(zhuǎn)移路徑點(diǎn),使最后一個(gè)路徑點(diǎn)與目標(biāo)距離小于50 km,保證了最后一次轉(zhuǎn)移的精度,在鄰近路徑點(diǎn)間應(yīng)用Hill制導(dǎo)實(shí)現(xiàn)追趕飛行器在鄰近路徑點(diǎn)間轉(zhuǎn)移,最終逐步將追趕飛行器轉(zhuǎn)移到期望終端相對(duì)位置,并于終端施加一次制動(dòng)脈沖,消除與目標(biāo)飛行器間的相對(duì)速度,保證觀測(cè)器完成定點(diǎn)穩(wěn)定觀測(cè)任務(wù),這樣就形成了一個(gè)多脈沖交會(huì)問(wèn)題。在該問(wèn)題中,路徑點(diǎn)位置的設(shè)置和各路徑點(diǎn)間轉(zhuǎn)移時(shí)間的選擇都會(huì)影響最終任務(wù)能量消耗。對(duì)于空間飛行器而言,燃料有限,因此合理設(shè)計(jì)交會(huì)過(guò)程,減小任務(wù)過(guò)程燃料消耗十分重要。

本文重點(diǎn)研究有時(shí)間約束的三脈沖最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題,設(shè)追趕飛行器在停泊軌道飛行,當(dāng)與目標(biāo)飛行器相對(duì)距離小于100 km(時(shí)刻)后開(kāi)始進(jìn)入交會(huì)階段,為了方便說(shuō)明,整個(gè)交會(huì)過(guò)程示意圖如圖2所示,圖中(=0,1,2,3)和(=0,1,2,3)分別表示追趕飛行器和目標(biāo)飛行器在時(shí)刻(=0,1,2,3)的位置。交會(huì)過(guò)程描述如下:

圖2 交會(huì)過(guò)程示意圖Fig.2 Illustration of the rendezvous

(7)

(8)

相對(duì)觀測(cè)位置給定,即已知,從而有

(9)

而

(10)

所以

(11)

(12)

3 優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

PSO算法是模擬鳥(niǎo)類群體覓食行為的一類啟發(fā)式智能優(yōu)化算法,種群的每只鳥(niǎo)(每個(gè)粒子)通過(guò)綜合自身經(jīng)驗(yàn)和群體經(jīng)驗(yàn)調(diào)整覓食方向,朝著食物豐富的方向進(jìn)行搜尋,直到找到食物最多的地點(diǎn)。PSO算法的核心可以表達(dá)為

(13)

(14)

(15)

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法計(jì)算過(guò)程如算法1所示,其中和分別表示搜索空間的上下邊界,和為根據(jù)實(shí)際需要設(shè)定的搜索步長(zhǎng)上下界。

算法 1 PSO 算法偽代碼步驟 1 初始化變量kmax,w,cp,cg,N,Xmin,Xmax以及Vmin,Vmax步驟 2 初始化各個(gè)粒子的位置以及速度Xi,0=Xmin+UXi,0(Xmax-Xmin), i=1,2,…,NVi,0=Vmin+UVi,0(Vmax-Vmin)步驟 3 計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)pi,k=ffit(Xi,k), i=1,2,…,N 步驟 4 計(jì)算個(gè)體歷史最優(yōu)適應(yīng)度pbesti,k=pi,k和種群最優(yōu)適應(yīng)度gbestk=min{pbesti,k},記對(duì)應(yīng)的個(gè)體和種群歷史最優(yōu)位置分別為Xbesti,k和Xbestk步驟 5 更新速度Vi,k+1=wVi,k+cpUpVi,k+1(Xbesti,k-Xi,k)+cgUgVi,k+1(Xbestk-Xi,k)步驟 6 更新位置Xi,k+1=Xi,k+Vi,k+1步驟 7 更新適應(yīng)度pi,k+1=ffit(Xi,k+1)步驟 8 如果pi,k+1

在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中,往往還存在粒子位置和速度“溢出”邊界的情況,這時(shí)一般需要在執(zhí)行算法1中的步驟5和步驟6時(shí),額外執(zhí)行

(16)

(17)

以保證各粒子在搜索空間內(nèi)部以規(guī)定的搜索步長(zhǎng)進(jìn)行搜索。

Δ+Δ+Δ≤600 s

(18)

(19)

(20)

(21)

圖3 Δt0、Δt1、Δt2分布等價(jià)性蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Monte Carlo experiment result on the distribution equivalence of Δt0,Δt1,Δt2

圖4 x2、y2分布等價(jià)性蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Monte Carlo experiment result on the distribution equivalence of x2,y2

4 仿真算例

表1 初始軌道參數(shù)

表2 PSO算法初始化參數(shù)

當(dāng)采用原始變量進(jìn)行求解時(shí),還需要對(duì)式(18)和式(19)所述約束進(jìn)行處理,這里采用設(shè)置懲罰函數(shù)的方式,當(dāng)判斷當(dāng)前粒子不滿足式(18)和式(19)時(shí),賦予該粒子一個(gè)很大的適應(yīng)度函數(shù)值=10 000,這樣種群中的粒子在式(13)的作用下就會(huì)避免向該位置靠近,從而促使種群粒子盡可能地在約束空間內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)搜索。

進(jìn)行100次打靶實(shí)驗(yàn),最終得到的變量變換前后的打靶結(jié)果如圖5和圖6所示,相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表3?？梢钥吹?盡管變換后求得的結(jié)果終端誤差相對(duì)于轉(zhuǎn)換前略大一些,該誤差工程上依然可以接受,但是相應(yīng)的能耗都要比變換前低很多,且各次尋得的最優(yōu)能耗值趨于一致。另外,變換后算法計(jì)算耗時(shí)情況如圖7所示(計(jì)算環(huán)境為:軟件Visual Studio 2017;PC機(jī)Intel(R) Core(TM) i7-8700 CPU @ 3.20 GHz),可見(jiàn)尋優(yōu)過(guò)程的計(jì)算耗時(shí)基本保持在31 ms左右,穩(wěn)定在40 ms內(nèi)的仿真次數(shù)占比得到98%。在這么短的時(shí)間內(nèi)飛行器間相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系變化不大,由計(jì)算耗時(shí)帶來(lái)的轉(zhuǎn)移誤差可忽略不計(jì)。因此,所提算法能夠滿足在線應(yīng)用需求。

表3 三脈沖交會(huì)尋優(yōu)打靶結(jié)果統(tǒng)計(jì)

圖5 總沖量打靶結(jié)果Fig.5 Total impulse shooting results

圖6 終端誤差打靶結(jié)果Fig.6 Terminal error shooting results

圖7 計(jì)算耗時(shí)打靶結(jié)果Fig.7 Computing time shooting results

所以,采用本文的等價(jià)變換方法將原始變量轉(zhuǎn)化為一組新的相互獨(dú)立的變量后,將原本的式(18)和式(19)所述的不等式約束轉(zhuǎn)化為明晰的搜索空間邊界,相對(duì)于原來(lái)設(shè)置懲罰函數(shù)的方式,在這種設(shè)計(jì)下,算法搜索效率更高,找到最優(yōu)值的概率更大,算法整體性能更加穩(wěn)定，如表4所示,對(duì)應(yīng)的收斂過(guò)程和追趕飛行器接近目標(biāo)飛行器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡分別見(jiàn)圖8和圖9。

表4 三脈沖交會(huì)尋優(yōu)結(jié)果

圖8 尋優(yōu)收斂過(guò)程Fig.8 Convergence process of the optimization

圖9 接近過(guò)程的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.9 Trajectory of relative motion for the approaching process

5 結(jié) 論

以空間快速接近定點(diǎn)觀測(cè)任務(wù)為背景,本文研究了共面圓軌道間遠(yuǎn)距離三脈沖最優(yōu)交會(huì)問(wèn)題?；贖ill制導(dǎo)算法和PSO算法,建立了具有交會(huì)時(shí)間和轉(zhuǎn)移路徑約束的多約束條件下的三脈沖交會(huì)優(yōu)化模型,給出了相應(yīng)的優(yōu)化求解流程。針對(duì)原始問(wèn)題中的約束項(xiàng)不易處理的問(wèn)題,提出一種等價(jià)變換的方法,將原始待求變量轉(zhuǎn)換為一組新的相互獨(dú)立的變量進(jìn)行求解,將原始的多項(xiàng)不易處理的多項(xiàng)約束轉(zhuǎn)化為更加易于描述和處理的搜索空間邊界條件,為算法的初始化過(guò)程帶來(lái)了便利,同時(shí)使得算法的設(shè)計(jì)工作也更為簡(jiǎn)單。

應(yīng)用所提出的方法和設(shè)置懲罰函數(shù)的約束處理方法分別進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn),一方面驗(yàn)證了所提設(shè)計(jì)算法的有效性；另一方面,通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)在采用本文所提方法進(jìn)行算法設(shè)計(jì)時(shí),一定程度上提高了算法效率,找到最優(yōu)解的概率得到了提高,同時(shí)算法性能表現(xiàn)也更加穩(wěn)定。本文的研究工作對(duì)于解決類似的多約束遠(yuǎn)程交會(huì)問(wèn)題,具有一定的工程參考意義。