基于正態(tài)-逆伽馬分布的反巡航導(dǎo)彈命中概率估計(jì)方法

李 康, 史憲銘, 李廣寧, 劉昊邦

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū), 河北 石家莊 050003)

0 引 言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中,第一波次攻擊通常使用具有遠(yuǎn)程精確打擊能力的巡航導(dǎo)彈。有效預(yù)計(jì)反巡航導(dǎo)彈武器的彈藥需求可為彈藥供應(yīng)保障相關(guān)部門和指揮員等提供決策基礎(chǔ)。通過對武器系統(tǒng)的仿真試驗(yàn),我們可以預(yù)測武器對目標(biāo)的殺傷概率、擊中概率等指標(biāo),本著實(shí)踐檢驗(yàn)真理這一原則,需要進(jìn)行武器系統(tǒng)的實(shí)裝實(shí)射試驗(yàn),對射擊精度進(jìn)行鑒定。然而,防空武器系統(tǒng)一般較昂貴,靶機(jī)造價也在不斷提升,所以只能進(jìn)行少量的實(shí)裝實(shí)射試驗(yàn),依據(jù)少量的實(shí)彈射擊試驗(yàn)結(jié)果對命中概率進(jìn)行估計(jì)就顯得尤為必要。

目前關(guān)于防空武器對巡航導(dǎo)彈命中概率的研究已取得一些進(jìn)展,張學(xué)峰等建立了某火箭武器系統(tǒng)攔截巡航導(dǎo)彈的命中概率模型,并采用蒙特卡羅法進(jìn)行了仿真計(jì)算;劉松等考慮了巡航導(dǎo)彈不同戰(zhàn)斗部的毀傷概率,并利用蒙特卡羅仿真方法建立了單發(fā)毀傷概率打靶模型;王濤等對戰(zhàn)斧巡航導(dǎo)彈的單發(fā)命中彈的毀傷概率進(jìn)行了仿真,同時基于理論和推算的方法計(jì)算命中概率。上述關(guān)于反巡航導(dǎo)彈武器命中概率的研究沒有解決小樣本信息量不足的問題。

針對上述分析,本文應(yīng)用貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷方法估計(jì)防空武器對巡航導(dǎo)彈命中概率,它綜合利用了總體信息、先驗(yàn)信息和樣本信息,可依據(jù)少量的樣本信息估計(jì)防空武器對巡航導(dǎo)彈命中概率的參數(shù)。目前貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法在彈藥消耗預(yù)測的研究中取得了一些成果:趙汝東等提出了基于Gompertz分布的彈藥需求貝葉斯推斷方法,估計(jì)了達(dá)到不同毀傷等級下彈藥需求量的參數(shù),為小樣本彈藥消耗試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析提供了指導(dǎo);康宗宇等應(yīng)用貝葉斯理論預(yù)測航空彈藥,仿真結(jié)果表明,貝葉斯理論可以有效預(yù)測未來階段的航空戰(zhàn)時彈藥保障供應(yīng)能力;鞠訓(xùn)光等應(yīng)用貝葉斯概率推理方法估計(jì)航空彈藥在長期貯存中分布函數(shù)的參數(shù)。

1 防空武器系統(tǒng)對巡航導(dǎo)彈命中概率的表示

1.1 脫靶量理論

防空武器系統(tǒng)中的脫靶量指的是彈藥與目標(biāo)交會的過程中彈藥和目標(biāo)之間的最小距離,原理如圖1所示。

圖1 脫靶量示意圖Fig.1 Miss distance diagram

圖1中,表示彈藥，是彈的飛行速度,是目標(biāo)的飛行速度,是彈藥相對于目標(biāo)的速度,是彈藥和目標(biāo)之間的最小距離,其方向垂直于相對速度。

在分析防空武器作戰(zhàn)效能時,選取垂直于彈藥相對速度方向的平面進(jìn)行射擊誤差分析。如圖2所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),代表目標(biāo)質(zhì)心位置,作兩個相互垂直的橫縱坐標(biāo)軸、,平面上的彈著點(diǎn)距離的位置即為脫靶量。

圖2 彈著點(diǎn)示意圖Fig.2 Schematic diagram of impact point

1.2 防空武器系統(tǒng)對巡航導(dǎo)彈的命中概率

大量防空武器的射擊試驗(yàn)表明靶面上彈著點(diǎn)的兩個坐標(biāo)分量、服從二維正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)為

(1)

在圖2所示直角坐標(biāo)系下,變量、相互獨(dú)立,則=0,式(1)中概率密度函數(shù)可化為

(2)

計(jì)算防空武器命中概率時,通?？紤]彈藥命中圓域或者等效矩形域,巡航導(dǎo)彈各艙段可劃分為不同的長方形(狹長區(qū))。因此,本文在計(jì)算防空武器系統(tǒng)的命中概率時選取彈著點(diǎn)落入矩形域時的概率。

假設(shè)矩形域?yàn)閧(,)|≤≤,≤≤},則防空武器系統(tǒng)命中巡航導(dǎo)彈等效矩形域的概率為

(3)

式(3)計(jì)算后得:

(4)

式(4)所示無法用初等函數(shù)表示,可通過數(shù)值積分表查出,則命中概率為

(5)

如果確定了式(5)中參數(shù)、、、的值,也就確定了命中概率的值,下面對參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

2 反巡航導(dǎo)彈武器系統(tǒng)命中概率的貝葉斯推斷

2.1 反巡航導(dǎo)彈武器系統(tǒng)命中概率參數(shù)的樣本信息

由統(tǒng)計(jì)知識可知,未知參數(shù)的估計(jì)包括最大似然估計(jì)和矩估計(jì),正態(tài)分布的最大似然估計(jì)和矩估計(jì)重合。假設(shè)有組彈著樣本點(diǎn)[(,),(,),…,(,)],則未知參數(shù)的估計(jì)量為

(6)

式(6)得到的均是無偏估計(jì)量,其均方誤差為

(7)

又因?yàn)?/p>

(8)

則式(7)中的均方誤差可表示為

(9)

由式(9)可以看出樣本量越小,誤差越大。通常在防空武器對目標(biāo)射擊效能試驗(yàn)中,只有少量的樣本數(shù)據(jù),則此時根據(jù)小樣本試驗(yàn)條件得到的參數(shù)點(diǎn)估計(jì)量均方誤差較大。

2.2 反巡航導(dǎo)彈武器系統(tǒng)命中概率參數(shù)的先驗(yàn)信息

為解決小樣本信息帶來的問題,本文采取貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷方法推斷反巡航導(dǎo)彈武器命中概率的參數(shù)。

(10)

(11)

(12)

2.3 反巡航導(dǎo)彈武器系統(tǒng)命中概率參數(shù)的后驗(yàn)分布

貝葉斯定理綜合了樣本信息、先驗(yàn)信息和總體信息,所以通過貝葉斯推斷方法得到的反巡航導(dǎo)彈武器命中概率的參數(shù)估計(jì)值比傳統(tǒng)的根據(jù)樣本估計(jì)的參數(shù)值使用的信息更多。

(13)

(14)

(15)

式(15)中的超參數(shù)可由下列公式給出:

(16)

下面將討論如何確定超參數(shù),從而確定后驗(yàn)分布函數(shù),為防空武器系統(tǒng)命中巡航導(dǎo)彈的概率參數(shù)估計(jì)提供基礎(chǔ)。

3 反巡航導(dǎo)彈武器系統(tǒng)命中概率先驗(yàn)分布超參數(shù)的確定

3.1 命中概率參數(shù)先驗(yàn)信息的處理

表1 由先驗(yàn)信息得到的參數(shù)樣本數(shù)據(jù)Table 1 Parameter sample data obtained from prior information

由表1樣本數(shù)據(jù)可得相應(yīng)的頻率分布直方圖如圖3～圖6所示,4個參數(shù)對應(yīng)的樣本、均值如表2所示。

圖3 my頻率分布直方圖Fig.3 Frequency distribution histogram of my

圖頻率分布直方圖Fig.4 Frequency distribution histogram of

圖5 mz頻率分布直方圖Fig.5 Frequency distribution histogram of mz

圖頻率分布直方圖Fig.6 Frequency distribution histogram of

表2 4個參數(shù)對應(yīng)的均值、方差Table 2 Mean and variance corresponding to the four parameters

3.2 命中概率先驗(yàn)分布超參數(shù)確定

由上述推導(dǎo)可知,只要確定正態(tài)分布和逆伽馬分布中的超參數(shù)就可以確定命中概率參數(shù)的先驗(yàn)分布。

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由上述公式結(jié)合表1、表2數(shù)據(jù),計(jì)算可得命中概率參數(shù)的先驗(yàn)分布對應(yīng)的超參數(shù)如表3所示,采用K-S方法進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn),檢驗(yàn)水平為005,結(jié)果如表3所示?？梢钥闯鲋稻笥?05,證明相應(yīng)的先驗(yàn)分布假設(shè)是合理的。

表3 先驗(yàn)分布的超參數(shù)Table 3 Super parameter of prior distribution

4 反巡航導(dǎo)彈武器系統(tǒng)命中概率參數(shù)的最大后驗(yàn)估計(jì)

(23)

可得:

(24)

由式(16)和式(24)結(jié)合可得:

(25)

5 示例分析

表4 某防空武器射擊試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)Table 4 Sample data of an air defense weapon firing test

表5 先驗(yàn)分布的超參數(shù)(示例)Table 5 Super parameter of prior distribution (example)

6 結(jié)束語

貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷方法為解決彈藥射擊試驗(yàn)次數(shù)較少而帶來的小樣本條件下彈藥需求預(yù)計(jì)問題提供了良好的思路。本文提出的基于正態(tài)-逆伽馬分布的反巡航導(dǎo)彈武器命中概率估計(jì)方法結(jié)合巡航導(dǎo)彈特點(diǎn),充分利用樣本信息、先驗(yàn)信息和總體信息推斷防空武器對巡航導(dǎo)彈命中概率的參數(shù),有一定的操作性和科學(xué)性,為彈藥需求預(yù)計(jì)理論提供了新的思路。